Analytische Geometrie/ Weiterführende Themen

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[Bearbeiten] Vektorräume

Definition

Eine (zweistellige) innere Verknüpfung ist eine Abbildung, bei der je zwei Elementen einer Menge M ein Element aus derselben Menge M zugeordnet wird. Geschrieben wird eine solche Verknüpfung als

$V:\; M\times M\rightarrow M,\; (x|y)\mapsto V(x,y)$

Eine (zweistellige) äußere Verknüpfung (erster Art) ist eine Abbildung, bei der einem Element aus einer Menge A und einem Element aus einer zweiten Menge B wieder ein Element aus der zweiten Menge B zugeordnet wird.

$V:\; A\times B\rightarrow B,\; (x|y)\mapsto V(x,y)$

Bei Verknüpfungen, die als Addition oder Multiplikation bezeichnet werden, wird häufig die sogenannten Infix-Notation verwendet. Hierbei wird das Symbol der Verknüpfung zwischen die beiden zu verknüpfenden Elemente geschrieben anstatt davor, wie z.B. $a + b$ statt $+ (a, b)$ .

Definition

Eine Menge K zusammen mit zwei inneren Verknüpfungen $+:\;K\times K\rightarrow K$ (meist Addition genannt) und $\cdot:\;K\times K\rightarrow K$ (meist Multiplikation genannt), die für alle $a, b, c\in K$ folgende Eigenschaften erfüllen, nennt man einen Körper:

Eigenschaften der "Addition":

(A1) $\left.a+(b+c) = (a+b)+c\right.$ (Assoziativität der Addition)

(A2) $\left.a+b = b+a\right.$ (Kommutativität der Addition)

(A3) Es gibt ein Element $0\in K$ , so dass für alle $a\in K$ gilt $\left.0+a=a\right.$ (Existenz des neutralen Elementes der Addition)

(A4) Zu jedem $a\in K$ existiert ein $-a\in K$ mit $\left.a+(-a)=0\right.$ (Existenz des inversen Elementes der Addition)

Eigenschaften der "Multiplikation":

(M1) $a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$ (Assoziativität der Multiplikation)

(M2) $a\cdot b = b\cdot a$ (Kommutativität der Multiplikation)

(M3) Es gibt ein Element $1\in K\setminus\left\{0\right\}$ , so dass für alle $a\in K$ gilt $1\cdot a=a$ (Existenz des neutralen Elementes der Multiplikation)

(M4) Zu jedem $a\in K\setminus\left\{0\right\}$ gibt es ein $a^{-1}\in K\setminus\left\{0\right\}$ mit $a\cdot a^{-1}=1$ (Existenz des inversen Elementes der Multiplikation)

Eigenschaft der Kombination aus "Addition" und "Multiplikation":

(D) $a\cdot (b+c) = a\cdot b+a\cdot c$ (Distributivität)

Beispiele

Definition

Ein Vektorraum über einem (Skalar-)Körper K ist eine Menge V mit einer inneren Verknüpfung $+:\;V\times V\rightarrow V$ (Vektoraddition genannt) und einer äußeren Verknüpfung $\cdot:\;K\times V\rightarrow V$ (Skalarmultiplikation oder zur besseren Unterscheidung vom Skalarprodukt Multiplikation mit Skalaren genannt), die für alle $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\in V$ und alle $\lambda, \mu\in K$ folgende Eigenschaften erfüllen:

Eigenschaften der Vektoraddition

(V1) $\vec{u}+\left(\vec{v}+\vec{w}\right) = \left(\vec{u}+\vec{v}\right)+\vec{w}$ (Assoziativität der Vektoraddition)

(V2) $\left.\vec{u}+\vec{v} = \vec{v}+\vec{u}\right.$ (Kommutativität der Vektoraddition)

(V3) Es gibt ein Element $\vec{0}\in V$ , so dass für alle $\vec{u}\in V$ gilt $\left.\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}\right.$ (Existenz des neutralen Elementes der Vektoraddition)

(V4) Zu jedem $\vec{u}\in V$ existiert ein $-\vec{u}\in V$ mit $\vec{u}+\left(-\vec{u}\right)=\vec{0}$ (Existenz des inversen Elementes der Vektoraddition)

Eigenschaften der Multiplikation mit Skalaren:

(V5) $\lambda\cdot\left(\mu\cdot\vec{u}\right) = \left(\lambda\cdot\mu\right)\cdot\vec{u}$ (Assoziativität der Multiplikation mit Skalaren)

(V6) Für das neutrale Element der Multiplikation $1\in K$ gilt auch $1\cdot\vec{u}=\vec{u}$ (Erhaltung des neutralen Elementes der Multiplikation des Körpers als neutrales Element der Multiplikation mit Skalaren)

Eigenschaft der Kombination aus Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren:

(V7) $\left(\lambda+\mu\right)\cdot\vec{u}=\lambda\cdot\vec{u}+\mu\cdot\vec{u}$ (Distributivität der Skalare)

(V8) $\lambda\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=\lambda\cdot\vec{u}+\lambda\cdot\vec{v}$ (Distributivität der Vektoren)

Um noch einmal auf die in der Definition der Verknüpfungen (versteckt) enthaltenen Eigenschaften besonders hinzudeuten kann noch angefügt werden:

(V0a) $\vec{u}+\vec{v}\in V$ (Abgeschlossenheit der Vektoraddition)

(V0b) $\lambda\cdot\vec{u}\in V$ (Abgeschlossenheit der Multiplikatio nmit Skalaren)

Die Elemente eines Vektorraumes nennt man Vektoren.

