Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Mittelwerteigenschaft der Laplacegleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wir

Wir haben die Transportgleichung bearbeitet und dann die Fundamentallösung der Laplacegleichung betrachtet. Mit dieser haben wir eine Ganzraumlösung der Poisongleichung erhalten.

Mittelung von $u$ über die Kugeloberfläche

Die Forderung der Laplacegleichung $\Delta u=0$ ist unter anderem wegen der Rotationssymmetrie Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung#Der Laplaceoperator_ist_rotationssymmetrisch so stark, dass sich eine Mittelwerteigenschaft beweisen läßt: der Funktionswert von $u$ ist gleich dem Mittelwert-Integral über eine Kugel(oberfläche), wobei der Radius auch noch beliebig gewählt werden kann (innerhalb des Definitionsbereiches). Diese Eigenschaft verwenden wir mehrfach in Beweisen der folgenden Kapitel. Das erinnert uns an die Funktionentheorie, in der auch eine Mittelwerteigenschaft gilt, aber für die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Dazu benötigen wir folgenden Hilfssatz:

Satz

Sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen mit $B(x_{0},R)\subseteq U$ und $u\in C^{2}(U)$. Sei

$F:(0,R)\rightarrow \mathbb {R} ,r\mapsto {\frac {1}{Vol(\partial B(x_{0},r))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}udS$

Dann gilt

${\begin{aligned}F'(r)={\frac {r}{nVol(B(x_{0},r))}}\int _{B(x_{0},r)}\Delta udx\end{aligned}}$

Beweis

Wir wollen die $r$-Abhängigkeit aus den Integralgrenzen auf die Funktion übertragen, um leicht ableiten zu können und berechnen daher mit

$T:\partial B(0,1)\rightarrow \partial B(x_{0},r),x\mapsto x_{0}+rx$

und der Transformationsformel, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Die_Transformationsformel unter Verwenden von $\det DT=r^{n-1}$

${\begin{aligned}F(r)=&{\frac {1}{Vol(\partial B(x_{0},r))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}udS(y)\\{\stackrel {\text{Trafo-Formel}}{=}}&{\frac {1}{r^{n-1}Vol(\partial B(0,1))}}\int _{\partial B(0,1))}u\circ T(x)|\det DT|dS(x)\\=&{\frac {1}{Vol(\partial B(0,1))}}\int 1_{\partial B(0,1)}u(x_{0}+rx)dS(x)\end{aligned}}$

Für festes $x\in \partial B(0,1)$ ist $u(x_{0}+rx)$ differenzierbar nach $r$ und hat die Ableitung

${\frac {d}{dr}}u(x_{0}+rx)=\nabla u(x_{0}+rx)\cdot x$

Diese ist als stetige Funktion integrierbar auf $\partial B(0,1)$ und Ableitung und Integral lassen sich vertauschen, da die stetige Ableitung auf dem kompakten $\partial B(0,1)$ beschränkt ist Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung.

${\begin{aligned}F'(r)=&{\frac {d}{dr}}{\frac {1}{Vol(\partial B(0,1))}}\int _{\partial B(0,1)}u(x_{0}+rx)dS(x)\\=&{\frac {1}{Vol(\partial B(0,1))}}\int _{\partial B(0,1)}{\frac {d}{dr}}u(x_{0}+rx)dS(x)\\=&{\frac {1}{Vol(\partial B(0,1))}}\int 1_{\partial B(0,1)}(x)\nabla u(x_{0}+rx)\cdot xdS(x)\end{aligned}}$

Mit $T^{-1}(x_{0}+rx)=x$ und der Transformationsformel übertragen wir die $r$-Abhängigkeit wieder zurück auf die Integralgrenzen, da wir schon abgeleitet haben.

