Mathematik: Zahlentheorie: Goldbachvermutung

Der Mathematiker Christian Goldbach (1690 - 1764) stellte eine Vermutung auf, nach der sich jede gerade Zahl größer gleich 4 als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. Dies wird heute im allgemeinen als goldbachsche Vermutung bezeichnet.

Es wurden im Grunde genommen zwei Vermutungen aufgestellt: eine, die als schwach(ternäre) und eine die als starke(binäre) goldbachsche Vermutung in die Mathematik eingegangen sind. Die ternäre ist äquivalent zu der Frage, ob sich jede ungerade Zahl größer gleich 7 durch die Summe dreier Primzahlen darstellen lässt. Die binäre ist äquivalent zu der Frage, ob sich jede gerade Zahl größer gleich 4 als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt.

Die schwache Vermutung ist eine direkte Folge der starken Vermutung: Ist p eine ungerade Primzahl, dann ist g=p-3 eine gerade Zahl und gemäß der starken Vermutung ist g durch zwei Primzahlen r und s darstellbar. Also auch p = 3 + r + s.

Geprüft wurde die starke Goldbachvermutung für alle geraden Zahlen bis 4·10¹⁴ an der Universität Gießen im Jahre 1998. Dennoch ist man derzeit weder in der Lage sie zu beweisen noch zu widerlegen. Das bedeutet, dass alle geraden Zahlen bis 4·10¹⁴ als Summe zweier Primzahlen darstellbar sind.

Beispiele für die starke Goldbachvermutung sind :

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 5 + 3

10 = 5 + 5 = 7 + 3

12 = 7 + 5

14 = 7 + 7 = 11 + 3

16 = 11 + 5 = 13 + 3

18 = 11 + 7 = 13 + 5

20 = 13 + 7 = 17 + 3