Mathematik für Schüler/ Addition rationaler Zahlen

Addition von rationalen Zahlen

Grundlagen: Definition rationaler Zahlen (Siehe auch Zahlmengen)

Die Addition rationaler Zahlen ist etwas schwieriger als die Addition natürlicher Zahlen. Wichtig ist das Vorzeichen (also '+' oder '$-$') der zu addierenden Zahlen.

Es gibt zwei Arten der Addition rationaler Zahlen:

Addition rationaler Zahlen mit gleichem Vorzeichen

Wenn wir nun also das Ergebnis von $(-5) + (-10)$ berechnen wollen, müssen wir uns erst die Vorzeichen beider Summanden ansehen. In diesem Fall handelt es sich bei beiden Summanden um ein '$-$'. Die Aufgabe ist vergleichbar mit folgendem Sachverhalt: Eine Person hat 5 € Schulden, da sie sich Geld leiht, kommen weitere 10 € Schulden hinzu die Person hat also insgesamt 15 € Schulden.
Das Ergebnis dieser Aufgabe lautet also: $-15$.
Wir rechnen zum Vergleich $5 + 10$, wobei das Ergebnis dieser Aufgabe $15$ ist. Es unterscheidet sich von $-15$ also nur durch das Vorzeichen.

Daraus lässt sich erkennen:

Man addiert zwei rationale Zahlen mit gleichen Vorzeichen, indem man die Summe der Beträge der beiden Zahlen berechnet und das Vorzeichen der beiden Zahlen vor die Summe setzt.

Man kann $(-5) + (-10)$ also auch berechnen, indem man $5$ und $10$ addiert und vor das Ergebnis ein '$-$' setzt.

Brüche werden genauso addiert, beim Addieren der Zähler müssen die obigen Regeln beachtet werden.

$(-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{4}) = \frac{(-2)+(-1)}{4} = -\frac{3}{4}$

Addition rationaler Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen

Wenn die Vorzeichen beider Summanden verschieden sind, ist die Addition etwas anders: Als Beispiel dient die Aufgabe $20 + (-5)$. Auch diese Aufgabe kann man wieder veranschaulichen:
Man hat 20€ und gibt davon 5€ aus, hat also noch 15€. Rechnet man zum Vergleich wieder $20 + 5$, erhält man diesmal 25, man kann also nicht wie bei der Addition mit gleichem Vorzeichen vorgehen.
Versuchen wir es mit größerem Betrag minus kleinerem Betrag: $20 - 5$ und erhalten 15, das gleiche Ergebnis. Wir rechnen weitere Aufgaben:

$5 + (-7) = -2$ und zum Vergleich: $7 - 5 = 2$
sowie
$(-7) + 4 = -3$ und zum Vergleich: $7 - 4 = 3$
und
$(-2) + (+3) = +1$ und zum Vergleich: $3 - 2 = 1$

Man kann verallgemeinern:

Man addiert zwei rationale Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, indem man die Differenz der Beträge der beiden Zahlen berechnet (größerer Betrag $-$ kleinerer Betrag) und das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag vor die Summe setzt.

Für Brüche gelten auch hier dieselben Regeln:

$\frac{1}{2} + (-\frac{1}{4}) = \frac{2+(-1)}{4} = \frac{1}{4}$

Hinweise

Statt eine negative Zahl zu addieren, kann man auch den Betrag der Zahl subtrahieren.
Aus $2 + (-1)$ wird also $2 - 1$.

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