Aufgabensammlung Mathematik: Gleichmäßige Stetigkeit der Abstandsfunktion eines Punktes zu einer festen Menge
Gleichmäßige Stetigkeit der Abstandsfunktion eines Punktes zu einer festen Menge
Sei ein metrischer Raum und sei eine nicht leere Teilmenge von . Beweise, dass folgende Funktion gleichmäßig Stetig ist:
Beweis
Behauptung 1: Für alle und ist und .
Sei und beliebig. Nach der Dreiecksungleichung ist:
Analog ist:
Behauptung 2: Für alle und ist und
Sei und beliebig. Es ist und analog . Damit ist
und
Behauptung 3: Für alle ist und
Wegen gibt es eine Folge mit . Weil für alle nach Behauptung 2 die Ungleichung erfüllt ist, ist auch
Analog kannst du beweisen.
Behauptung 4: ist gleichmäßig stetig.
Nach Behauptung 3 ist und . Aus diesen beiden Gleichungen folgt .
Sei nun . Wähle . Für alle mit gilt dann:
Damit ist gleichmäßig stetig.