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Übung 2.1

Die drei Vektoren spannen ein Parallelepiped (Spat) auf, dessen blaue Raumdiagonale die Summe der drei Vektoren ist. Die Summe zweier Vektoren ist eine der drei Flächendiagonalen. Die Abbildung zeigt, dass es beliebig ist, welche beiden Vektoren zuerst addiert werden.

$\left( {{\mathbf{U}} + {\mathbf{V}}} \right) + {\mathbf{W}} = \left( {{\mathbf{V}} + {\mathbf{W}}} \right) + {\mathbf{U}} = \left( {{\mathbf{U}} + {\mathbf{W}}} \right) + {\mathbf{V}}.$

In dieser Abbildung werden die Vektoren durch Aneinanderheften addiert. Es gibt sechs verschiedene Möglichkeiten, vom Fußpunkt des Summenvektors zu seiner Spitze zu gelangen.

$\begin{matrix} \left( {{\mathbf{U}} + {\mathbf{V}}} \right) + {\mathbf{W}} = \left( {{\mathbf{U}} + {\mathbf{W}}} \right) + {\mathbf{V}} = \left( {{\mathbf{V}} + {\mathbf{U}}} \right) + {\mathbf{W}} \\ = \left( {{\mathbf{V}} + {\mathbf{W}}} \right) + {\mathbf{U}} = \left( {{\mathbf{W}} + {\mathbf{U}}} \right) + {\mathbf{V}} = \left( {{\mathbf{W}} + {\mathbf{V}}} \right) + {\mathbf{U}}. \end{matrix}$

Übung 2.2

Bei der Summe von 4 Vektoren werden zunächst die ersten drei zu einem zusammengefasst.

${\mathbf{T}} + {\mathbf{U}} + {\mathbf{V}} + {\mathbf{W}} = \left( {{\mathbf{T}} + {\mathbf{U}} + {\mathbf{V}}} \right) + {\mathbf{W}}.$

Die Reihenfolge der Additionen in der Klammer ist nach Gleichung 2.2 beliebig. Dann werden die letzten drei Vektoren zusammengefasst:

${\mathbf{T}} + {\mathbf{U}} + {\mathbf{V}} + {\mathbf{W}} = {\mathbf{T}} + \left( {{\mathbf{U}} + {\mathbf{V}} + {\mathbf{W}}} \right).$

Wieder ist die Reihenfolge der Additionen in dieser Klammer beliebig. Insgesamt ergeben sich dadurch 24 verschiedene Möglichkeiten, die alle gleichwertig sind.

Übung 3.1

(U·V)W ist ein zu W paralleler Vektor T mit dem Größenwert

$T = UV\cos \left( {{\mathbf{U,V}}} \right)W = UVW\cos \left( {{\mathbf{U,V}}} \right).$

Das Produkt U(V·W) dagegen ist ein zu U paralleler Vektor. Es ist also

${\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{V}} \cdot {\mathbf{W}}} \right) \ne \left( {{\mathbf{U}} \cdot {\mathbf{V}}} \right){\mathbf{W}}.$

Übung 3.2

Die Projektion des Vektors T = U + V auf den Vektor W ist gleich der Summe der Projektionen von U und V auf W.

Übung 3.3

Setzt man U + V = S, so wird

$\begin{matrix} \left( {{\mathbf{U}} + {\mathbf{V}} + {\mathbf{W}}} \right) \cdot {\mathbf{T}} = \left( {{\mathbf{S}} + {\mathbf{W}}} \right) \cdot {\mathbf{T}} = {\mathbf{S}} \cdot {\mathbf{T}} + {\mathbf{W}} \cdot {\mathbf{T}} = \left( {{\mathbf{U}} + {\mathbf{V}}} \right) \cdot {\mathbf{T}} + {\mathbf{W}} \cdot {\mathbf{T}} \\ = {\mathbf{U}} \cdot {\mathbf{T}} + {\mathbf{V}} \cdot {\mathbf{T}} + {\mathbf{W}} \cdot {\mathbf{T}}. \end{matrix}$

Ferner wird

$\begin{matrix} \left( {{\mathbf{U}} + {\mathbf{V}}} \right) \cdot \left( {{\mathbf{W}} + {\mathbf{T}}} \right) = {\mathbf{S}} \cdot \left( {{\mathbf{W}} + {\mathbf{T}}} \right) = {\mathbf{S}} \cdot {\mathbf{W}} + {\mathbf{S}} \cdot {\mathbf{T}} \\ = \left( {{\mathbf{U}} + {\mathbf{V}}} \right) \cdot {\mathbf{W}} + \left( {{\mathbf{U}} + {\mathbf{V}}} \right) \cdot {\mathbf{T}}\quad {\text{usw}}{\text{.}} \\ \end{matrix}$

Übung 3.4

Die zu W parallele Komponente von V ist die Projektion V_W von V auf W.

