Mathematik: Schulmathematik: Trigonometrie

Aus Wikibooks
Wechseln zu: Navigation, Suche

zurück


Action Book


Was ist Trigonometrie?

Trigonometrie behandelt die Definitionen und Beschreibung von Dreiecken. Die Trigonometrie beschreibt die entstehenden Figuren und Verhältnisse mit Hilfe von mathematischen Gleichungen zwischen einzelnen Elementen im Dreieck. Somit entstehen neue Definitionen und Objekte, die zur Konstruktion des einzelnen, bestimmten Dreiecks beitragen können.

Die Trigonometrie hat ihre Ursprünge in der Zeit der "griechischen Hochzeit", als neben Philosophie und Politik, die Geometrie und vor allem die Trigonometrie eine Hochphase hatte. Sie behandelt alles, was mit Dreiecken und darauf aufbauenden Figuren zu tun hat.

Benennung eines Dreiecks

Bei der Benennung des Dreiecks hat sich folgender Standard durchgesetzt:

  1. Alle Seiten werden mit einem kleinen Buchstaben (a, b, c) benannt.
  2. Alle Ecken werden mit einem Großbuchstaben (A, B, C) benannt.
  3. Alle Winkel werden mit kleinen Griechischen Buchstaben (\alpha, \beta und \gamma ) benannt.
  4. Der an einer Ecke anliegende Winkel wird wie die Ecke bezeichnet. (Der Winkel \angle BAC wird mit \alpha bezeichnet)
  5. Die einer Ecke gegenüberliegende Seite wird mit dem gleichen Buchstaben bezeichnet.

Wie auch sonst in der Mathematik üblich, werden die Ecken, Winkel und Seiten entgegen dem Uhrzeigersinn durchbuchstabiert:

Dreieck Benennung.svg

Neben diesen Konventionen gibt es noch spezielle Regeln z.B. für das rechtwinklige Dreieck:

(Platzhalter: Rechtwinkliges Dreieck, Kathete, Hypotenuse, etc)

1. Die Höhen

Die Höhen eines Dreiecks sind das Lot auf eine Seite des Dreiecks vom gegenüberliegenden Punkt aus. Alle Höhen schneiden sich in einem Punkt H. h_{a}, h_{b} und h_{c} bezeichnen die Höhen für die Seiten a, b und c.

Schulmathematik Trigonometrie Höhen.svg

2. Die Winkelhalbierenden

Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Teile. Alle Winkelhalbierenden schneiden sich in dem Punkt I. W_{a}, W_{b} und W_{c} bezeichnen die Winkelhalbierenden für die Winkel an den Punkten A,B und C.

Schulmathematik Trigonometrie Winkelhalbierenden.svg

3. Der Inkreismittelpunkt

Der Inkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der jede Seite des Dreiecks in genau einem Punkt berührt. Der Mittelpunkt M des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden W_{a}, W_{b}, W_{c}. Der Radius des Kreises ist der minimale Abstand von dem Punkt M zu einer Dreiecksseite.

Schulmathematik Trigonometrie Inkreismittelpunkt.svg

4. Die Seitenhalbierenden / Der Schwerpunkt

Die Seitenhalbierende eines Dreiecks wird die Strecke genannt, die einen Eckpunkt (A, B, C) des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksseite verbindet. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in dem Punkt S, welcher 'Schwerpunkt' genannt wird. Der Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1.

Dreieck Seitenhalbierende.svg

5. Die Mittelsenkrechten

Eine Mittelsenkrechte steht senkrecht auf der Mitte einer Dreiecksseite. Alle Mittelsenkrechten schneiden sich im Punkt M.

Schulmathematik Trigonometrie Mittelsenkrechten.svg

6. Der Umkreismittelpunkt

Der Umkreis ist der Kreis, der alle drei Eckpunkte des Dreiecks schneidet. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Der Radius des Kreises ist die Länge der Strecke von Punk M zu A,B oder C. (R = \overline{MA} = \overline{MB} = \overline{MC})


Dreieck Mittelsenkrechte.svg

7. Die Eulergerade

In jedem Dreieck liegen der Höhenschnittpunkt H, der Umkreismittelpunkt M und der Schwerpunkt S auf einer Geraden, die Eulergerade heißt. Die Strecke von H nach S ist doppelt so lang, wie die Strecke von S nach M.