${\begin{aligned}F'(r)=&{\frac {1}{Vol(\partial B(0,1))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}\nabla u(y)\cdot T^{-1}(y)\cdot |\det(DT^{-1})|dS(y)\\=&{\frac {1}{Vol(\partial B(0,1))r^{n-1}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}\nabla u(y)\cdot {\frac {y-x_{0}}{r}}dS(y)\end{aligned}}$

Jetzt ist ${\frac {y-x_{0}}{r}}$ der äußere Einheitsnormalenvektor an die Mannigfaltigkeit $B(x_{0},r)$ im Punkt $x$ und wir können den Satz von Gauß bzw. Stokes anwenden

${\begin{aligned}F'(r){\stackrel {\text{Stokes/Gauß}}{=}}&{\frac {1}{Vol(\partial B(x_{0},r))}}\int _{B(x_{0},r)}div(\nabla u(y))dy\\=&{\frac {r}{nVol(B(x_{0},r))}}\int _{B(x_{0},r)}\Delta udy\end{aligned}}$

Die Umrechnung der Volumina erfolgte wie bewiesen im Kapitel Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung

Die Mittelwerteigenschaft

Diese Eigenschaft ist zentral und aus ihr leiten wir mehrere wichtige Folgerungen ab in den folgenden Kapiteln.

Satz

Sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und ${\overline {B(x_{0},r)}}\subseteq U,u\in C^{2}(U)$.

i) Falls $u$ harmonisch ist, d.h. $\Delta u=0$ in $U$ folgt

$u(x_{0})={\frac {1}{Vol(\partial B(x_{0},r))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}udS={\frac {1}{Vol(B(x_{0},r))}}\int _{\ B(x_{0},r)}udV$

ii) Falls $\Delta u\geq 0$ in $U$ folgt

${\begin{aligned}u(x_{0})\leq &{\frac {1}{Vol(\partial B(x_{0},r))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}udS\\u(x_{0})\leq &{\frac {1}{Vol(B(x_{0},r))}}\int _{\ B(x_{0},r)}udV\end{aligned}}$

iii) Falls $\Delta u>0$ in $U$ folgt

${\begin{aligned}u(x_{0})<&{\frac {1}{Vol(\partial B(x_{0},r))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}udS\\u(x_{0})<&{\frac {1}{Vol(B(x_{0},r))}}\int _{\ B(x_{0},r)}udV\end{aligned}}$

Beweis

ii) $\Rightarrow$ i): Kleiner gleich folgt automatisch aus ii). Wegen $\Delta (-u)=-\Delta u=0$ können wir ii) anwenden auf $-u$ und erhalten nach Multiplikation mit $-1$ größer gleich

${\begin{aligned}-u(x_{0})\leq &{\frac {1}{Vol(\partial B(x_{0},r))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}(-u)dS\\u(x_{0})\geq &{\frac {1}{Vol(\partial B(x_{0},r))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}udS\\\end{aligned}}$

und damit insgesamt die Gleichheit.

ii) Aus $\Delta u\geq 0$ folgt, dass $F'$ größer gleich Null ist und damit $F$ monoton wachsend ist:

Es gilt $\forall r\in (0,{\overline {r}}]$

${\begin{aligned}F'(r)={\frac {r}{nVol(B(x_{0},r))}}\int _{B(x_{0},r)}\underbrace {\Delta u} _{\geq 0}dx\end{aligned}}$

Mit dem Hilfssatz des Kapitels

Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Poissongleichung_im_Ganzraum

ist der Funktionswert von $u$ der Grenzwert des Mittelwertintegrales über $u$

${\begin{aligned}u(x_{0})=&\lim _{r\rightarrow 0}F(r)\end{aligned}}$

Da F monoton steigend ist, ergibt sich

${\begin{aligned}u(x_{0})=&\lim _{r\rightarrow 0}F(r)\leq F(r)={\frac {1}{Vol(\partial B(x_{0},r))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}udS\end{aligned}}$

Damit ist die erste Ungleichung bewiesen. Die zweite Ungleichung folgt durch Integration über $r$:

