Mathematik für Schüler/ Addition rationaler Zahlen
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[Bearbeiten] Addition von rationalen Zahlen
Grundlagen: Definition rationaler Zahlen (Siehe auch Zahlmengen)
Die Addition rationaler Zahlen ist etwas schwieriger als die Addition natürlicher Zahlen. Wichtig ist das Vorzeichen (also '+' oder ' − ') der zu addierenden Zahlen.
Es gibt zwei Arten der Addition rationaler Zahlen:
[Bearbeiten] Addition rationaler Zahlen mit gleichem Vorzeichen
Wenn wir nun also das Ergebnis von ( − 5) + ( − 10) berechnen wollen, müssen wir uns erst die Vorzeichen beider Summanden ansehen. In diesem Fall handelt es sich bei beiden Summanden um ein ' − '. Die Aufgabe ist vergleichbar mit folgendem Sachverhalt: Eine Person hat 5 € Schulden, da sie sich Geld leiht, kommen weitere 10 € Schulden hinzu die Person hat also insgesamt 15 € Schulden.
Das Ergebnis dieser Aufgabe lautet also: − 15.
Wir rechnen zum Vergleich 5 + 10, wobei das Ergebnis dieser Aufgabe 15 ist. Es unterscheidet sich von − 15 also nur durch das Vorzeichen.
Daraus lässt sich erkennen:
Man addiert zwei rationale Zahlen mit gleichen Vorzeichen, indem man die Summe der Beträge der beiden Zahlen berechnet und das Vorzeichen der beiden Zahlen vor die Summe setzt.
Man kann ( − 5) + ( − 10) also auch berechnen, indem man 5 und 10 addiert und vor das Ergebnis ein ' − ' setzt.
Brüche werden genauso addiert, beim Addieren der Zähler müssen die obigen Regeln beachtet werden.
[Bearbeiten] Addition rationaler Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen
Wenn die Vorzeichen beider Summanden verschieden sind, ist die Addition etwas anders: Als Beispiel dient die Aufgabe 20 + ( − 5). Auch diese Aufgabe kann man wieder veranschaulichen:
Man hat 20€ und gibt davon 5€ aus, hat also noch 15€. Rechnet man zum Vergleich wieder 20 + 5, erhält man diesmal 25, man kann also nicht wie bei der Addition mit gleichem Vorzeichen vorgehen.
Versuchen wir es mit größerem Betrag minus kleinerem Betrag: 20 − 5 und erhalten 15, das gleiche Ergebnis. Wir rechnen weitere Aufgaben:
5 + ( − 7) = − 2 und zum Vergleich: 7 − 5 = 2
sowie
( − 7) + 4 = − 3 und zum Vergleich: 7 − 4 = 3
und
( − 2) + ( + 3) = + 1 und zum Vergleich: 3 − 2 = 1
Man kann verallgemeinern:
Man addiert zwei rationale Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, indem man die Differenz der Beträge der beiden Zahlen berechnet (größerer Betrag − kleinerer Betrag) und das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag vor die Summe setzt.
Für Brüche gelten auch hier dieselben Regeln:
[Bearbeiten] Hinweise
Statt eine negative Zahl zu addieren, kann man auch den Betrag der Zahl subtrahieren.
Aus 2 + ( − 1) wird also 2 − 1.
