Aufgabensammlung Mathematik: Stetigkeit

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Nuvola apps bookcase 1.svg Aufgabensammlung Mathematik Nuvola mimetypes dvi.png Topologie Nuvola mimetypes dvi.png Stetigkeit

Stetigkeit

Aufgabensammlung
Siehe auch folgende Aufgabensammlung:

Gleichmäßige Stetigkeit

Sei (X,d) ein metrischer Raum und sei A eine nicht leere Teilmenge von X. Beweise, dass folgende Funktion gleichmäßig Stetig ist:

\text{dist}(\cdot, A) : X \rightarrow \R^{+}_0 : x \mapsto \inf\limits_{a\in A} \{ d(x,a) \}

Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Sei f:D\rightarrow\R eine stetig differenzierbare Funktion, wobei D eine offene Teilmenge von \R ist. Beweise, dass f lokal Lipschitz-stetig ist. Beweise also, dass es für alle x_0\in D ein \epsilon > 0 gibt, so dass f auf ]x_0-\epsilon,x_0+\epsilon[ \,\cap\, D Lipschitz-stetig ist.

Sei f: (X, d_X) \rightarrow (Y, d_Y) eine lokal Lipschitz-stetige Funktion zwischen den metrischen Räumen (X, d_X) und (Y, d_Y), wobei (X, d_X) ein kompakter Raum ist. Beweise, dass f global Lipschitz-stetig ist.

Seien f und g zwei lokal Lipschitz-stetige Funktionen zwischen dem metrischen Raum (X,d) und dem Körper \mathbb K. Beweise

  1. -f ist lokal Lipschitz-stetig
  2. f+g ist lokal Lipschitz-stetig
  3. Ist X ein normierter, endlichdimensionaler Vektorraum über \R oder \C, so ist f\cdot g ist lokal Lipschitz-stetig
  4. Besitzt g keine Nullstellen und ist X ein normierter, endlichdimensionaler Vektorraum über \R oder \C, dann ist \frac fg lokal Lipschitz-stetig
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