Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Intervalle, Rechtecke und (verallgemeinerte) Quader – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $\mathbb {R}$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{2}$ Flächen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{3}$ Volumina und bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{p}$ mit $p\geq 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Gehen wir zunächst in die Ebene: dann ist die Fläche eines Rechtecks das Produkt der Seitenlängen. Denn zwei identische Rechtecke aneinandergelegt, ergibt ein doppelt so großes Rechteck (die Fläche soll sich beim Verschieben ja nicht ändern, was man "translationsinvariant" nennt) und die eine Seitenlänge verdoppelt sich dabei. Analog bei erhöht sich bei 3 oder 4 Rechtecken die Seitenlänge um den Faktor 3 oder 4.

Genauso gilt es für die andere Seite: wenn man die Rechtecke andersherum aneinanderlegt ist das entstehende Rechteck erneut doppelt so groß und die andere Seitenlänge hat sich verdoppelt. D.h. die Formel der Flächenbestimmung muss für jede Seite multiplikativ sein: eben das Produkt der Seitenlängen.

3 Rechtecke übereinandergelegt ergeben die dreifache Fläche, 2 Rechtecke nebeneinadergelegt ergeben die doppelte Fläche

Bild: 3 Rechtecke übereinandergelegt ergeben die dreifache Fläche, 2 Rechtecke nebeneinadergelegt ergeben die doppelte Fläche

Liegt eine disjunkte Vereinigung von Rechtecken vor, so ist die Gesamtfläche die Summe der Einzelrechtecksflächen:

durch Überlappung verringert sich das Volumen

Ist die Vereinigung nicht disjunkt, so müssen wir sie disjunkt machen. Denn das Volumen zweier sich schneidender Mengen ist anschaulich kleiner als die Summe der Volumina der Einzelmengen (siehe das Bild):

durch Überlappung verringert sich das Volumen

Endliche Vereinigungen von Rechtecken lassen sich besonders leicht disjunkt machen, man erhält erneut endlich viele disjunkte Rechtecke.

Vereinigung ist als disjunkte Vereinigung darstellbar

Zudem entstehen bei der Differenz endlich vieler disjunkter Rechtecke wieder endlich viele disjunkte Rechtecke.

• 
  Ein Rechteck aus einem Rechteck herausgeschnitten ergibt 3 kleine disjunkte Rechtecke
• 
  Ein Rechteck aus einem Rechteck herausgeschnitten ergibt 4 kleine disjunkte Rechtecke

Das sind weitere Gründe, warum man Rechtecke zu Grunde legt für die Flächenbestimmung "guter" Mengen.

Denn unser Ziel ist, später die "guten" Mengen durch abzählbar viele Rechtecke "minimal" zu überdecken und dadurch die Fläche der "guten" Menge zu bestimmen.

Wenn wir statt Rechtecken z.B. Kreise zum Überdecken einer Menge nähmen, hätten wir die genannten Eigenschaften nicht und würden uns mit der Konstruktion einer minimalen Überdeckung und Flächenbestimmung viel schwerer tun.

Definition

• Wir betrachten bald alle Teilmengen von $\mathbb {R} ^{p}$ oder einer allgemeinen Menge $W$ und überprüfen mit den zu beweisenden Sätzen, welchen Mengen wir sinnvoll ein Volumen zuordnen. Daher benötigen wir den Begriff der Potenzmenge. Die Potenzmenge von $W$ ist definiert als die Menge aller Teilmengen von $W$:
  $Pot(W)=\{A:A\subseteq W\}$

  siehe auch Mathe_für_Nicht-Freaks:_Potenzmenge

• Die anschauliche Fläche von Rechtecken, die sich schneiden, ist geringer als die Summe der Einzelflächen, siehe das Bild oben. Deshalb benötigen wir einen Begriff: Zwei Mengen $A,B$ heißen disjunkt genau dann wenn ihr Schnitt leer ist, d.h. sie enthalten keine gemeinsamén Elemente.
  $A\cap B=\emptyset$

  siehe auch Mathe_für_Nicht-Freaks:_Disjunkte_Mengen_und_paarweise_disjunkte_Mengensysteme

• Da nur bei disjunkten Intervallen/Rechtecken/Quadern sich die Längen/Flächen/Volumina addieren lassen, benötigen wir ein mathematisches Zeichen, das uns sagt, dass die Vereinigung disjunkt ist. Seien $(A_{i})_{i\in I}$ disjunkt. Dann schreiben wir für die Vereinigung
  $\biguplus _{i\in I}A_{i}:=\bigcup _{i\in I}A_{i}$

Intervalle, Rechtecke, verallgemeinerte Quader

Wir wollten den Intervallen, Rechtecken und Quadern einfach ein Volumen zuordnen. Welche Variante verwenden wir dazu am Besten?

