Mathematik: Schulmathematik: Bruchrechnung

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Was ist ein Bruch?

Amelie, Ben, Clara und Dean hatten eben Bio und haben gleich Mathe. Jetzt haben sie aber erst mal Pause.

D: Ich hab wieder Gummibärchen mit!
B: Cool.
A: 1, 2, 3...
D: Du brauchst nicht zählen! Meine Mutter gibt mir immer genau 25 mit.
B: Das ist ja eine doofe Zahl… wie teilen wir die denn auf?
C: Also jeder von uns bekommt schon mal 6. Dann bleibt noch einer übrig.
B: Den bekommt Dean finde ich…
D: Hmmm… ich will aber, dass die gerecht aufgeteilt werden.
A: Naja wir könnten den Gummibären in vier Teile zerschneiden und jedem ein Stück geben.
B: Ja. Das ist gerecht.

Ohne es zu wissen, haben die vier sich eben beigebracht, was ein Bruch ist. Das ist praktisch, denn Bruchrechnung wird das Thema der nächsten Mathestunden sein. Trotzdem werden sie sich nicht ausruhen können, denn hier gibt es viel zu lernen.

Begriffe

  • Sowas wie {3 \over 5} oder {23 \over 2} nennt man Bruch.
  • Den Strich in einem Bruch nennt man Bruchstrich. Der Bruchstrich hat die gleiche Bedeutung wie ein Geteilt-Zeichen.

Man kann also 3:5 auch als {3 \over 5} schreiben.

Beispiel
3:5={3 \over 5}
Die Zahl über dem Bruchstrich nennt man Zähler.
In dem Bruch {3 \over 5} ist 3 also der Zähler.
Die Zahl unter dem Bruchstrich nennt man Nenner. In dem Bruch {3 \over 5} ist 5 also der Nenner.
Allgemein ist ein Bruch also folgendes: {Zaehler \over Nenner} oder Zaehler geteilt durch Nenner.
Bei einem Kehrbruch werden Zähler und Nenner eines Bruches getauscht. Also wird aus Zähler Nenner und aus Nenner wird Zähler.
Allgemein: Wenn wir den Bruch {Zaehler \over Nenner} haben, ist der Kehrbruch davon {Nenner \over Zaehler}.
Beispiel: Von {3 \over 5} ist der Kehrbruch {5 \over 3}.
Ist in einem Bruch der Zähler = 1, nennen wir den Bruch Stammbruch. Also {1 \over Nenner}.
Beispiel: {1 \over 36}
Die Mehrzahl von Bruch ist Brüche. Wir sagen also: "Da sind zwei Brüche".
Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben, nennen wir die Brüche Gleichnamige Brüche.
Beispiel für gleichnamige Brüche:
{3 \over 5} und  {7 \over 5} sind zwei gleichnamige Brüche.
Wenn zwei Brüche den gleichen Zähler haben, nennen wir die Brüche Gleichzahlige Brüche.
Beispiel für gleichzahlie Brüche:
{3 \over 5} und  {3 \over 7} sind zwei gleichzahlige Brüche.

Übungsaufgaben

Arten von Brüchen

Man unterteilt im wesentlichen drei Arten von Brüchen. Diese sind:

a) echter Bruch:

  • der Zähler ist kleiner als der Nenner
  • z. B. {3 \over 5} ist ein echter Bruch, da 3 (der Zähler) kleiner ist als 5 (der Nenner).
  • Ein echter Bruch ist kleiner als 1. Er bezeichnet einen (Bruch)teil eines Ganzen (einer ganzen Zahl)

b) unechter Bruch

  • der Zähler ist größer als der Nenner
  • z.B. {7 \over 5} ist ein unechter Bruch, da 7 (der Zähler) größer ist als 5 (der Nenner).
  • Ein unechter Bruch ist größer als 1. Er bezeichnet ein oder mehrere Ganze und einen Bruchteil dieses Ganzen

c) gemischter Bruch

  • besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch.
  • z. B. 2 {1 \over 4}
  • Dies ist eine vereinfachte Schreibform von 2+ {1 \over 4}

Beispielaufgabe

Wenn ihr euch an die Geschichte zu beginn des Kapitels erinnert: Da wurde ein Gummibär in vier Teile geteilt: 1 Gummibaer:4 Freunde= 1:4={1 \over 4}

Bedeutet also, jeder bekommt {1 \over 4} Gummibärchen.