${\mathbf{V}}_\parallel = {\mathbf{V}}_{\mathbf{W}} = \frac{{V\cos \left( {{\mathbf{V,W}}} \right)}} {W}{\mathbf{W}} = \frac{{{\mathbf{V}} \cdot {\mathbf{W}}}} {{W^2 }}{\mathbf{W}}.$

Die auf W senkrechte Komponente ist

${\mathbf{V}}_ \bot = {\mathbf{V}} - {\mathbf{V}}_\parallel = {\mathbf{V}} - \frac{{{\mathbf{V}} \cdot {\mathbf{W}}}} {{W^2 }}{\mathbf{W}}.$

Übung 4.1

$\begin{matrix} U_i = V_i + W_i ,\quad i = 1,\,\,2,\,\,3 \\ U = \sqrt {\left( {V_1 + W_1 } \right)^2 + \left( {V_2 + W_2 } \right)^2 + \left( {V_3 + W_3 } \right)^2 } , \\ \cos \varphi _i = \frac{{V_i + W_i }} {{\sqrt {\left( {V_1 + W_1 } \right)^2 + \left( {V_2 + W_2 } \right)^2 + \left( {V_3 + W_3 } \right)^2 } }}. \end{matrix}$

Übung 4.2

$\cos \alpha = \frac{{{\mathbf{V}} \cdot {\mathbf{W}}}} {{V\,W}} = \frac{{V_1 W_1 + V_2 W_2 + V_3 W_3 }} {{\sqrt {\sum\limits_1^3 {V_i ^2 \cdot \sum\limits_1^3 {W_i ^2 } } } }}.$

Übung 4.3

1. U·V = 1,

2. U x V = (-13, 5, 1),

3. U·(V x W) = 21,

4. U x (V x W) = (-2, -11, 8),

5. (U x V) x W = (1, -2, 23).

Übung 5.1

1. Aus

${\mathbf{r}} = {\mathbf{r}}_0 + \lambda {\mathbf{V}}$

folgt

${\mathbf{r}} = \left( { - 2,\,\,\,5,\,\,\,3} \right) + \lambda \left( {6,\,\,\,4,\,\,\,2} \right).$

Die Komponenten von r sind:

$x = - 2 + 6\lambda ,\,\,\,\,\,y = 5 + 4\lambda ,\,\,\,\,\,z = 3 + 2\lambda .$

2. Aus

$\left( {{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}_0 } \right) \times {\mathbf{V}} = 0$

folgt

$\left( {{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}_0 } \right) = \kappa {\mathbf{V}}$

und für die Komponenten

$x - x_0 = \kappa V_x ,\quad y - y_0 = \kappa V_y ,\quad z - z_0 = \kappa V_z ,$

also

$x + 2 = 6\kappa ,\quad y - 5 = 4\kappa ,\quad z - 3 = 2\kappa .$

Übung 5.2

Aus

$\left( {{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}_1 } \right) \times \left( {{\mathbf{r}}_2 - {\mathbf{r}}_1 } \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \left( {{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}_1 } \right) = \kappa \left( {{\mathbf{r}}_2 - {\mathbf{r}}_1 } \right)$

und daraus für die Komponenten

$x - x_1 = \kappa \left( {x_2 - x_1 } \right)\quad {\text{usw}}{\text{.}}$

und schließlich

$x = 4 - 7\kappa ,\quad y = 2 - 3\kappa ,\quad z = 5 + \kappa .$

Übung 5.3

Die Bedingung lautet

$\left( {{\mathbf{r}}_2 - {\mathbf{r}}_1 } \right) \times \left( {{\mathbf{r}}_3 - {\mathbf{r}}_1 } \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \left( {{\mathbf{r}}_2 - {\mathbf{r}}_1 } \right) = \kappa \left( {{\mathbf{r}}_3 - {\mathbf{r}}_1 } \right).$

Für die Komponenten ergibt sich daraus die Bedingung

$\frac{{x_2 - x_1 }} {{x_3 - x_1 }} = \frac{{y_2 - y_1 }} {{y_3 - y_1 }} = \frac{{z_2 - z_1 }} {{z_3 - z_1 }}.$

Übung 5.4

Wenn die beiden Geraden einander schneiden sollen, muss es genau ein Wertepaar (λ, κ) geben, sodass