Als Intervall $(a,b]$ im $\mathbb {R} ^{1}$ verwenden wir am Besten das linksseitig offene, rechtsseitig geschlossene Intervall (es ginge auch andersherum, man muss sich nur festlegen). Denn der Schnitt des Intervalles $(a,b]$ mit einem anderen Intervall $(c,d]$ ist $(\max(a,c),\min(b,d)]$ oder die leere Menge und ist damit wieder linksseitig offen und rechtsseitig abgeschlossen.

Schneidet man aus einem Intervall $(a,b]$ ein anderes $(c,d]$ heraus heraus, ist der Rest eine disjunkte Vereinigung von ein oder zwei wieder linksseitig offenen, rechtsseitig abgeschlossenen Intervallen $(a,\max(a,c)]$ und $(\min(b,d),b]$ bzw. die leere Menge.

Damit erhalten wir erneut dieselben mathematischen Objekte.

Würden wir abgeschlossene Intervalle $[a,b]$ oder offene Intervalle $(a,b)$ betrachten, hätten wir diese schöne Eigenschaft nicht: schneidet man aus einem Intervall [a,b] ein Intervall [c,d] heraus, so erhält man die leere Menge oder ein oder zwei der folgenden Intervalle $[a,\max(a,c))$ und $(\min(b,d),b]$. Diese sind nicht wieder abgeschlossen. Deshalb betrachten wir linksseitig offene, rechtsseitig abgeschlossene Intervalle.

Aus demselben Grund betrachten wir linksseitig offene und rechtsseitig abgeschlossene Rechtecke im $R^{2}$, d.h Mengen der Form $(a,b]\times (c,d]$.

Verallgemeinert im $\mathbb {R} ^{p}$ betrachten wir $(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{p},b_{p}]$, wobei immer $a_{i}<b_{i}$ gelten soll.

Dabei führen wir gleich eine abkürzende Vektorschreibweise ein mit $a=(a_{1},\ldots ,a_{p}),b=(b_{1},\ldots ,b_{p})$:

Definition

• Die Intervalle in $\mathbb {R}$ sind

${\begin{aligned}I^{1}&:=\left\{(a,b]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} ,a_{i}<b_{i}\right\}\cup \{\emptyset \}\\\end{aligned}}$

• Die Rechtecke und (verallgemeinerten) Quader in $\mathbb {R} ^{p},p\geq 2$ seien

${\begin{aligned}I^{p}&:=\left\{(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{p},b_{p}]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} ,a_{i}<b_{i}\right\}\cup \{\emptyset \}\\&=\left\{\left(\left({\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{p}\\\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}b_{1}\\\vdots \\b_{p}\\\end{matrix}}\right)\right\rbrack :a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} ,a_{i}<b_{i}\right\}\cup \{\emptyset \}\\&:=\left\{(a,b]:a,b\in \mathbb {R} ^{p},\forall 1\leq i\leq p:a_{i}<b_{i}\right\}\cup \{\emptyset \}\end{aligned}}$

• Es gibt die Konvention, dass wir die leere Menge auch als Rechteck betrachten. Gerade in Beweisen ist dies hilfreich, da dort häufiger die leere Menge auftritt und wir so Fallunterscheidungen vermeiden können. Zudem machen wir die Konvention $(a,b]=\emptyset$ für $a\geq b$.