Schulmathematik Trigonometrie Eulergerade.svg

Einen Sonderfall stellt das gleichseitige Dreieck dar. Dort fallen H, M und S auf einen Punkt, da Höhen, Mittelsenkrechten und Seitenhalbierende identisch sind.

(Sonder-)Formen von Dreiecken

Es gibt verschiedene Formen von Dreiecken die spezielle Namen tragen.

Das gleichschenklige Dreieck

Dieses Dreieck hat zwei gleichlange Seiten.
Gleichschenkliges Dreieck.png In diesem Dreieck gilt \beta = \gamma .

Das gleichseitige Dreieck

Beim gleichseitigen Dreieck haben alle Seiten die gleiche Länge.
Gleichseitiges Dreieck.png Alle Winkel sind 60° groß: \alpha = \beta = \gamma = 60°

Das rechtwinklige Dreieck

Das rechtwinklige Dreieck besitzt einen Winkel mit 90°. Ausgehend von diesem Winkel werden die Seiten folgendermaßen benannt:

  • Die den rechten Winkel einschließenden Seiten heißen Katheten
  • Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt.
  • Außerdem kann man noch zwischen Ankathete und Gegenkathete unterscheiden. Diese werden immer in Bezug auf einen spitzen Winkel so genannt. Die am spitzen Winkel anliegende Kathete nennt man Ankathete, die dem spitzen Winkel gegenüberliegende Gegenkathete (evtl. Merksatz hinzufügen)

(Hier Bild mit den Benennungen einfügen (evtl. 2 wg. An- u. Gegenkathete))

Dieses Wissen braucht man vor allem später für die Winkelfunktionen

Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

Kathetensätze

Bei den Kathetensätzen geht es darum, Verhältnisse zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden. Kathetensaetze Schaubild.png

Kathetensatz (Euklid)

Beweis:
1. Nachweis mittels ähnlichen Dreiecken:
Im oben abgebildeten Dreieck sind drei ähnliche Dreiecke vorhanden.
Die Ähnlichkeit wird mit Hilfe der einer der Ähnlichkeitsätze nachgewiesen: "Zwei Dreiecke sind genau dann ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen"
Folgende Winkel tauchen wiederholt auf:
2. Verwendung von Streckenverhältnissen


\mathsf{\triangle ABC \sim \triangle CBD \sim \triangle ACD}


\mathsf{\overline{AD}:\overline{AC} = \overline{AC} : \overline{AB}}
\mathsf{p:b=b:c}


\frac{p}{b} = \frac{b}{c} \to p \cdot c=b \cdot b=b^2
b^2=p \cdot c

Analog

a^2=q \cdot c

Das Quadrat einer Kathete ist gleich dem Produkt des anliegenden Hypotenusenabschnitts und der Hypotenuse.

Innenwinkel

Winkelfunktionen

Dreieck.PNG

Für die Bearbeitung dieses Kapitels muss man zunächst wissen, was eine (An-)Kathete, Gegenkathete und eine Hypotenuse ist (siehe rechtwinkliges Dreieck). Vor allem in der Physik braucht man die Winkelfunktionen häufig.

Merkhilfe

Bewährt als Merkhilfe für die Berechnung hat sich folgende Eselsbrücke:

(sprich: gaga HühnerHof AG)

.....G....A...G...A


.....H....H...A...G

....sin..cos.tan.cot

mit G= Gegenkathete, A= Ankathete, H= Hypotenuse

Sinus

Der Sinus ist ein Seitenverhältnis. Er bestimmt das Verhältnis der Gegenkathete (von \alpha) zur Hypotenuse. Abgekürzt:  \sin \alpha

\sin \alpha = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac{a}{c}


Cosinus

Der Cosinus ist Ankathete durch die Hypotenuse. Im Bild oben:

Ankathete (von \alpha) zur Hypotenuse. Abgekürzt:  \cos \alpha

\cos \alpha = \frac{Ankathete}{Hypotenuse} = \frac{b}{c}

Im Bild oben:

Tangens

Der Tangens von (von \alpha)

Gegenkathete (von \alpha) zur Ankathete. Abgekürzt:  \tan \alpha

\tan \alpha = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{a}{b} = 
\frac{1}{\cot \alpha}

Des Weiteren ist der Tangens als der Quotient von Sinus und Cosinus definiert:

