Aus der Elektrodynamik folgt die Elektrostatik über die Forderung
,
wodurch sich die (makroskopischen) Maxwellgleichungen wie folgt vereinfachen:
(keine magnet. Monopole),
(woraus u.a.
auch das Coulomb-Gesetz folgt),
![{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018c9a541c37ecabf472508bd4533f64e202d227)
(Ampère'sches Durchflutungsgesetz) und
(rotationsfreies elektrisches
Feld).
Aus diesen Grundgleichungen werden wir in den nächsten Kapiteln die
Gesetze der Elektrostatik herleiten.
Die Kontinuitätsgleichung nimmt wegen des Ampère'schen Durchflutungsgesetzes
die folgende Form an
wegen
.
(1) Ein skalares Potential können wir folgendermaßen einführen:
.
Die Konsequenzen hieraus sind die Wegunabhängigkeit für Kurvenintegrale
über das elektrische Feld, der Begriff der Spannung bzw. der Potentialdifferenz
sowie die Möglichkeit, das Skalarpotential angeben zu können. Dies
alles zeigen wir unter den folgenden beiden Punkten (a) und (b)
(a) Die Wegunabhängigkeit:
Fig:
: Weg von
nach
;
: Weg von
nach
Aus
folgt mit dem Satz
von Stokes:
,
obwohl
.
Es gibt daher eine Spannung zwischen
und
:
,
eine sog. Potenzialdifferenz, die mit der potentielle Energie für
eine Punktladung q wie folgt zusammenhängt:
.
(b) Bestimmen von
:
, isotrope Dielektrika:
.
,
.
Für das Beispiel einer Punktladung, d.h.
,
erhalten wir
,
also das berühmte Coulomb-Feld.
(2) Ein Vektorpotential resultiert aus der Gleichung
.
Mit Hilfe des Ampère'schen Durchflutungsgesetztes
,
und unter der Annahme isotroper Magnetika, d.h.
,
erhalten wir über die Greensfunktion
der
Elektrostatik, für die
gilt, folgende Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential:
.
In Coulomb-Eichung, d.h.
,
wird hieraus
,
woraus für das Vektorpotential
folgt.
Die Lösung der Poisson-Gleichung,
,
wird erst durch die an sie gestellten Randbedingungen eindeutig.
Zunächst aber ein kleiner mathematischer Exkurs über die Sätze von
Green.
Aus dem Satz von Gauß ergibt sich der Satz I von Green:
und hieraus resultiert wiederum der Satz II von Green:
.
Setze jetzt in Green II
,
ein und verwende
:
.
Als Green'sche Funktion erhalten wir hieraus:
,
für die
gilt, d.h.
.
Es können folgende Arten der Randbedingungen unterschieden werden:
(a) Dirichlet'sche Randbedingungen:
für
sowie
(b) Neumann'sche Randbedingungen: für ein
gilt mit dem Gauß'schen Satz
für ein
.
Über die Green'sche Funktion können u.a. die folgenden beiden Aussagen
getroffen werden.
- Die Green'sche Funktion ist in ihren Argumenten symmetrisch, d.h.
:
wegen der Dirichlet'schen Randbedingung
für
.
- Die Lösung der Poisson-Gleichung wir mit z.B. der Dirichlet'schen
Randbedingung bis auf eine Konstante eindeutig.
Um dies zu zeigen, nehmen wir zunächst das Gegenteil an, d.h. es existieren
zwei Lösungen der Poisson-Gleichung zur selben Ladungsverteilung
:
,
,
Mit Green I folgt hieraus:
,
wenn z.B. Dirichlet'sche Randbedingungen, d.h.
,
angewandt werden. Wegen
gilt somit auch
, d.h.
Da wir bereits das Vektorpotential in der Elektrostatik bestimmt haben,
,
erhalten wir aus
und
unmittelbar:
.
Mit
resultiert hieraus
der berühmte Biot-Savart'sche Satz,
,
mit dem in der Elektrostatik z.B. das Magnetfeld eines stromdurchflossenen
Leiters bestimmt werden kann.
Dipolentwicklung des elektrischen Feldes
[Bearbeiten]
Der Beobachter sei weit von der Quelle des elektrischen Feldes, einer
Ladungsverteilung um
, entfernt, d.h.
.
Daher kann eine Taylor-Entwicklung bis zur ersten Ordnung in
um Null durchgeführt werden:
,
die man auch wie folgt einsehen kann:
mit dem Winkel
zwischen
und
, d.h.
.
Somit erhalten wir
.
Bei Abwesenheit von Dielektrika (d.h.
)
gilt:
,
mit der Ladung
und dem Dipolmoment
.
ist also eine Summe aus einem Monopolterm (Term
mit q) und einem Dipolterm (Term mit
).
Aus dem Skalarpotential können wir das elektrische Feld
,
mittels
,
und
errechnen:
.
Dipolentwicklung des magnetischen Feldes
[Bearbeiten]
Der Beobachter sie weit von der Quelle des magnetischen Feldes, einer
Stromverteilung um
, entfernt, d.h.