Beispiele

Definition

Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge eines Vektorraumes, die selbst wieder ein Vektorraum ist. Ist V ein Vektorraum über K und $U\subset V$ eine nichtleere Teilmenge, dann ist U ein Untervektorraum von V (über K), wenn folgende Bedingungen für alle $\vec{u},\vec{v}\in U$ und alle $\lambda\in K$ erfüllt sind:

$\vec{u}+\vec{v}\in U$ (Abgeschlossenheit der Vektoraddition)
$\lambda\cdot\vec{u}\in U$ (Abgeschlossenheit der Multiplikation mit Skalaren)

Beispiele

Definition

Ist V ein Vektorraum und sind $\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n\in V$ . Dann heißt das endliche Vektorsystem $\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n$

linear unabhängig, wenn die Gleichung $\lambda_1\cdot\vec{v}_1+\ldots+\lambda_n\vec{v}_n=\vec{0}$ nur die triviale Lösung $\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0$ besitzt,
linear abhängig, wenn die Gleichung $\lambda_1\cdot\vec{v}_1+\ldots+\lambda_n\vec{v}_n=\vec{0}$ neben der trivialen Lösung $\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0$ eine weiter Lösung besitzt, bei der nicht alle $λ i$ gleich Null sind.

Eine unendliche Menge von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge derselben linear unabhängig ist.

Definition

Ist V ein Vektorraum über K und $E\subset V$ , dann nennt man E ein Erzeugendensystem von V, wenn für jeden Vektor $\vec{w}\in V$ Vektoren $\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n\in E$ und Skalare $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in K$ existieren, so dass $\vec{w}=\lambda_1\cdot\vec{v}_1+\ldots+\lambda_n\cdot\vec{v}_n$ . ( $\vec{w}$ lässt sich als Linearkombination von endlich vielen Vektoren aus E darstellen.)

Ein Erzeugendensystem aus linear unabhängigen Vektoren nennt man eine Basis.

Die Dimesion eines Vektorraumes, kurz $\dim V$ , ist die Anzahl der Vektoren in jeder Basis des Vektorraumes.

Beachte: Sowohl ein Erzeugendensystem, als auch eine Basis können unendlich viele Vektoren enthalten. In letzterem Fall schreibt man $\dim V=\infty$ .

Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum über K und $B=\left\{\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_n\right\}$ eine Basis von V, dann lässt sich jeder Vektor aus V als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.

$\vec{w}=k_1\cdot\vec{b}_1+\ldots+k_n\cdot\vec{b}_n\qquad\left(k_1\ldots,k_n\in K\right)$

Ist die Basis auf irgendeine Weise geordnet, z.B. nach den Indizes der Basisvektoren, dann bezeichnet man das entsprechende n-Tupel aus den Koeffizienten $\left(k_1,\ldots,k_n\right)$ oder auch $\begin{pmatrix}k_1\\\vdots\\k_n\\\end{pmatrix}$ als Koordinaten von $\vec{w}$ (bezüglich B).

Beispiele

Definition

Eine nicht leere Menge $\mathbb{P}$ (genannt Menge der Punkte) zusammen mit einem Vektorraum V (genannt Richtungsvektorraum) und einer Abbildung $\varphi:\;V\times \mathbb{P}\rightarrow\mathbb{P}$ (genannt Translation oder Verschiebung) heißt affiner Raum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Für alle $P\in\mathbb{P}$ gilt: $\varphi\left(\vec{0},P\right)=P$
Für alle $\vec{u},\vec{v}\in V$ und alle $P\in\mathbb{P}$ gilt: $\varphi\left(\vec{u}+\vec{v},P\right)= \varphi\left(\vec{u},\varphi\left(\vec{v},P\right)\right)$
Für alle $P,Q\in\mathbb{P}$ existiert ein eindeutig bestimmter Vektor $\vec{v}\in V$ , so dass gilt: $\varphi\left(\vec{v},P\right)=Q$

Statt $\varphi\left(\vec{v},P\right)$ schreibt man auch $P+\vec{v}$ . Der durch $P,Q\in\mathbb{P}$ eindeutig bestimmte Vektor $\vec{v}\in V$ mit $\varphi\left(\vec{v},P\right)=Q$ wird häufig als $\overrightarrow{PQ}$ bezeichnet.

Beispiele

Definition

Ein Skalarprodukt auf einem $\mathbb{R}$ -Vektorraum V ist eine Abbildung $\bullet:\;V\times V\rightarrow\mathbb{R}, \left(\vec{u},\vec{v}\right)\mapsto\vec{u}\bullet\vec{v}$ die für jedes $\vec{u},\vec{v},\vec{w}\in V$ und jedes $\lambda\in\mathbb{R}$ folgende Eigenschaften erfüllt:

$\left(\vec{u}+\vec{v}\right)\bullet\vec{w}=\vec{u}\bullet\vec{w}+\vec{v}\bullet\vec{w}$
$\lambda\cdot\left(\vec{u}\bullet\vec{v}\right)=\left(\lambda\cdot\vec{u}\right)\bullet\vec{v} = \vec{u}\bullet\left(\lambda\cdot\vec{w}\right)$
$\vec{u}\bullet\vec{v}=\vec{v}\bullet\vec{u}$
$\vec{u}\bullet\vec{u}>0\Leftrightarrow \vec{u}\ne\vec{0}$

Ist aus dem Zusammenhang die Unterscheidung zwischen der Multiplikation mit Skalaren $\cdot$ und dem Skalarprodukt $\bullet$ klar, so kann man auch das Symbol $\cdot$ statt des Symbols $\bullet$ für das Skalarprodukt verwenden.

Definition

Die Norm eines Vektors wird definiert durch $\|\vec{v}\|=\sqrt{\vec{v}\bullet\vec{v}}$ .

Der Winkel $\varphi$ zwischen zwei Vektoren $\vec{u},\vec{v}\in V$ ist $\varphi=\arccos\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|}$ .