Länge, Fläche und (verallgemeinertes) Volumen

Definition

• Die Länge des Intervalles $(a,b]$ ist das Bekannte $b-a$. Als Länge der Vereinigung von endlich vielen disjunkten (!) Intervallen $(a,b]\uplus ...\uplus (y,z]$ legen wir die Summe der Einzellängen fest: $(b-a)+\ldots +(z-y)$.
• Die Fläche eines Rechteckes $(a_{1},b_{1}]\times (a_{2},b_{2}]$ im $\mathbb {R} ^{2}$ soll definiert werden als das Produkt der Seitenlängen.
  ${\begin{aligned}{\text{Fläche}}\left((a_{1},b_{1}]\times (a_{2},b_{2}]\right):=&(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\geq 0\\{\text{Fläche}}(\emptyset )=&0\end{aligned}}$

  Denn zwei identisch Rechtecke aneinandergelegt, ergibt ein doppelt so großes Rechteck (die Fläche soll sich beim Verschieben ja nicht ändern, was man "translationsinvariant" nennt) und die eine Seitenlänge verdoppelt sich dabei. Analog gilt es für die andere Seite: wenn man die Rechtecke andersherum aneinanderlegt ist das entstehende Rechtecke erneut doppelt so groß und die andere Seitenlänge hat sich verdoppelt. D.h. die Formel der Flächenbestimmung muss für jede Seite multiplikativ sein: eben das Produkt der Seitenlängen.

  Nach Voraussetzung ist $b_{i}>a_{i}$ und somit die Fläche stets größer gleich Null.

  Gilt für ein $i\quad a_{i}\geq b_{i}$, so ist nach Vereinbarung oben das Intervall die leere Menge und die ganze Fläche Null.

• Die Fläche von der endlichen disjunkten Vereinigung
  $\biguplus _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]\times (c_{i},d_{i}]$

  legen wir als die Summe der Einzelflächen fest:

  ${\text{Fläche}}\left(\biguplus _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]\times (c_{i},d_{i}]\right)=\sum _{i=1}^{n}(\ (d_{i}-c_{i})(b_{i}-a_{i})\ )$
• Das Volumen eines verallgemeinerten Quaders $(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{p},b_{p}]$ im $R^{p}$ mit $p\geq 3$ soll ebenfalls definiert werden als das Produkt der Seitenlängen
  ${\begin{aligned}{\text{(verallgemeinertes) Volumen}}((a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{p},b_{p}]):=&\prod _{i=1}^{p}(b_{i}-a_{i})\geq 0\\{\text{(verallgemeinertes) Volumen}}(\emptyset )=&0\end{aligned}}$

  Nach Voraussetzung ist $b_{i}>a_{i}$ und somit das Volumen stets größer gleich Null. Gilt für ein $i\quad a_{i}\geq b_{i}$, so ist nach Vereinbarung oben das Intervall die leere Menge und das ganze verallgemeinerte Volumen Null.

• Das Volumen einer endlichen disjunkten Vereinigung von verallgemeinerten Quadern legen wir fest als Summe der Einzelvolumina
  ${\text{(verallgemeinertes) Volumen}}\left(\biguplus _{i=1}^{n}(a_{i1},b_{i1}]\times \ldots \times (a_{ip},b_{ip}]\right):=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{p}(b_{ij}-a_{ij})$

Eigenschaften von Rechtecken

Das besondere an Rechtecken ist, dass man bei endlicher Vereinigung und Ausschneiden $A\backslash B$ erneut eine disjunkte Vereinigung von Rechtecken erhält.

• 
  Der Schnitt von Rechtecken ist ein Rechteck
• 
  Ein Rechteck aus einem Rechteck herausgeschnitten ergibt 3 kleine disjunkte Rechtecke
• 
  Ein Rechteck aus einem Rechteck herausgeschnitten ergibt 4 kleine disjunkte Rechtecke

Deshalb wählt man Rechtecke, um die Fläche anderer Mengen zu nähern. Im $\mathbb {R} ^{p},p\geq 3$ wählt man dazu (verallgemeinerte) Quader.

