Mathematik für Schüler/ Analysis/ Lineare Funktion/ Zuammenfassung

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Was man über lineare Funktionen wissen sollte

[Bearbeiten] Funktionsgleichung

Eine Funktion f(x)\, mit f(x)=a_1x+a_0\, heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder lineare Funktion.
Der Funktiongraph stellt eine Gerade dar.

[Bearbeiten] Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt mit der y - Achse: P_y(0|y_s)\Rightarrow y_s=f(0)\,
Schnittpunkt mit der x - Achse: P_x(x_s|0)\Rightarrow f(x_s)=0\,
Hintergrundinformation

[Bearbeiten] Steigung

Zlinfkt 01.gif
Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion mit der Funktionsgleichung f(x)\, mit f(x)=a_1x+a_0\, lässt sich am Koeffizienten a_1\, ablesen.
Berechnet wird sie mit:
a_1=\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}=\frac{\Delta y} {\Delta x}=\tan\alpha\, In Kurzform: a_1=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}\,
Hintergrundinformation

[Bearbeiten] Funktionsgleichung aufstellen

  • Die Steigung a_1=a\, und ein Punkt P_1(x_1|y_1)\, der auf der Geraden liegt seien bekannt.
Ansatz: f(x)=ax+a_0\,
P_1(x_1|y_1):\Rightarrow f(x_1)=y_1\Leftrightarrow ax_1+a_0=y_1 \Leftrightarrow a_0=y_1-ax_1\,


  • Die Koordinaten zweier Punkte P_1(x_1|y_1)\, und P_2(x_2|y_2)\, die auf der Geraden liegen, seien bekannt.
Zuerst wird der Steigungsfaktor berechnet: a_1=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}\Rightarrow f(x)=a_1x+a_0\,
P_1(x_1|y_1):\Rightarrow f(x_1)=y_1\Leftrightarrow ax_1+a_0=y_1 \Leftrightarrow a_0=y_1-ax_1\,
oder
P_2(x_2|y_2):\Rightarrow f(x_2)=y_2\Leftrightarrow ax_2+a_0=y_2 \Leftrightarrow a_0=y_2-ax_2\,
Hintergrundinformation

[Bearbeiten] Schnittpunkt zweier Geraden

Ansatz: f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)-g(x)=0 \Rightarrow x_s\, x - Wert vom Schnittpunkt der beiden Geraden.
y_s=f(x_s)=g(x_s) \Rightarrow S(x_s|y_s)\, als Schnittpunkt der beiden Geraden.
Hintergrundinformation

[Bearbeiten] Orthogonale Geraden

Für die Steigung zweier senkrecht aufeinanderstehender Geraden g1 und g2 gilt:
a_1 \cdot a_2=-1\, bzw. a_1=-\frac{1} {a_2}\, bzw. a_2=-\frac{1} {a_1}\,
Hintergrundinformation

[Bearbeiten] Weblinks

  • Geraden erkennen Eine Gerade wird im Koordinatensystem abgebildet. Die Funktionsgleichung ist zu bestimmen (interaktiv).
  • Gerade durch zwei Punkte Nach Eingabe der Koordinaten zweier Punkte, wird die Gerade abgebildet und die Funktionsgleichung berechnet (interaktiv).
  • Geradenschnittpunkt Der Schnittpunkt zweier Geraden wird berechnet (interaktiv).
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