A. Einstein: Kommentare und Erläuterungen: Zur Elektrodynamik bewegter Körper: Kinematischer Teil: §5

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[Bearbeiten] § 5. Additionstheorem der Geschwindigkeiten

Die Konstanten w_ξ und w_η sind die Komponenten der Geschwindigkeit des betrachteten Punktes bezüglich k.

Setzt man

$\xi = \beta \left( {x - vt} \right),\quad \tau = \beta \left( {t - \frac{v} {{V^2 }}x} \right)$

so erhält man durch Auflösen der Gleichung nach x die eine der beiden Bewegungsgleichungen im System K:

$x = \frac{{w_\xi + v}} {{1 + \frac{{v\,w_\xi }} {{V^2 }}}}t.$

Dies ist die Gleichung einer gleichförmigen Bewegung mit der Geschwindigkeit

$w_x = \frac{{w_\xi + v}} {{1 + \frac{{v\,w_\xi }} {{V^2 }}}}.$

Die Transformation der zweiten Gleichung erfordert etwas mehr Rechenaufwand, da man x mit der oben erhaltenen Gleichung eliminieren muss:

$y = w_\eta \beta \,\left( {t - \frac{v} {{V^2 }}x} \right) = w_\eta \beta \,t\left( {1 - \frac{{v\left( {w_\xi + v} \right)}} {{V^2 + v\,w_\xi }}} \right).$

Daraus folgt schließlich

$y = \frac{{\sqrt {1 - \left( {\frac{v} {V}} \right)^2 } }} {{1 + \frac{{v\,w_\xi }} {{V^2 }}}}w_\eta t.$

Dies ist wiederum eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit

$w_y = \frac{{\sqrt {1 - \left( {\frac{v} {V}} \right)^2 } }} {{1 + \frac{{v\,w_\xi }} {{V^2 }}}}w_\eta .$

Zwischenbemerkung: Was soll der Satz »Das Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt nach unserer Theorie nur in erster Annäherung« bedeuten? Im Detail ist hier Folgendes zu sagen:

1. Zwei Geschwindigkeiten gleicher Richtung (hier: w_ξ und v) dürfen nicht einfach summiert werden.

2. Die beiden Geschwindigkeitskomponenten werden nicht in gleicher Weise transformiert.

3. Dass sich w_x = dx /dt und w_y = dy /dt vektoriell addieren (also nach dem Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten) versteht sich von selbst und wird von Einstein hier auch benutzt.