Satz (Eigenschaften von Quadern)

• Der Schnitt zweier Quader ist ein Quader:
  $\forall A,B\in I^{p}:\ A\cap B\in I^{p}$
• Schneidet man einen Quader $B$ aus einem Quader $A$ heraus, so erhält man eine disjunkte Vereinigung von Quadern. In mathematischer Formulierung: Für alle Quader $A,B$ gibt es eine natürliche Zahl $m$, sodass der Rest von $A$ ohne $B$ sich schreiben lässt als disjunkte Vereinigung von $m$ Quadern.
  $\forall A,B\in I^{p}\exists m\in \mathbb {N} ,\exists C_{j}\in I^{p}:\ A\backslash B=\biguplus _{i=1}^{m}C_{j}$

Beweis (Eigenschaften von Quadern)

1. a) Die Quader schneiden sich $\forall j:\max _{i=1}^{2}a_{i,j}<\min _{i=1}^{2}b_{i,j}$:

In allen Koordinaten müssen sich die Quader schneiden, sonst sind sie disjunkt. Das ergibt in jeder Koordinate den Schnitt der Intervalle:

${\begin{aligned}&(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1p},b_{1p}]\ \cap \ (a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2p},b_{2p}]\\=&(\max _{i=1}^{2}a_{i1},\min _{i=1}^{2}b_{i1}]\times \ldots \times (\max _{i=1}^{2}a_{ip},\min _{i=1}^{2}b_{ip}]\end{aligned}}$

1. b) Die Quader sind disjunkt: $\exists j:\max _{i=1}^{2}a_{i,j}\geq \min _{i=1}^{2}b_{i,j}$:

In mindestens einer Koordinate schneiden sich die Intervalle nicht. In dieser Koordinate tritt dann die leere Menge auf und der gesamte Schnitt der Quader wird die leere Menge:

$(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1p},b_{1p}]\ \cap \ (a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2p},b_{2p}]=\emptyset \in I^{p}$

Induktion nach der Dimension des Raumes 2. a) im Zweidimensionalen, p=2:

Das Komplement des Rechtecks $(a_{21},b_{21}]\times (a_{22},b_{22}]$ lässt sich darstellen durch die disjunkte Vereinigung von

• allen Punkten, die in der 1. Koordinate links von $a_{21}$ sind
• allen Punkten, die in der 1. Koordinate rechts von $b_{21}$ sind
• allen Punkten, die in der 1. Koordinate in $(a_{21},b_{21}]$ liegen, aber in der 2. Koordinate links von $a_{22}$ sind
• allen Punkten, die in der 1. Koordinate in $(a_{21},b_{21}]$ liegen, aber in der 2. Koordinate rechts von $b_{22}$ sind

In Formelschreibweise ist das

${\begin{aligned}&\left((a_{21},b_{21}]\times (a_{22},b_{22}]\right)^{C}\\=&(-\infty ,a_{21}]\times \mathbb {R} \\&\uplus (b_{21},\infty )\times \mathbb {R} \\&\uplus (a_{21},b_{21}]\times (-\infty ,a_{22}]\\&\uplus (a_{21},b_{21}]\times (b_{22},\infty )\end{aligned}}$

Diese 4 disjunkten Mengen werden bei der Berechnung von $A\backslash B$ geschnitten mit $(a_{11},b_{11}]\times (a_{12},b_{12}]$. Das ergibt wieder 4 disjunkte Rechtecke $C_{1},\ldots ,C_{4}$.

${\begin{aligned}A\backslash B=&A\cap B^{C}\\=&(a_{11},b_{11}]\times (a_{12},b_{12}]\ \cap \ \left((a_{21},b_{21}]\times (a_{22},b_{22}]\right)^{C}\\=&(a_{11},\min(b_{11},a_{21})]\times (a_{12},b_{12}]\\&\uplus (\max(a_{11},b_{21}),b_{11})\times (a_{12},b_{12}]\\&\uplus (\max(a_{11},a_{21}),\min(b_{11},b_{21})]\times (a_{12},\min(b_{12},a_{22})]\\&\uplus (\max(a_{11},a_{21}),\min(b_{11},b_{21})]\times (\max(b_{22},a_{12}),b_{12}]\\=&\biguplus _{j=1}^{4}C_{j}{\text{ mit }}C_{j}\in I^{2}\end{aligned}}$

2. b) im p+1-dimensionalen, $p\rightarrow p+1$:

Das Komplement des Quaders $(a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2,p+1},b_{2,p+1}]$ lässt sich darstellen durch die disjunkte Vereinigung von