\ tan \alpha =\frac {sin \alpha}{cos \alpha}=\frac {Gegenkathete}{Hypotenuse} \cdot \frac {Hypotenuse}{Ankathete}= \frac {Gegenkathete}{Ankathete}

Cotangens

Der Cotangens von \alpha ist definiert als das Verhältnis der Ankathete (von \alpha) zur Gegenkathete. Abgekürzt:  \cot \alpha

\cot \alpha = \frac{Ankathete}{Gegenkathete} = \frac{b}{a} =
\frac{1}{\tan \alpha}

Analog zum Tangens gilt hier, dass der Cotangens das Verhältnis von Cosinus zu Sinus ist.

Secans

Der Secans von \alpha ist definiert als der Quotient von der Hypotenuse durch die Ankathete (von \alpha). Abgekürzt:  \sec \alpha

\sec \alpha = \frac{Hypotenuse}{Ankathete} = \frac{c}{b} = \frac{1}{\cos \alpha}

(Im deutschen Sprachraum wird der Secans nur selten verwendet.)

Cosecans

Der Cosecans von \alpha ist definiert als der Quotient von der Hypotenuse durch die Gegenkathete (von \alpha). Abgekürzt:  \csc \alpha

\csc \alpha = \frac{Hypotenuse}{Gegenkathete} = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sin \alpha}

(Im deutschen Sprachraum wird der Cosecans nur selten verwendet.)

Einheitskreis (r = 1)

Diese 4 Winkelfunktionen lassen sich am besten am Einheitskreis veranschaulichen. ( α=Θ )

Circle-trig6.svg

Sinus- und Kosinussatz

Der Sinus, Kosinus und Tangens kann nur in einem rechtwinkligen Dreieck verwendet werden. Mithilfe von Sinus- und Kosinussatz kann man jedes Dreieck berechnen solange genügend Werte vorhanden sind, denn jedes Dreieck kann in zwei kleine rechtwinkelige Dreiecke zerlegt werden.

Sinussatz

Sinussatz.png

Mithilfe des Sinus kann man nun beide kleine Dreiecke nach h_c auflösen:
\sin \alpha=\frac{h_c}{b} \quad, \quad \quad \sin \beta=\frac{h_c}{a}

b \cdot \sin \alpha=h_c \quad, \quad a \cdot \sin \beta=h_c

nun setzt man beide Gleichungen nach h_c gleich:

b \cdot \sin \alpha=a \cdot \sin \beta
nun kann die Gleichung noch durch \sin \beta und b dividieren und man erhält:
\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }

Dies kann man für jeden Winkel und jede Seite machen:
\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta } \quad , \frac{a}{c}=\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma} \quad , \frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }

Kosinussatz

...

Klärung von Fachbegriffen/Zeichen

Kathete
Seite eines rechtwinkeligen Dreiecks, die am rechten Winkel liegt.
Hypotenuse
Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck; sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Ankathete
Die Kathete am gegebenen Winkel.
Gegenkathete
Die Kathete gegenüber des gegebenen Winkels.


Winkel
Geometrische Figur, welche aus zwei Strahlen, die von einem gemeinsamen Punkt ausgehen, und der dazwischen liegenden Fläche besteht.
Schulmathematik Trigonometrie SpitzerWinkel2.png
spitzer Winkel
Winkel kleiner als 90°.
rechter Winkel
Winkel mit genau 90°.
stumpfer Winkel
Ein Winkel größer als 90° und kleiner als 180°.
gestreckter Winkel
Ein Winkel der Größe 180°.
überstumpfer (erhabener) Winkel
Ein Winkel größer als 180° und kleiner als 360°.
Vollwinkel
Ein Winkel, der 360° groß ist.
Komplementärwinkel
Bezeichnet einen Winkel, der den gegebenen Winkel zu 90° erweitert.
Supplementärwinkel
Ein Winkel, der den gegebenen Winkel zu 180° erweitert.
Winkelhalbierende
Eine Gerade, die durch den Schnittpunkt von zwei weiteren Geraden verläuft, und zu beiden den gleichen Winkel hat.
Seitenhalbierende
Eine Gerade, die durch die Mitte einer Strecke verläuft.
Mittelsenkrechte
Eine Seitenhalbierende, die die Strecke unter 90° schneidet.