Aufgabensammlung Mathematik: Stetigkeit

Stetigkeit

Allgemeine Aufgaben zur Stetigkeit

Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen sind wieder stetig

Beweise, dass jedes Bild $f(A)$ einer kompakten Menge $A$ unter einer stetigen Abbildung $f:X\rightarrow Y$ kompakt ist.

Gleichmäßige Stetigkeit

Gleichmäßige Stetigkeit der Abstandsfunktion eines Punktes zu einer festen Menge

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und sei $A$ eine nicht leere Teilmenge von $X$. Beweise, dass folgende Funktion gleichmäßig Stetig ist:

$\text{dist}(\cdot, A) : X \rightarrow \R^{+}_0 : x \mapsto \inf\limits_{a\in A} \{ d(x,a) \}$

Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Stetig differenzierbare Funktionen sind lokal Lipschitz-stetig

Sei $f:D\rightarrow\R$ eine stetig differenzierbare Funktion, wobei $D$ eine offene Teilmenge von $\R$ ist. Beweise, dass $f$ lokal Lipschitz-stetig ist. Beweise also, dass es für alle $x_0\in D$ ein $\epsilon > 0$ gibt, so dass $f$ auf $]x_0-\epsilon,x_0+\epsilon[ \,\cap\, D$ Lipschitz-stetig ist.

Lokal Lipschitz-stetige Funktionen auf kompaktem Definitionsbereich sind global Lipschitz-stetig

Sei $f: (X, d_X) \rightarrow (Y, d_Y)$ eine lokal Lipschitz-stetige Funktion zwischen den metrischen Räumen $(X, d_X)$ und $(Y, d_Y)$, wobei $(X, d_X)$ ein kompakter Raum ist. Beweise, dass $f$ global Lipschitz-stetig ist.

Summe, Produkt und Quotient lokal Lipschitz-stetiger Funktionen sind wieder lokal Lipschitz-stetig

Seien $f$ und $g$ zwei lokal Lipschitz-stetige Funktionen zwischen dem metrischen Raum $(X,d)$ und dem Körper $\mathbb K$. Beweise

1. $-f$ ist lokal Lipschitz-stetig
2. $f+g$ ist lokal Lipschitz-stetig
3. Ist $X$ ein normierter, endlichdimensionaler Vektorraum über $\R$ oder $\C$, so ist $f\cdot g$ ist lokal Lipschitz-stetig
4. Besitzt $g$ keine Nullstellen und ist $X$ ein normierter, endlichdimensionaler Vektorraum über $\R$ oder $\C$, dann ist $\frac fg$ lokal Lipschitz-stetig