$\lambda {\mathbf{V}} - \kappa {\mathbf{W}} = {\mathbf{r}}_0 ^{(h)} - {\mathbf{r}}_0 ^{(g)} \equiv {\mathbf{U}}$

ist, wobei U nur eine Abkürzung für die davor stehende Differenz ist. Bezeichnen wir die Komponenten der drei Vektoren V, W und U (zur Abwechslung) mit V_i, W_i und U_i (i = 1, 2, 3), so muss sein

$\,\lambda V_i - \kappa W_i = U_i .$

Daraus ergeben sich drei Bestimmungsgleichungen für κ und λ. Das Gleichungssystem ist also »überbestimmt«. Es hat nur dann Bestand (d. h. die zwei Geraden schneiden einander nur dann), wenn die aus zwei der drei Gleichungen ermittelten Werte für κ und λ auch der dritten Gleichung genügen. Wenn man die Berechnung durchführt, zeigt sich, dass die Geraden nur dann einander schneiden, wenn

$\begin{vmatrix} {U_1 } & {U_2 } & {U_3 } \\ {V_1 } & {V_2 } & {V_3 } \\ {W_1 } & {W_2 } & {W_3 } \end{vmatrix} = 0$

ist.

Übung 5.5

1. Betrachten wir einen beliebigen Punkt H auf der Geraden h (siehe Abb. 5.5). Von allen Punkten der Geraden g liegt derjenige Punkt G dem Punkt H am nächsten, für den GH senkrecht zu g ist. (Jeder andere Punkt P bildet mit G und H ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse PH größer als GH ist.)

2. Vertauschen wir jetzt die Rollen der Geraden, indem wir Ebenen einführen, die auf h senkrecht stehen. Dann finden wir analog, dass von allen Punkten H auf der Geraden h derjenige Punkt G auf g der Geraden h am nächsten liegt, für den GH senkrecht auf h steht.

3. Daraus folgt: Der kürzeste Strecke zwischen einem Punkt der Geraden g und einem Punkt der Geraden h muss sowohl auf g als auch auf h senkrecht stehen.

Übung 5.6

Die Komponentendarstellung des ersten Faktor ist:

${\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}_0 = \left( {x - x_0 } \right){\mathbf{e}}_1 + \left( {y - y_0 } \right){\mathbf{e}}_2 + \left( {z - z_0 } \right){\mathbf{e}}_3 ,$

Den zweiten Faktor schreiben wir als Determinante:

$\left( {{\mathbf{r}}_1 - {\mathbf{r}}_0 } \right) \times \left( {{\mathbf{r}}_2 - {\mathbf{r}}_0 } \right) = \begin{vmatrix} {{\mathbf{e}}_1 } & {{\mathbf{e}}_2 } & {{\mathbf{e}}_3 } \\ {x_1 - x_0 } & {y_1 - y_0 } & {z_1 - z_0 } \\ {x_2 - x_0 } & {y_2 - y_0 } & {z_2 - z_0 } \end{vmatrix} .$

Bei Bildung des Skalaprodukts werden die gleichnamigen Komponenten multipliziert und die Produkte addiert. Der erste Summand ist

$\left( {x - x_0 } \right){\mathbf{e}}_1 \cdot \left( {y_2 z_3 - y_3 z_2 } \right){\mathbf{e}}_1 = \left( {x - x_0 } \right)\left( {y_2 z_3 - y_3 z_2 } \right).$

Die anderen beiden Summanden ergeben sich analog. Die Summe kann dann durch die Determinante in Gleichung 5.17 beschrieben werden.

Übung 5.7

Bezeichnen wir die skalaren Komponenten des Vektors n mit n₁, n₂, n₃, so folgt aus

${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{r}} = {\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{r}}_0$

$\,n_1 x + n_2 y + n_3 z = n_1 x_0 + n_2 y_0 + n_3 z_0$

oder

$n_1 x + n_2 y + n_3 z - \left( {n_1 x_0 + n_2 y_0 + n_3 z_0 } \right) = 0.$

Übung 5.8

Es ist

${\mathbf{n}}_0 = \frac{{\left( {{\mathbf{r}}_2 - {\mathbf{r}}_1 } \right) \times \left( {{\mathbf{r}}_3 - {\mathbf{r}}_1 } \right)}} {{\left| {\left( {{\mathbf{r}}_2 - {\mathbf{r}}_1 } \right) \times \left( {{\mathbf{r}}_3 - {\mathbf{r}}_1 } \right)} \right|}}\quad {\mbox{und}}\quad {\mathbf{n}}_0 \cdot {\mathbf{r}}_1 = p.$

