Mathematik für Schüler/ Analysis/ Quadratische Funktion/ Einführungsbeispiel
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[Bearbeiten] Einführungsbeispiel für quadratische Funktionen
[Bearbeiten] Fallbeispiel:
- Sarah bereitet sich auf die Führerscheinprüfung vor.
- Sie hat gelernt, dass sich der Anhalteweg eines bremsenden Autos auf trockener asphaltierter Straße aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammensetzt.
- Sie kennt folgende Faustregeln, um aus der gefahrenen Geschwindigkeit v den Bremsweg b und den Reaktionsweg r zu berechnen.
- Dann liest sie folgenden Artikel in der Tageszeitung und ist verunsichert.
Achtung:
- Mitteilung der Rheinischen Post vom 3.3.04
- Ab 1. Juli 2004 wird der Anhalteweg auf einer trockenen asphaltierten Straße mit einem anderen Bremsweg berechnet.
- Bemerkung zu den Einheiten der Faustformel:
- Der Brems – bzw. Reaktionsweg kommt in Meter (m) heraus, wenn die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde (km/h) eingesetzt wird.
[Bearbeiten] Aufgabenstellung:
- Bestimmen Sie für beide Fälle die Funktionsgleichung s = f(v), mit der für jede gefahrene Geschwindigkeit der Anhalteweg berechnet werden kann.
- Stellen Sie für beide Fälle in einer Wertetabelle für folgende gefahrene Geschwindigkeiten v = 0, 10, 20, 30, ... 100 km/h die jeweiligen Anhaltewege s zusammen.
- Zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem.
- Kommentieren Sie das Gesamtergebnis.
[Bearbeiten] Problemlösung:
- Die Funktionsgleichung:
- Die Wertetabelle:
- Die Graphen:
- Die x – Achse stellt die jeweils gefahrene Geschwindigkeit in km/h da.
- Die y – Achse stellt den jeweiligen Anhalteweg in m da.
- Der Kommentar:
- Nach der neuen Verordnung wird der Unterschied mit zunehmender Geschwindigkeit immer größer.
- Bei 50 km/h beträgt der neue Anhalteweg 27,5 m, das sind etwa 69% des alten Weges von 40 m.
- Bei 100 km/h beträgt der neue Anhalteweg nur noch 80 m, das sind etwa 61% des alten Weges von 130 m.
- Die Verringerung des Bremsweges ist wegen der besseren Bremsen (ABS) sinnvoll.
[Bearbeiten] Bemerkung
- Gespräche mit Schülern, die gegenwärtig die Fahrschule besuchen, ergab, dass auch heute noch (2006) in der Fahrschule die alte Regelung vermittelt wird. Vermutlich gibt es immer noch Autos ohne ABS.
[Bearbeiten] Folgerung
- Bei genauer Betrachtung der Funktionsgleichungen und der Graphen stellen wir fest, das es sich weder um lineare Funktionen, noch um Geraden handelt. Die Funktionsgleichungen haben die Form:
- Solche Funktionen nennt man quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.
- Die Graphen werden Parabeln genannt.
Weitere Informationen zum Thema Quadratische Funktionen findet ihr auf der Webseite Quadratische Funktionen