:
.
Bei Abwesenheit von Magnetika (d.h.
) gilt daher:
Wegen der Quellfreiheit des Stromes in der Elektrostatik, d.h.
,
vereinfacht sich folgendes Integral
,
in dem nach dem Satz von Gauß der Divergenzterm
,
auf dem Rande des Integrationsvolumens verschwindet, weil im Unendlichen
kein Strom fließe. Hieraus resultiert der im Folgenden noch oft verwendete
Hilfssatz:
Für
gilt
.
Hierin setzten wir nacheinander
(a)
:
.
D.h. der Monopol-Anteil verschwindet!
(b)
:
,
(c)
.
Aus (a) bis (c) erhalten wir somit für das Vektorpotential
,
d.h.
mit dem magnetischen Moment
.
Aus dem jetzt bekannten Vektorpotential lässt sich selbstverständlich
wieder ein magnetisches Feld berechnen:
,
,
,
woraus ein magnetisches Dipolfeld resultiert:
.
Außerdem ist es noch möglich, mittels (a) bis (c) die magnetische
Dipolenergie und das Drehmoment auf eine lokalisierte Stromverteilung
zu bestimmen.
- Die magnetische Dipolenergie können wir durch das Betrachten einer
Kraft
auf eine wenig ausgedehnte Stromverteilung im äußeren Magnetfeld gewinnen,
d.h.
:
,
weil ja
Die magnetische Dipolenergie beträgt somit:
.
- Drehmoment auf eine lokalisierte Stromverteilung:
Aus
folgt unmittelbar
.
Für
gilt ja:
.
Hierin setzen wir ein:
,
woraus sich für das Drehmoment
ergibt.
Skalarpotential bei Anwesenheit von Dielektrika
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Bei Anwesenheit von Dielektrika, die nicht unbedingt isotrop sein
müssen, gilt:
.
Für das Skalarpotential ergibt sich somit
,
wobei wir hier den Gauß'schen Integralsatz verbunden mit der Tatsache
verwendet haben, dass im Unendlichen keine polarisierbare Materie vorhanden
ist. Außerdem haben wir
genutzt.
Deutung des Ergebnisses: Das Skalarpotential
entsteht aus der Dipolentwicklung von
,
,
durch eine Volumenintegration über:
mit
.
Vektorpotential bei Anwesenheit von Magnetika
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Bei Anwesenheit von Magnetika, die nicht unbedingt isotrop sein müssen,
gilt:
.
Zeitableitungen werden aber in der Elektrostatik vernachlässigt -
daher:
.
Diese Stromdichte erfüllt dann auch wieder die Divergenzfreiheit (Kontinuitätsgleichung):
, weil
.
D.h. wir erhalten
.
Im zweiten Integral können wir den Integranden mittels
umformen:
.
Es gibt zudem eine spezielle Variante des Gauß'schen bzw. Stokes'schen
Satzes, die wir hier anwenden können:
,
wobei
. Der folgende Oberflächenterm
verschwinde:
.
Somit erhalten wir
,
woraus schließlich
resultiert.
Hierauf kommen wir auch über (s. das Kap. über das skalare Potential
bei Anwesenheit von Dielektrika)
:
entsteht durch Volumenintegration über
.
Daraus können wir die magnetische Flussdichte bestimmen:
.
Der letzte Summand lässt sich noch weiter umformen:
,
worin wiederum der letzte Term berechnet werden kann:
.
Aus der Rotation dieser Gleichung für
und
der Maxwell-Gleichung
erhalten wir
,
woraus wir schließlich
ablesen können.
Elektrostatische Energie in Dielektrika
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Die potentielle Energie einer Probeladung q im elektrischen Feld
beträgt
,
woraus sich
ergibt, wenn man z.B. die Platten eines Kondensators auflädt. Hieraus
erhalten wir durch partielle Integration mittels Green I, d.h.
mit
und
,
.
Das Oberflächenintegral
,
da entsprechend dem Coulomb-Feld
,
und
,
(Kugelkoordinaten), sodass
.
Wegen
erhalten wir schließlich
.
Bei einem linearen Zusammenhang zwischen
und
, d.h.
,
folgt:
.
Eine sog. Multipolentwicklung der Energie einer Ladungsverteilung
im äußeren Feld
(d.h.
)
können wir folgendermaßen vornehmen: In
entwickeln wir das Skalarpotential nach Taylor um den Ursprung:
,
woraus
mit
und
resultiert. Diese Entwicklung besteht also aus einem Monopol-Term
mit der Ladung q, einem Dipolterm mit dem Dipolmoment
sowie einem sog. Quadrupolterm mit dem Quadrupolmoment
:
.
Über die durch Joule'sche Wärme abgegebene Leistung, d.h.
,
und die Induktionsspannung
können wir auf eine Änderung der potentiellen Energie schließen:
,
wobei wir hierin von
Gebrauch machen, um
zu erhalten. Mit dem Satz von Gauß gilt:
,
sodass sich
ergibt.
Bei einem linearen Zusammenhang zwischen
und
, d.h.
,
gilt:
.