Benutzer:Philipendula/Matheübungen

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Übungen zu Summen

1. Berechnen Sie

\sum_{i=0}^4 \frac{i}{i+1}
\sum_{i=-2}^3 a


2. Vereinfachen Sie

\sum_{j=-3}^2 (k-j)^2


3. Schreiben Sie die folgenden Summen mit dem Summenzeichen

1 + 8 + 27 + 64 + 125
5+\frac{4}{3}+\frac{1}{3}+\frac{2}{27}+\frac{1}{81}
1 − 3 + 5 − 7 + 8


4. Gegeben ist die folgende Tabelle, wobei i die Nummer der Zeile und j die Nummer der Spalte bezeichnen.

 5  8 2 3
 1 -2 1 0
-6  1 7 5


a. Geben Sie an

\sum_{i=1}^2 \sum_{j=3}^4 x_{ij}
\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^4 x_{ij}


b. Stellen Sie in Summennotation dar

Summe der 4. Spalte
Summe der 2. Zeile
Summe der Tabellen-Elemente unterhalb der xii-Werte.


5. Ermitteln Sie die Summe

\sum_{k=5}^{100} \frac{1}{(k-1)k}
Hinweis: Es gilt
\frac{1}{(k-1)k} = \frac{1}{(k-1)} - \frac{1}{(k)}


6. Vereinfachen Sie

\sum_{i=1}^5 (2-3x_i) + \sum_{i=1}^5 (10x_i-4)
\sum_{i=0}^{n+1} (3+5x_i) - \sum_{i=1}^n (x_i-1) - 2\sum_{i=0}^{n} (3x_i + 1)


7. Es ist der arithmetische Durchschnitt von n vielen Werten xi definiert als

\overline x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln bei Summen, dass gilt
\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline x)^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \cdot \overline x ^2


[Bearbeiten] Übungen zu Abbildungen

1. Untersuchen Sie folgende Relationen. Handelt es sich um Abbildungen, sind sie gegebenenfalls surjektiv, injektiv, bijektiv?

1.1 Abbildungsvorschrift y = f(x) = 1 + \sqrt{3x+1}

mit den Relationen
\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}
\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}
\lbrace x | x \ge - \frac{1}{3} \wedge x \in \mathbb{R} \rbrace \longrightarrow \mathbb{R}
[0;1] \longrightarrow [1;2]  ; beide Intervalle sind Teilmengen der reellen Zahlen
\mathbb{R}_0^+ \longrightarrow [1;2]
[0;1] \longrightarrow \mathbb{R}
[0;1] \longrightarrow \mathbb{N}


1.2 Abbildungsvorschrift f(x) = \frac{1}{x}

mit den Relationen

\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}
\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace \longrightarrow \mathbb{R}
\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace \longrightarrow \mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace

1.3 Abbildungsvorschrift f(n) = n!; f(n)= {n \choose n}; f(n)= {n \choose n-1}

mit der Relation
\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}


2. Ermitteln Sie Definitionsbereich, Wertebereich und gegebenenfalls die Umkehrfunktion von

y = \frac{3x-8}{x+1}; y = \frac{1}{4} \sqrt{100-4x} ; y = e^{-x^2} ;

[Bearbeiten] Verkettete Funktionen

Stellen Sie folgende Funktionen als verkettete Funktionen dar:

y = \ln \frac{1}{5-x^2} ; y = (5x3 − 8x2)12; y = e^{-\frac{x^2}{2}} ;

[Bearbeiten] Folgen und Reihen

Gegeben ist die Folge: a


[Bearbeiten] Matrizenrechnung

Aufgabe 1

Gegeben sind die Matrizen

\underline X = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ -2 & 3 & 1\\ \end{pmatrix} \quad . und \underline Y = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Berechnen Sie, falls möglich,

\underline X \cdot \underline Y, \quad \underline Y \cdot \underline X, \quad \underline X \cdot \underline X^T .


Aufgabe 2

Gegeben sind die Matrizen

\underline X = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \quad , \underline Y = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} und \underline z = \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 2 \end{pmatrix} \quad .

Berechnen Sie, falls möglich,

\underline X \cdot \underline Y, \quad \underline Y \cdot \underline X, \quad \underline Y \cdot \underline z, \quad \underline z^T \cdot \underline z, \quad \underline z \cdot \underline z^T .

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