Benutzer:Chris.brand/Untervektorraum

Linearkombinationen von Vektoren

Wenn eine rollende Kugel von einem Tisch fällt, dann wirkt die Schwerkraft auf diese Kugel und sie fällt zu Boden. Die Flugbahn der Kugel ist aber keine gerade Linie zum Boden. Um in einem Moment die Fallrichtung der Kugel zu bestimmen, brauchst du Angaben über die Kräfte, welche auf die Kugel wirken.

Hier sind das die Schwerkraft und die Kraft der rollenden Bewegung. Die Schwerkraft wirkt horizontal und kann man als Vielfaches des Vektors (0,1) darstellen. Die Kraft der rollenden Bewegung wirkt vertikal und kann deswegen als Vielfaches des Vektors (1,0) beschrieben werden. Die Fallrichtung bestimmst du dann, indem du die Vektoren der Schwerkraft und der rollenden Bewegung verkettest (siehe Graphik).

Dieses Prinzip der Skalierung und Verkettung von Vektoren kommt nicht nur in der Kräftebetrachtung in der Physik vor. Auch in der Mathematik ist die Skalierung und Verkettung von Vektoren elementar. Beispielsweise kann man sich überlegen, auf welcher Art ich Vektoren skalieren und verketten kann um einen anderen Vektor zu beschreiben (siehe Graphik(noch einfügen)).

Ein gutes Beispiel dafür ist das Koordinatensystem in Verbindung mit den Einheitsvektoren.(weiter ausformulieren)

Jetzt wollen wir diesen Prozess der Skalierung und Verkettung mathematisch beschreiben. Hierfür überlegen wir welche Operationen wir durchführen bei der Skalierung und Verkettung durchführen.

Die Skalierung eines Vektors ist wie bekannt dadurch zu beschreiben, dass man den Vektor mit dem passendem Skala multiplizierst. Die Verkettung von zwei Vektoren entspricht der Addition dieser zwei Vektoren. Das bedeutet, wenn wir die Vektoren $a,b$ und $c$ zuerst mit 1,2 und 3 skalieren und dann verketten, erhalten wir den Vektor $v=1\cdot a+2\cdot b+3\cdot c$.

Das Skalieren und Verketten von Vektoren beschreiben wir allgemein in der Mathematik als Linearkombination.