In dem Bruch ist 1 der Zähler und 4 der Nenner. {1 \over 4} ist auch automatisch ein Stammbruch, da der Zähler 1 ist. Der Bruch ist auch ein echter Bruch, weil {1 \over 4} ein Teil des Ganzen beschreibt. Das Stück ist ja ein Bruchteil des ganzen Gummibärchens.


Übungsaufgaben

Kürzen und Erweitern von Brüchen

Die Mathestunde ist vorbei. Jetzt haben Amelie, Ben, Clara und Dean bei Herrn Schnipsel Deutsch. Der macht wie immer sehr langweiligen Unterricht. Und von unseren vier Freunden scheint nur Amelie interessiert am Unterricht zu sein:

B: Man, was interessiert mich Grammatik? Ich kann doch richtig sprechen.
D: Genau!
A: Pssst! Ich kann mich nicht konzentrieren!
D: Warum willst du dich denn konzentrieren?
A: Weil mich das interessiert.
B: Also mich interessiert das nicht.
D: Du Clara, wo guckst du eigentlich die ganze Zeit hin?
C: Auf die Uhr.
D: Also wenn du hoffst, dass die Zeit schneller geht würde ich nicht auf die Uhr gucken! Denn dann geht die Zeit nämlich langsamer.
B: Ach Quatsch! Das ist doch totaler Blödsinn.
C: Jungs! Ich gucke nicht auf die Uhr damit sie schneller läuft, sondern weil ich mich gerade Frage, wieso wir Halb eins sagen, wenn der Zeiger auf der 30 ist.
B: Ja weil der Zeiger dann halb rum ist.
C: Ja, das ist schon klar, aber wie kann es sein, dass die Hälfte 30 ist? Das Frage ich mich gerade.
D: Das ist wahrscheinlich so, wie wenn 50 die Hälfte ist.
B: Aber hier ist die 50 schon sehr viel mehr als die Hälfte! Sogar mehr als Dreiviertel.
C: Stimmt eigentlich Dean!
A: Jetzt seid doch endlich ruhig.
C: Wenn 50 die Hälfte ist, ist 100 alles. Und bei der Uhr ist alles, oder das ganze ja 60. Und die Hälfte davon ist 30.
A: Wenn ihr weiter redet, verpetze ich euch an Herrn Schnipsel.
D: Stell dich nicht so an. Clara löst gerade ein Mathematisches Rätsel auf!
C: Jungs! Das macht alles total Sinn! 50 von 100 ist die Hälfte. 30 von 60 ist die Hälfte. 15 von 60 ist ein Viertel und 45 von 60 sind dreiviertel!
B: Naja ich versteh das noch nicht ganz…
D: Ich auch nicht! Verstehst du das Amelie?
A: Jetzt sei endlich ruhig Dean!!! Verdammt noch mal!

Herr Schnipsel: Was ist denn Los Amelie?

A: Die reden die ganze Zeit…
D: Petze!

Herr Schnibsel: Jetzt ist die Ecke ruhig, sonst müsst ihr ein Gedicht zu morgen abschreiben!

C: Okay. Ich schreib die Erklärung schnell auf einen Zettel.

Nach kurzer Zeit gibt Clara folgenden Zettel an Dean:

Ein Bruch hat immer einen bestimmten Wert.
Der Wert des Bruches ist das was herauskommt, wenn man den Bruch ausrechnet.
So ist der Wert von dem Bruch {30 \over 6} ja 5,
da {30 \over 6}=30:6=5

Aber natürlich gibt es noch mehr Brüche, die den Wert 5 haben, z. B.{100 \over 20} oder {15 \over 3}

Wenn man nun ein paar Brüche, die 5 ergeben aufschreibt sieht das so aus:

{5 \over 1}={10 \over 2}={20 \over 4}={40 \over 8}={80 \over 16}
{5 \over 1}={15 \over 3}={45 \over 9}={135 \over 27}={405 \over 81}
{5 \over 1}={20 \over 4}={80 \over 16}={320 \over 64}={1280 \over 256}
Wie man sehen kann, wird in der ersten Reihe der Nenner und der Zähler mit 2 mal genommen.
In der zweiten Reihe wird der Nenner und der Zähler immer mit 3 mal genommen.
In der dritten Reihe wird der Nenner und der Zähler immer mit 4 mal genommen.
In allen der drei Reihen bleibt der Wert der Brüche immer 5.

Der Wert des Bruches bleibt also gleich, wenn der Nenner und der Zähler um die gleiche Zahl multipliziert werden. Dies nennt man einen Bruch erweitern.