Also lautet die Hessesche Normalform der Ebene:

${\mathbf{r}} \cdot \frac{{\left( {{\mathbf{r}}_2 - {\mathbf{r}}_1 } \right) \times \left( {{\mathbf{r}}_3 - {\mathbf{r}}_1 } \right)}} {{\left| {\left( {{\mathbf{r}}_2 - {\mathbf{r}}_1 } \right) \times \left( {{\mathbf{r}}_3 - {\mathbf{r}}_1 } \right)} \right|}} = {\mathbf{r}}_1 \cdot \frac{{\left( {{\mathbf{r}}_2 - {\mathbf{r}}_1 } \right) \times \left( {{\mathbf{r}}_3 - {\mathbf{r}}_1 } \right)}} {{\left| {\left( {{\mathbf{r}}_2 - {\mathbf{r}}_1 } \right) \times \left( {{\mathbf{r}}_3 - {\mathbf{r}}_1 } \right)} \right|}}.$

Wiederholungsaufgaben

B

Es ist

${\mathbf{u}} \cdot {\mathbf{v}} = \left| {\mathbf{u}} \right| \cdot \left| {\mathbf{v}} \right| \cdot \cos \varphi = \left| {\mathbf{u}} \right|\left| {{\mathbf{v}}_u } \right|\,\,\, \to \,\,\,\left| {{\mathbf{v}}_u } \right| = \frac{{{\mathbf{u}} \cdot {\mathbf{v}}}} {{\left| {\mathbf{u}} \right|}}.$

Ferner ist

${\mathbf{v}}_u = \left| {{\mathbf{v}}_u } \right|\frac{{\mathbf{u}}} {{\left| u \right|}}\,\,\,{\mbox{und daher}}\,\,\,{\mathbf{v}}_u = \frac{{{\mathbf{u}} \cdot {\mathbf{v}}}} {{\left| {\mathbf{u}} \right|^2 }}{\mathbf{u}}.$

Daraus ergibt sich

${\mathbf{v}}_u^ \bot = {\mathbf{v}} - {\mathbf{v}}_u = {\mathbf{v}} - \frac{{{\mathbf{u}} \cdot {\mathbf{v}}}} {{\left| {\mathbf{u}} \right|^2 }}{\mathbf{u}}.$

C

Setzt man u x v = r, dann sind die Komponenten von r:

$r_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2 ,\quad r_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 ,\quad r_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1 .$

Die Komponenten von s= r x w = (u x v) x w sind dann

$s_1 = r_2 w_3 - r_3 w_2 ,\quad s_2 = r_3 w_1 - r_1 w_3 ,\quad s_3 = r_1 w_2 - r_2 w_1 .$

Daraus ergibt sich

$\begin{matrix} s_1 = \left( {u_3 v_1 - u_1 v_3 } \right)w_3 - \left( {u_1 v_2 - u_2 v_1 } \right)w_2 \\ = \left( {u_3 w_3 + u_2 w_2 } \right)v_1 - \left( {v_3 w_3 + v_2 w_2 } \right)u_1 \\ = \left( {u_3 w_3 + u_2 w_2 + u_1 w_1 } \right)v_1 - \left( {v_3 w_3 + v_2 w_2 + v_1 w_1 } \right)u_1 \\ = \left( {{\mathbf{u}} \cdot {\mathbf{w}}} \right)v_1 - \left( {{\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{w}}} \right)u_1 . \end{matrix}$

Analog findet man

$\begin{matrix} s_2 = \left( {{\mathbf{u}} \cdot {\mathbf{w}}} \right)v_2 - \left( {{\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{w}}} \right)u_2 , \\ s_3 = \left( {{\mathbf{u}} \cdot {\mathbf{w}}} \right)v_3 - \left( {{\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{w}}} \right)u_3 . \end{matrix}$

Folglich ist

$\begin{matrix} {\mathbf{s}} = s_1 {\mathbf{e}}_1 + s_2 {\mathbf{e}}_2 + s_3 {\mathbf{e}}_3 \\ = \left( {{\mathbf{u}} \cdot {\mathbf{w}}} \right)\left( {v_1 {\mathbf{e}}_1 + v_2 {\mathbf{e}}_2 + v_3 {\mathbf{e}}_3 } \right) - \left( {{\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{w}}} \right)\left( {u_1 {\mathbf{e}}_1 + u_2 {\mathbf{e}}_2 + u_3 {\mathbf{e}}_3 } \right) \\ = \left( {{\mathbf{u}} \cdot {\mathbf{w}}} \right){\mathbf{v}} - \left( {{\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{w}}} \right){\mathbf{u}}. \end{matrix}$

D

Nach dem Entwicklungssatz (siehe Übung B) ist

$\left( {{\mathbf{u}} \times {\mathbf{v}}} \right) \times {\mathbf{w}} = a{\mathbf{u}} + b{\mathbf{v}}\quad \quad a,b\,\,{\mbox{reelle Zahlen}}$

a u + b v ist ein Vektor, der in der Ebene von u und v liegt.