• allen Punkten, die in den ersten p Koordinaten in $(a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2p},b_{2p}]$ liegen und in der p+1-ten Koordinate rechts von $b_{2,p+1}$ liegen
• allen Punkten, die in den ersten p Koordinaten in $(a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2p},b_{2p}]$ liegen und in der p+1-ten Koordinate kleiner gleich $a_{2,p+1}$ sind
• allen Punkten, die in den ersten p Koordinaten im Komplement von $(a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2p},b_{2p}]$ liegen und in der p+1-ten Koordinate in $(a_{2,p+1},b_{2,p+1}]$ liegen

In Formelschreibweise ist das

${\begin{aligned}&\left((a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2,p+1},b_{2,p+1}]\right)^{C}\\=&(a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2p},b_{2p}]\times (b_{2,p+1},\infty )\\&\uplus (a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2p},b_{2p}]\times (-\infty ,a_{2,p+1}]\\&\uplus \left((a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2,p},b_{2,p}]\right)^{C}\times (a_{2,p+1},b_{2,p+1}]\\\end{aligned}}$

Damit erhalten wir drei disjunkte Mengen, die wir mit $(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1,p+1},b_{1,p+1}]$ schneiden. Für die dritte entstehende Menge benutzen wir die Induktionsvoraussetzung, das ergibt

${\begin{aligned}&A\backslash B=A\cap B^{C}\\=&(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1,p+1},b_{1,p+1}]\cap \left((a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2,p+1},b_{2,p+1}]\right)^{C}\\=&(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1,p+1},b_{1,p+1}]\cap (a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2p},b_{2p}]\times (b_{2,p+1},\infty )\\&\uplus (a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1,p+1},b_{1,p+1}]\cap (a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2p},b_{2p}]\times (-\infty ,a_{2,p+1}]\\&\uplus (a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1,p+1},b_{1,p+1}]\cap ((a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2,p},b_{2,p}])^{C}\times (a_{2,p+1},b_{2,p+1}]\\{\stackrel {\text{Fall p=1}}{=}}&C_{1}\uplus C_{2}\\&\uplus \underbrace {(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1p},b_{1p}]\backslash ((a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2,p},b_{2,p}])} _{=A\cap B^{C}{\text{ in }}I^{p}}\ \times (\max _{i=1}^{2}a_{i,p+1},\min _{i=1}^{2}b_{i,p+1}]\\{\stackrel {\text{Fall p}}{=}}&\underbrace {C_{1}} _{\in I^{p+1}}\uplus \underbrace {C_{2}} _{\in I^{p+1}}\uplus \biguplus _{j=3}^{n}\left(\underbrace {D_{j}} _{\in I^{p}}\times \underbrace {D_{0}} _{\in I^{1}}\right)\\=&\biguplus _{j=1}^{n}\underbrace {C_{j}} _{\in I^{p+1}}\end{aligned}}$

Quader aus Quader herausschneiden

Satz (Weitere Eigenschaften von Quadern)

Wenn man aus einem Quader endlich viele Quader herausschneidet, erhält man eine Vereinigung disjunkter Quader. Für jeden Quader $A$ und für jede Menge $B_{1},\ldots ,B_{n}$ an Quadern kann $A$ ohne $\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}$ in endlich viele disjunkte Quader $C_{1}$ bis $C_{m}$ zerlegt werden:

$A\backslash \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\biguplus _{j=1}^{m}C_{j}$

Beweis (Weitere Eigenschaften von Quadern)

Induktion: n=1:

Das haben wir im letzten Satz gezeigt.

Induktion $n\rightarrow n+1$:

Dann gilt

${\begin{aligned}A\backslash \bigcup _{i=1}^{n+1}B_{i}=&\left(A\cap \bigcap _{i=1}^{n}B_{i}^{C}\right)\cap B_{n+1}^{C}\\{\stackrel {\text{ Fall n}}{=}}&\left(\biguplus _{j=1}^{m}C_{j}\right)\cap B_{n+1}^{C}=\biguplus _{j=1}^{m}\underbrace {C_{j}\cap B_{n+1}^{C}} _{=C_{j}\backslash B_{n+1}}\\{\stackrel {\text{ Fall n=1}}{=}}&\biguplus _{j=1}^{m}\biguplus _{k=1}^{l_{j}}D_{kj}{\text{ mit }}D_{kj}\in I^{p}\end{aligned}}$

Ringe

Wir hatten gesehen, dass wir endichen disjunkten Vereinigungen von Rechtecken eine eindeutige Fläche zuordnen können.

