Mathematik: Topologie: Umgebungen: Umgebungsfilter sind Filter

Zu 1: Sei $T=(X,{\mathcal {O}})$ ein topologischer Raum, $x\in X$ und ${\mathfrak {U}}(x)$ der Umgebungsfilter von x.

Dann gilt für alle Umgebungen U von x wegen $U\in {\mathfrak {U}}(x)\Leftrightarrow \exists O\in {\mathcal {O}}:x\in O\land O\subseteq U$ und der Transitivität der Inklusion $\forall A\subseteq X:U\subseteq A\Rightarrow O\subseteq A$, deshalb $\exists O\in {\mathcal {O}}:x\in O\land O\subseteq A$ und somit $A\in {\mathfrak {U}}(x)$, q.e.d..

Zu 2: Seien $U_{1},U_{2}\in {\mathfrak {U}}(x)$, T und X wie oben.

Dann existieren $O_{1},O_{2}\in {\mathcal {O}}$ mit $O_{1}\subseteq U_{1}$ und $O_{2}\subseteq U_{2}$ und somit$O_{1}\cap O_{2}\subseteq U_{1}\cap U_{2}$. Wegen definitionsgemäß $O_{1}\cap O_{2}\in {\mathcal {O}}$ und $x\in O_{1}\cap O_{2}$ gilt $U_{1}\cap U_{2}\in {\mathfrak {U}}(x)$, q.e.d..

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