Wenn man die Reihe rückwärts geht, sehen wir, dass in der ersten Reihe der Nenner und der Zähler durch 2 geteilt wird.
Wenn wir die zweite Reihe rückwärts gehen, wird in der Reihe der Nenner und der Zähler immer durch 3 geteilt.
Wenn wir die dritten Reihe rückwärts gehen, wird in der Reihe der Nenner und der Zähler immer durch 4 geteilt.
In allen der drei Reihen bleibt der Wert der Brüche immer 5.

Der Wert des Bruches bleibt also gleich, wenn der Nenner und der Zähler durch die gleiche Zahl geteilt werden. Dies nennt man einen Bruch kürzen.

Erweitern: Nenner und Zähler werden mit der gleichen Zahl multipliziert. Dabei bleibt der Wert des Bruches gleich.
Kürzen: Nenner und Zähler werden durch die gleiche Zahl dividiert. Dabei bleibt der Wert des Bruches gleich.

Beispiel

Wenn ihr euch an die Geschichte zu Beginn des Abschnitts erinnert: Dort hat sich Clara gefragt, wie eine 30, eine Hälfte darstellen kann. 30 Minuten von 60 Minuten sind vergangen. {30 Minuten \over 60 Minuten}={30 \over 60}={30:30 \over60:30}={1 \over 2} Somit ist erklärt, wieso 30 vergangene Minuten die Hälfte darstellen kann.

Übungsaufgaban

Nachfolgend findet ihr ein paar Übungsaufgaben, dabei kann es vorkommen, dass euch große Zahlen schwer berechenbar vorkommen. Dann behelft euch doch eines Tricks:

Die Zahl 456 besteht aus den Ziffern 4, 5 und 6. Zählt diese Ziffern zusammen, so habt ihr die Quersumme gebildet.
Ist besagte Quersumme sowohl im Zähler als auch im Nenner in der 3er Reihe enthalten, so ist der gesamte Bruch mit 3 kürzbar.

Übungsaufgaben

Addieren und Subtrahieren von Brüchen

Einführung

Amelie, Ben, Clara und Dean haben jetzt Pause. Sie gehen in die Kantine.
B: Oh cool! Heute gibts Pizza.
C: Mensch! Ich hab mein Geld fürs Essen vergessen.
D: Das macht nichts. Du kannst was von meiner Pizza abhaben!
A: Von mir kannst du auch was ab bekommen.

Ben, Clara und Dean haben jeweils eine Pizza gekauft. Sie und Amelie setzen sich an ihren Stammtisch.
D: Hier hast du 3 von meinen 6 Stücken Pizza, Clara.
C: Danke!
A: Von mir kriegst du 2 Stücke.
C: Danke! Deine Stücke sind ja größer als die von Dean...
A: Ich habe meine Pizza ja in nur 4 Stücke aufgeteilt.
B: Ich liebe diese Pizza… ich könnt hundert Stücke davon essen.
D: Willst du vielleicht noch ein Stück von meiner Pizza haben?
B: Wenn du dann trotzdem satt wirst…
D: Ja.
B: Danke.

Wie viel Pizza haben jeweils Amelie, Ben, Clara und Dean?

Amelie hat ihre Pizza in 4 Stücke geteilt. Damit hat sie {4 Stueck \over 4Stueck} Pizza oder einfacher geschrieben, {4 \over 4} Pizza. 
Davon gibt sie 2 Stücke an Clara: {2 Stueck \over 4Stueck} Pizza
oder einfacher geschrieben {2 \over 4} Pizza.
Damit ist die Rechnung: {4 \over 4}-{2 \over 4}.
Ben hat eine Pizza:  1 Pizza .
Er bekommt von Dean eins von seinen 6 Stücken: {1 Stueck \over 6 Stueck} Pizza
oder einfacher geschrieben ist das {1 \over 6}.
Damit ist die Rechnung: 1+{1 \over 6}.
Clara hat 0 Pizza.
Sie bekommt aber von Amelie {2 Stueck \over 4Stueck} Pizza
oder einfacher geschrieben {2 \over 4} Pizza.
Damit ist die Rechnung: 0+{2 \over 4}.
Zusätzlich bekommt sie von Dean {3 \over 6}Pizza.
Die gesammte Rechnung ist also: 0+{2 \over 4}+{3 \over 6}.
Dean hat seine Pizza in 6 Stücke geteilt.
Damit hat er {6 Stueck \over 6 Stueck} Pizza
oder einfacher geschrieben, {6 \over 6} Pizza.
Davon gibt er 3 Stücke an Clara: {3 Stueck \over 6 Stueck} Pizza
oder einfacher geschrieben {3 \over 6} Pizza.
Damit ist die Rechnung: {6 \over 6}-{3 \over 6}.
Zusätzlich gibt er 1 Stück von 6 Stücken an Ben, also {1 Stueck \over 6 Stueck} Pizza
oder einfacher geschrieben {1 \over 6}.
Damit ist die gesammte Rechnung: {6 \over 6}-{3 \over 6}-{1 \over 6}.