Zudem haben diese die praktische Eigenschaft, dass der Rest nach Schnitt oder Vereinigung zweier disjunkter Vereinigungen von Rechtecken wieder eine disjunkte Vereinigung von Rechtecken ist, also dasselbe mathematische Objekt.

Ein mathematisches Objekt mit diesen Eigenschaften benennen wir als Ring. In späteren Sätzen setzen wir nur diese Ring-Eigenschaft voraus. Sie genügt, und es ist einfacher damit zu rechnen als mit Vereinigungen von Rechtecken und Quadern. Zudem gelten die Aussagen dann für alle Ringe (nicht nur die endliche disjunkte Vereinigung von Rechtecken oder Quadern), was wir aber noch nicht benötigen.

Definition (Ringe)

$R\subseteq Pot(W)$ heißt Ring genau dann wenn

• Die leere Menge ist im Ring

$\emptyset \in R$

• Schneidet man aus einer Menge des Ringes eine andere heraus, ist der Rest wieder im Ring.

Aus $A,B\in R$ folgt $A\backslash B=A\cap B^{C}\in R$

• Die Vereinigung zweier Mengen aus dem Ring ist wieder im Ring

Aus $A,B\in R$ folgt $A\cup B\in R$

Satz (Rechenregel für Ringe)

1. Sei R ein Ring und $A,B\in R$. Dann ist der Schnitt von $A,B$ in $R:\ A\cap B\in R$.

Beweis (Rechenregel für Ringe)

Beweisschritt:

$A\cap B=A\cap (A^{C}\cup B)=A\cap (A\cap B^{C})^{C}=A\backslash (A\backslash B)\in R$

Satz

Die Menge der endlich vielen disjunkten Quader

$F^{p}:=\left\{\left.\biguplus _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]\ \right|\ a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} ^{p},n\in \mathbb {N} \right\}\cup \{\emptyset \}$

ist ein Ring.

Genau deshalb haben wir die Definition gemacht, und genau das müssen wir nun nachrechnen.

Beweis

Beweisschritt:

Nach Definition gilt $\emptyset \in F^{p}$.

Seien $A=\biguplus _{k=1}^{m}A_{k}$ und $B=\biguplus _{l=1}^{n}B_{l}$ in $F^{p}$. Dann gilt

$A\backslash B=\biguplus _{k=1}^{m}\left(A_{k}\backslash \left(\biguplus _{l=1}^{n}B_{l}\right)\right){\stackrel {\text{Satz oben}}{=}}\biguplus _{k=1}^{m}\biguplus _{i=1}^{n_{k}}\underbrace {C_{ik}} _{\in I^{p}}\in F^{p}$

Zudem gilt

${\begin{aligned}A\cup B=&(A\cap B^{C})\uplus B\\=&\left(\biguplus _{k=1}^{m}A_{k}\backslash B\right)\uplus \biguplus _{l=1}^{n}B_{l}\\=&\biguplus _{k=1}^{m}\biguplus _{s=1}^{t_{k}}C_{k,s}\uplus \biguplus _{l=1}^{n}B_{l}\\\in &F^{p}\end{aligned}}$

Aufgabe (Naheliegender Ring)

Zeige: Die Menge der endlichen Teilmengen (inklusive der leeren Menge)

${\begin{aligned}\{A\subset \mathbb {R} :A{\text{ endlich}}\}\cup \{\emptyset \}\end{aligned}}$

ist ein Ring $R$ über $\mathbb {R}$ (analog für jede andere Grundmenge)

Wie kommt man auf den Beweis? (Naheliegender Ring)

Rechne die Ringeigenschaften nach.

Beweis (Naheliegender Ring)

$\emptyset \in R$ nach Definition.

Seien $A,B\in R$. Wegen $A\backslash B\subset A$ ist $A\backslash B$ endlich und in $R$.

Die Addition zweier endlicher Zahlen ist endlich. Damit ist $A\cup B$ weiterhin endlich und in $R$.