${\begin{aligned}u(x_{0})Vol(B(x_{0},r))=&u(x_{0})Vol(B(x_{0},1))r^{n}\\=&u(x_{0})Vol(B(x_{0},1))\int _{0}^{r}ns^{n-1}ds\\=&Vol(\partial B(x_{0},1))\int _{0}^{r}u(x_{0})s^{n-1}ds\\\leq &Vol(\partial B(x_{0},1))\int _{0}^{r}{\frac {1}{Vol(\partial B(x_{0},s))}}\int _{\partial B(x_{0},s)}udSs^{n-1}ds\\=&\int _{0}^{r}\int _{\partial B(x_{0},s)}udSds\\=&\int _{B(x_{0},r)}udV\end{aligned}}$

iii) Hier ist $F$ streng monoton wachsend (da $F'(r)>0$) und die beiden Kleiner-Gleich-Zeichen werden durch Kleiner-Zeichen ersetzt.

Gleichwertigkeit von "harmonisch" und Mittelwerteigenschaft

Nun zeigen wir, dass "harmonisch" tatsächlich gleichbedeutend ist mit der Mittelwerteigenschaft.

Satz (Mittelwerteigenschaft)

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und $u\in C^{2}(U)$. Dann sind äquivalent:

i) $u$ ist harmonisch, d.h. $\Delta u=0$ in $U$.

ii) $u$ erfüllt die sphärische Mittelwerteigenschaft, d.h. es gilt

$\forall x_{0}\in U,r>0,{\overline {B(x_{0},r)}}\subseteq U:\quad u(x_{0})={\frac {1}{Vol(\partial B(x_{0},r))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}udS$

iii) $u$ erfüllt die Mittelwerteigenschaft auf Kugeln

$\forall x_{0}\in U,r>0,{\overline {B(x_{0},r)}}\subseteq U:\quad u(x_{0})={\frac {1}{Vol(B(x_{0},r))}}\int _{B(x_{0},r)}udV$

iv) $u$ erfüllt die Mittelwerteigenschaft auf kleinen Kugeln, d.h. für alle $x_{0}\in U$ existiert ein $R(x_{0})<dist(x_{0},\partial U)$, sodass für alle $r<R(x_{0})$

$u(x_{0})={\frac {1}{Vol(B(x_{0},r))}}\int _{B(x_{0},r)}udV$

Beweis (Mittelwerteigenschaft)

:

i) $\Rightarrow$ ii): haben wir im Satz darüber bewiesen.

ii) $\Rightarrow$ iii): Folgt mittels Integration über Polarkoordinaten

${\begin{aligned}\int _{B(x_{0},r)}udx=&\int _{0}^{r}\int _{\partial B(x_{0},s)}udSds\\=&\int _{0}^{r}s^{n-1}\underbrace {\int _{B(0,1)}udS} _{=u(x_{0})Vol(\partial B(0,1))}ds\\=&Vol(\partial B(0,1))\cdot \int _{0}^{r}s^{n-1}u(x_{0})ds\\=&Vol(\partial B(0,1)){\frac {r^{n}}{n}}u(x_{0})\end{aligned}}$

d.h.

${\begin{aligned}u(x_{0})=&{\frac {1}{Vol(B(x_{0},r))}}\int _{B(x_{0},r)}udx\end{aligned}}$

iii) $\Rightarrow$ iv) : Wähle $R(x_{0})<dist(x_{0},\partial U)$ gemäß iii) beliebig.

iv) $\Rightarrow$ i): Beweis durch Widerspruch. Annahme es gilt iv) und $\Delta u(x_{0})\neq 0$ für ein $x_{0}\in U$, ohne Einschränkung $\Delta u(x_{0})>0$.

Da $u\in C^{2}(U)$ ist $\Delta u$ stetig und es gibt eine Kugel $B(x_{0},r)$ mit $r<R(x_{0})$ und

$\forall x\in B(x_{0},r):\quad \Delta u(x)>0$

Mit dem vorherigen Satz folgt

$u(x_{0})<{\frac {1}{Vol(B(x_{0},r))}}\int _{B(x_{0},r)}udV$

ein Widerspruch zu iv).