Alle Rechnungen nochmal aufgeschrieben:
A: {4 \over 4}-{2 \over 4}

B: 1+{1 \over 6}

C: 0+{2 \over 4}+{3 \over 6}

D: {6 \over 6}-{3 \over 6}-{1 \over 6}

Wie rechnet man das aber aus?

A) Wenn Amelie 2 ihrer 4 Stücke abgibt, hat sie nur noch 2 von 4 Stücken.
Im Bruch geschrieben hat sie dann {2 \over 4}.
Wir wissen also, dass wir die Anzahl der Stücke voneinander abziehen müssen um zum Ergebniss zu kommen.
Denn eigentlich haben wir gerechnet:
{4 \over 4}-{2 \over 4}={4-2 \over 4}={2 \over 4} 
B) Wie wir 1+{1 \over 6} ausrechnen, haben wir  weiter oben schon gelernt:
1+{1 \over 6}=1{1 \over 6} 
C) Bei Clara ist die Rechnung 0+{2 \over 4}+{2 \over 6}.
Hier könenn wir nicht die Stücke einfach zusammen zählen, da diese unterschiedlich groß sind.
Aber wir könnte die Stücke ja so viel kleiner machen, sodass sie gleich groß sind.
Wir können die Brüche also kürzen. Wie man das macht haben wir weiter oben gelernt.
Wenn Amelie und Dean ihre Stücke in 12 Stücke geteilt hätten, wären die Stücke von den beiden gleich groß. 
Amelie kann alle ihre Stücke also noch mal in drei Teile teilen.
Dean kann alle seine Stücke also noch mal in zwei Teile teilen.
0+{2 \over 4}+{3 \over 6}=0+{{2 \cdot 3} \over {4 \cdot 3}}+{{3 \cdot 2} \over {6 \cdot 2}}=0+{6 \over 12}+{6 \over 12}
Dies können wir jetzt ausrechenen:
0+{6 \over 12}+{6 \over 12}={6+6 \over 12}={12 \over 12}
D) Die Rechnung für Dean sieht so aus:
{6 \over 6}-{3 \over 6}-{1 \over 6}
Jetzt wissen wir, dass wir nur Stücke voneinander abziehen müssen:
{6 \over 6}-{3 \over 6}-{1 \over 6}={6-3-1 \over 6}={2 \over 6}

Allgemein

Um zwei Brüche zu addieren zu können müssen die Nenner der Brüche gleich sein. 
Dazu muss man oft Brüche erweitern und/oder kürzen.
Die Zähler addiert man.
Der Nenner bleibt gleich.

Bei gleichen Nennern:
{a \over b}+{c \over b}={a+c \over b}
Beispiel:
{2 \over 6}+{3 \over 6}={2+3 \over 6}={5 \over 6}

Bei unterschiedlichen Nennern:
{a \over b}+{c \over d}={a \cdot d \over b \cdot d}+{c \cdot b \over d \cdot b}={a \cdot d + c \cdot b \over b \cdot d}.
Beispiel:
{1 \over 2}+{2 \over 3}={{1 \cdot 3} \over {2 \cdot 3}}  + {{2 \cdot 2} \over {3 \cdot 2}} = {3 \over 6} + {4 \over 6} = {7 \over 6}

Es ist nicht immer nötig beide Brüche zu erweitern. Wenn die Nenner der Brüche Teiler voneinander sind, braucht man nur einen Bruch zu erweitern. Z. B. bei {1 \over 2}+{1 \over 4} braucht man nur den ersten Bruch mit 2 erweitern. Somit kommt man von {1 \over 2} auf {2 \over 4} erweitern:

{1 \over 2}+{1 \over 4}={{1 \cdot 2} \over {2 \cdot 2}}+{1 \over 4}={2 \over 4}+{1 \over 4}={2+1 \over 4}={3 \over 4}

Übungsaufgaben