E 2 Der Vektor u x v steht auf der Ebene von u und v senkrecht. Wenn w nicht in dieser Ebene liegt, ist das Skalarprodukt (u x v)·w ungleich null.

Andere Lösung: Der Zahlenwert des Produkts (u x v)·w (des so genanntes Spatprodukts) ist gleich dem Zahlenwert des Volumens des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds (Parallelflachs). Wenn die drei Vektoren nicht in einer Ebene liegen, ist dessen Volumen nicht gleich null.

E 3 Die Vektorpaare u und v, v und w, w und u spannen je eine Ebene auf. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, sind diese drei Ebenen verschieden. Die Vektoren r, s und t sind die Flächennormalen dieser Ebenen. Wenn die Ebenen verschieden sind, liegen ihre Flächennormalen noicht in einer Ebene, sie sind also linear unabhängig.

F

Nach dem Entwicklungssatz ist

$\left( {{\mathbf{v}} \times {\mathbf{e}}} \right) \times {\mathbf{e}} = \left( {{\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{e}}} \right){\mathbf{e}} - \left( {{\mathbf{e}} \cdot {\mathbf{e}}} \right){\mathbf{v}} = \left( {{\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{e}}} \right){\mathbf{e}} - {\mathbf{v}},$

und daher

$\left( {{\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{e}}} \right){\mathbf{e}} - \left( {{\mathbf{v}} \times {\mathbf{e}}} \right) \times {\mathbf{e}} = \left( {{\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{e}}} \right){\mathbf{e}} - \left( {{\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{e}}} \right){\mathbf{e}} + {\mathbf{v}} = {\mathbf{v}}.$

G

Die drei äquivalenten skalaren Gleichungen lauten:

$\begin{matrix} kv_1 + v_2 a_3 - v_3 a_2 = b_1 , \\ kv_2 + v_3 a_1 - v_1 a_3 = b_2 , \\ kv_3 + v_1 a_2 - v_2 a_1 = b_3 . \end{matrix}$

Daraus ergibt sich:

$v_1 = \frac{{\left( {a_1 b_1 + a_2 b_2 } \right)\left( {k^2 + a_1 ^2 } \right) + \left( {a_1 b_3 - kb_2 } \right)\left( {a_1 a_3 + ka_2 } \right)}} {{\left( {ka_1 - a_2 a_3 } \right)\left( {k^2 + a_1 ^2 } \right) + \left( {ka_3 + a_1 a_2 } \right)\left( {a_1 a_3 + ka_2 } \right)}}$

und nach einigen Umformungen

$v_1 = \frac{{a_1 \left( {k^2 b_1 + \left( {{\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{b}}} \right) - k\left( {{\mathbf{b}} \times {\mathbf{a}}} \right)_1 } \right)}} {{a_1 k\left( {k^2 + \left| {\mathbf{a}} \right|^2 } \right)}} = \frac{{k^2 b_1 + \left( {{\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{b}}} \right) - k\left( {{\mathbf{b}} \times {\mathbf{a}}} \right)_1 }} {{k\left( {k^2 + \left| {\mathbf{a}} \right|^2 } \right)}}$

wobei (b x a)₁ die erste Komponente des Vektorprodukts ist.

Durch einen einfachen Analogieschluss findet man

$\begin{matrix} \,v_2 = \frac{{k^2 b_2 + \left( {{\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{b}}} \right) - k\left( {{\mathbf{b}} \times {\mathbf{a}}} \right)_2 }} {{k\left( {k^2 + \left| {\mathbf{a}} \right|^2 } \right)}}, \\ \\ \,v_3 = \frac{{k^2 b_3 + \left( {{\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{b}}} \right) - k\left( {{\mathbf{b}} \times {\mathbf{a}}} \right)_3 }} {{k\left( {k^2 + \left| {\mathbf{a}} \right|^2 } \right)}}. \end{matrix}$

Diese drei skalaren Gleichungen lassen sich zu einer Vektorgleichung zusammenfassen, die gleich der gegebenen ist.

Vektoralgebra, Lösungen

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