Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Tilgungsrechung
Tilgungen
[Bearbeiten]Tilgungsrechnung wird u.a. beim Abzahlen von Schulden angewendet.
Man geht modellhaft davon aus, dass zum Beginn des ersten Jahres (also am Ende von t=0) ein Darlehensbetrag an den Schuldner ausgezahlt wird. Diese Schuld wird im Laufe mehrerer Jahre abbezahlt. Am Ende eines jeden Jahres wird die
- Annuität = Zinsen + Tilgung
fällig. Den Ablauf der Tilgung kann man im Tilgunsplan leicht berechnen.
Beispiel:
Die Managerin Berta hat für den Kauf eines standesgemäßen PKW einen Kredit von 50.000 € aufgenommen. Vereinbart sind 7% Zins. Es soll in 5 Jahren wie folgt getilgt werden: Im ersten Jahr 5000 €, im zweiten Jahr 7000 €, dann 10000 €, 12000 € und 16000 €.
Jahr Restschuld zu Zinsen Tilgung Annuität t Anfang des Jahres 1 50000 3500 5000 8500 2 45000 3150 7000 10150 3 38000 2660 10000 12660 4 28000 1960 12000 13960 5 16000 1120 16000 17120 ------------------------------------------------------------ Summe ----- 12390 50000 62390
Häufig verwendet wird die Annuitätentilgung. Hier wird in jeder Periode ein gleichbeibender Betrag gezahlt, der sich aus Zins und Tilgung zusammensetzt. Im Laufe der Zeit steigt der Anteil der Tilgung, weil immer weniger Zins bezahlt werden muss.
Beispiel
Der frischgebackene Steuerberater Bert braucht für den Umbau seiner Praxis ein Darlehen über 50000 €. Ihm wird Annuitätentilgung empfohlen mit jährlichen Raten zu je 12000 € zu einem Zinsfuß von 7%. Es ergibt sich der Tilgungsplan
Jahr Restschuld Zinsen Tilgung Annuität 1 50000 3500 8500 12000 2 41500 2905 9095 12000 3 32405 2268,35 9731,65 12000 4 22673,35 1587,13 10412,87 12000 5 12260,48 858,23 11141,77 12000 ---------------------------------------------------------------- Summe ----- 11118,71 48881,29 60000
Wir sehen, dass lediglich 48881,28 € getilgt worden sind. Die restlichen 50000 - 48881,28 = 1118,72 € werden dann noch extra bezahlt.
Besonders elegant ist es natürlich, die Annuität festzulegen, dass mit Ablauf der Zahlungsdauer keine Restschuld mehr bleibt. Wir wollen uns überlegen, wie man das angehen könnte. Bezeichnen wir die Annuität mit r. Es wird also an jedem Ende eines Jahres ein Betrag r an den Gläubiger gezahlt. Wir sehen sofort, dass das mit einer Rentenzahlung vergleichbar ist. Wir wollen nun die Seite des Gläubigers einnehmen. Er hat in unserem Beispiel eine Investition getätigt: Er hat 50000 € verliehen. Er wird für die Zeit, in der er das Geld nicht zur Verfügung hat, belohnt - mit 7% Zinsen. Er soll am Ende eines jeden Jahres einen gleichbleibenden Betrag r erhalten. Die Investition ist zum heutigen Zeitpunkt der Darlehensgewährung genau 50.000 € wert. Das ist also der Barwert der Zahlungen. Unser Rentenproblem lautet:
Gesucht ist die Rate für einen Barwert von 50.000 € bei nachschüssiger Zahlung über 5 Jahre und einem Zinsfuß von 7%, also
- ,
was eingesetzt ergibt
- ,
und nach r aufgelöst
- .
Die Annuität beträgt also 12194,53. Da die erste Zinszahlung 50.000 · 0,07 = 3500 beträgt, kann im ersten Jahr 12194,53 - 3500 = 8694,53 Tilgung gezahlt werden.
Man könnte nun auch wieder einen Tilgungsplan wie oben aufstellen, der aber dieses Mal aufgehen müsste. Es wäre eine gute Übung, den Tilgungsplan mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms zu erstellen.