Mathematik für Schüler/ Analysis/ Quadratische Funktion/ Zuammenfassung

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Was man über quadratische Funktionen wissen sollte

[Bearbeiten] Funktionsgleichung

Die Funktionsgleichungen haben die Form: f(x)=a_2x^2 + a_1x + a_0\,
Solche Funktionen nennt man quadratische Funktionen oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.
Deren Graphen werden Parabeln genannt.

[Bearbeiten] Scheitelpunkt und Scheitelpunktform

Allgemein gilt:
Ist f(x)=a_2x^2 + a_1x + a_0\, die Funktionsgleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt S(x_s|y_s)\, besitzt, so ist f(x) = a_2(x-x_s)^2 + y_s\, die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung.
Hintergrundinformationen

[Bearbeiten] Achsenschnittpunkte

Zqfkt 01.gif
Der Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse ist
P_y(0|y_s)\Rightarrow y_s=f(0)
Der Schnittpunkt des Graphen mit der x - Achse ist
P_{xi}(x_i|0)\Rightarrow f(x_i) = 0 für i = 1 ; 2
Hintergrundinformationen

[Bearbeiten] Symmetriebetrachtung

Die nebenstehend abgebildete Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die parallel zur y - Achse durch den Scheitelpunkt verläuft.
Das gilt für alle Parabeln.
Die Gleichung der Symmetrieachse durch den Scheitelpunkt S(x_s|y_s)\, lautet:
x = x_s\, (hier x_s = 3\,)
Auch die Nullstellen sind symmetrisch zu dieser Achse.
Das bedeutet, bei bekannten Nullstellen kann der x - Wert des Scheitelpunktes berechnet werden.
Zqfkt 02.gif

[Bearbeiten] Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen

Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion x_1 ; x_2\, bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:
x_s=\frac{x_1+x_2} {2} \Rightarrow S(x_s|f(x_s))
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[Bearbeiten] p - q - Formel, Diskriminante und Lösungsmenge

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet: x^2+px+q=0\,
p - q - Formel:
x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\,
Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt: D=\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q
Mit dieser vereinfacht sich die Lösungsformel zu :x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D}\,
Der Diskriminante kann man die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entnehmen.
D > 0 \Rightarrow L = \{x_1 ; x_2\} Zwei Lösungselemente
D = 0 \Rightarrow L = \{x\} Ein Lösungselement (Doppellösung)
D < 0 \Rightarrow L = \{ \} Kein Lösungselement
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[Bearbeiten] Der Satz von Vieta

Sind x_1 ; x_2\, Lösungen der quadratischen Gleichung x^2+px+q\, so können diese mit dem Wurzelsatz von Vieta x_1 + x_2 = -p \, und x_1\cdot x_2=q überprüft werden.
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[Bearbeiten] Nullstellen und Linearfaktoren

Sind x_1\, und x_2\, die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x)=a_2x^2 + a_1x + a_0\,, so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:
f(x) = a_2\cdot(x-x_1)(x-x_2)
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[Bearbeiten] Schnittpunkt von Parabel und Gerade

f(x)\, sei die Funktionsgleichung einer Parabel und g(x)\, die einer Geraden.
Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen f(x)=g(x)\Rightarrow \, quadratische Gleichung.
Falls nun:
D>0:\Rightarrow\, Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.
D=0:\Rightarrow\, Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt.
D<0:\Rightarrow\, Die Parabel und die Gerade haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
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[Bearbeiten] Schnittpunkt zweier Parabeln

f(x);g(x)\, seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln.
Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen f(x)=g(x)\Rightarrow \, quadratische Gleichung.
Falls nun:
D>0:\Rightarrow\, Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.
D=0:\Rightarrow\, Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.
D<0:\Rightarrow\, Die Parabeln haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
f(x)-g(x)\Rightarrow\, lineare Gleichung \Rightarrow\, Die Parabeln haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
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[Bearbeiten] Weblinks

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