Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Diverses

Lösen einer quadratischen Gleichung mit der quadratischen Ergänzung

Wenn man ein Studium aufnimmt, kann man i.a. eine quadratische Gleichung auflösen, oder präziser: Man sollte es können. Die meisten haben in der Schule gelernt, eine quadratische Gleichung mit Hilfe der so genannten Mitternachtsformel zu lösen, welche man angeblich so nennt, weil man auch in der Lage sein soll, sie fehlerfrei zu zitieren, wenn man des Nachts geweckt wird.

Geht man vom allgemeinen Ausdruck

$ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0$

aus, ergeben sich für die quadratische Gleichung die Lösungen

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

als Mitternachtsformel.

Als Heranwachsender oder Heranwachsende hat man offensichtlich noch genügend freie Kapazitäten, sich solchen Ballast merken zu können. Aber ein durchschnittlicher Erwachsener schafft das nicht mehr. Deshalb freut man sich, ein Verfahren zur Hand zu haben, das sich durch logisches Nachdenken erschließt: Die quadratische Ergänzung.

Zu diesem Behufe normieren wir zunächst die Gleichung, indem wir die Gleichung mit a durchdividieren:

$x^{2}+px+q=0\quad$

mit p=b/a und q=c/a. Als Nächstes bringen wir q auf die rechte Seite:

$x^{2}+px=-q\quad$.

Nun machen wir uns die binomische Formel

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

zunutze. Wir werden also erst mal die Gleichung umformen in

$x^{2}+px+y^{2}=-q+y^{2}$.

Nun müssen wir nur rauskriegen, wie wir aus $px$ $2xy$ machen können, denn dann haben wir auch $y^{2}$. Das ist einfach:

Es ist $px=2xy$. Daraus folgt dann $y=p/2$. Der Rest ist ein Kinderspiel.

$x^{2}+2xy+y^{2}=-q+y^{2}$ bzw.

$(x+y)^{2}=-q+y^{2}$.

Durch Wurzelziehen erhalten wir

$(x+y)=\pm {\sqrt {-q+y^{2}}}$

und die Lösungen

$x_{1}=-y-{\sqrt {-q+y^{2}}}$ und $x_{2}=-y+{\sqrt {-q+y^{2}}}$.

Beispiel:

Zu lösen ist die Gleichung

$-2x^{2}+6x+20=0$.

Wir normalisieren zuerst:

$x^{2}-3x-10=0$.

Wir bringen q auf die rechte Seite:

$x^{2}-3x=10$.

Nun wollen wir die linke Seite in $x^{2}+2xy+y^{2}$ umwandeln. Es ist $y=p/2=-3/2$. Wir erhalten

$x^{2}-2\cdot x\cdot \ {\frac {3}{2}}+\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}$

und pflegen das in die Gleichung ein. Nachdem wir links $\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}$ dazugefügt haben, machen wir das rechts auch und erhalten

$x^{2}-2\cdot x\cdot \ {\frac {3}{2}}+\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}=10+\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}$,

was gleichbedeutend mit

$\left({x-{\frac {3}{2}}}\right)^{2}=10+\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}$

bzw.

$\left({x-{\frac {3}{2}}}\right)^{2}={\frac {49}{4}}$

ist. Nun ziehen wir die Wurzel und erhalten

$x-{\frac {3}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {49}{4}}}=\pm {\frac {7}{2}}$.

Er ergeben sich die Lösungen:

$x_{1}={\frac {3}{2}}-{\frac {7}{2}}=-2$

und

$x_{2}={\frac {3}{2}}+{\frac {7}{2}}=5$ .

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