Benutzer:Philipendula/Spielwiese2

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Vergleich zweier Erwartungswerte Beispiele:

Füllt der neue Automat, den ein Spirituosenhersteller angeschafft hat, im Mittel so viel in Flaschen ab wie der alte Automat? Saß der deutsche Fernsehzuschauer im Jahr 2009 im Durchschnitt länger von dem Fernseher als im Jahr davor.

Interpretiert man beispielsweise die obigen Abfüllmengen als Zufallsvariaben, testet man, ob sich die Erwartungswerte der beiden Zufallsvariablen signifikant unterscheiden.

Wir gehen also von zwei Zufallsvariablen X1 und X2 aus. Wir testen die Hypothese

H0: EX1 = EX2,

was man auch darstellen kann als

H0: EX1 - EX2 = 0.

Es ist naheliegend, dass man diese Differenz schätzt mit

d=x1qu-x2qu.

Die Verteilung der dazugehörigen Zufallsvariablen Differenz ergibt sich aus den gelernten Lineare Funktionen mehrerer Zufallsvariablen. Wenn die die Zufallsvariablen X1q und X2q stochastisch unabhängig sind, ist D verteilt mit den Parametern ED = und der Varian

und wir überlegen uns, wie diese Differenz verteilt ist und welche Prüfgröße wir für den obigen Test erhalten. z Wir erinnern uns: Gegeben sind zwei Zufallsvariablen X₁ und X₂ mit den Verteilungsparametern EX₁, varX₁ und EX₂, varX₂. Es wird eine Zufallsvariable

Y = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2

gebildet. Der Erwartungswert errechnet sich Y durch

E Y = b 0 + b 1 E X 1 + b 2 E X 2

.

Die Varianz von Y setzt sich aus den Einzelvarianzen der Zufallsvariablen zusammen. Wenn die zwei Zufallsvariablen X₁ und X₂ stochastisch unabhängig sind, ergibt sich die Formel für die Varianz als

$varY = b_1^2varX_1 + b_2^2varX_2$ .

Unsere beiden Zufallsvariablen sind x1qu und x2qu. Xqu1 hat den Erwartungswert EXq1 und die Varianz varxq1. Also ist die Zufallsvariable D verteilt mit den Parametern ... und

2.1.2 Stetige Zufallsvariablen

--Philipendula ? 23:12, 15. Jun 2006 (UTC)

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiel :
2 Fx
3 Fx2
4 Es gilt speziell für stetige Zufallsvariablen:

[Bearbeiten] Beispiel :

Dichtefunktion von X

Die Zufallsvariable X: "An einem Tag verkaufte Menge an Tageszeitungen (in 100) eines Zeitungskiosks" lässt sich beschreiben mit der Dichtefunktion

$f(x)= \begin{cases} \frac {1}{4} - \frac {3}{2} & \mbox{für } 6 \le x \le 8 \\ \frac {5}{2} - \frac {1}{4} & \mbox{für } 8 < x \le 10 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases} \ .$

Diese Zufallsvariable X ist nun stetig, d.h. sie hat in jedem Intervall a ≤ X ≤ b unendlich viele Ausprägungen.

Eine Analyse der Grafik zeigt, dass diese Dichtefunktion symmetrisch bezüglich 8 ist, was die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten sehr erleichtert.

W', dass X höchstens 7 ist

Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass an einem Tag höchstens 700 Zeitungen verkauft werden, also P(X ≤ 7). Wenn wir analog zu der diskreten Zufallsvariablen vorgehen, wo wir "die Summe der Stäbchen" ermittelten, müsste die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ a) hier "unendlich viele Stäbchen", also eine Fläche ergeben.

Wir berechnen die Dreiecksfläche mit Hilfe der Geometrie:

$P(X \le 7) = \mbox{Breite des Dreiecks } \cdot \mbox{Höhe des Dreiecks } \cdot \frac {1}{2}$

$= 1 \cdot \frac {1}{4} \cdot \frac {1}{2} = \frac {1}{8} \ .$

Es ist übrigens auch

$P(X < 7)= \frac {1}{8} \ ,$

denn bei einer stetigen Zufallsvariablen ist P(X = x) = 0, da es als unmöglich angesehen wird, genau einen bestimmten Wert x zu "treffen". Man betrachtet also bei einer stetigen Zufallsvariablen nur Wahrscheinlichkeiten der Art P(X ≤ x) o.ä.

Es ist P(X ≤ 8) = 0,5, wie man der Grafik sofort entnimmt.

W', dass X mindestens 9 ist

$P(X \ge 9) = \frac {1}{8} \ ,$ denn wie man sieht, ist die Fläche von P(X ≥ 9) genau gleich der Fläche P(X ≤ 7).

Außerdem ist $P(X \le 9) =1-P(X \ge 9)= \frac {7}{8} \ .$

Bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls. Es ergibt

P(8 < X ≤ 9) = P(X ≤ 9) - P(X ≤ 8) = 0,875 - 0,5 = 0,375,

wenn man die Rechenregel für P(a < X ≤ b) anwendet.

W', dass X höchstens 9 ist

W', dass X zwischen 8 und 9 liegt

[Bearbeiten] Fx

Man kann Wahrscheinlichkeiten von X auch als Verteilungsfunktion darstellen. Sucht man die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ a), muss also das Integral von -&infty; bis a berechnet werden:

$P(X \le a)= F(a) = \int_ {-\infty} ^a f(x)dx$

Bei unserem Beispiel sind wir mit verschiedenen Bereichen konfrontiert:

1. a < 6

$P(X \le a)= F(a) = \int_{-\infty}^a 0 \cdot dx = 0$

2. 6 ≤ a ≤ 8

$F(a) = \int_{-\infty}^a 0 \cdot dx + \int_{6} ^a ( \frac {1}{4} x - \frac {3}{2}) dx = 0 + \frac {x^2}{8} - \frac {3}{2} x |_6^a = \frac {a^2}{8} - \frac {3}{2}a - ( \frac {6^2}{8} - \frac {3}{2}6) = \frac {a^2}{8} - \frac {3}{2}a + \frac {9}{2}$

3. 8 < a ≤ 10

$F(a) = \int_{-\infty}^a 0 \cdot dx +\int_{6}^8 (\frac {1}{4}x - \frac {3}{2})dx +\int_{6}^8 (\frac {1}{4}x - \frac {3}{2})dx = 0+ \frac {x^2}{8} - \frac {3}{2} x|_6^a = \frac {a^2}{8} - \frac {3}{2}a - ( \frac {6^2}{8} - \frac {3}{2} 6) = \frac {a^2}{8} - \frac {3}{2} a + \frac {9}{2}$

3. a > 10

F (a) = 1

$P(X \le a)= F(a)= \begin{cases} 0 & \mbox {für } a<6 \\ \frac {a^2}{8} - \frac {3}{2} a + \frac {9}{2} & \mbox {für } 6 \le a \le 8 \\ -\frac {a^2}{8} + \frac {5}{2} a - \frac {23}{2} & \mbox {für } 8 < a \le 10 \\ 1 & \mbox {sonst} \end{cases}$

[Bearbeiten] Fx2

Man erhält diese Funktion durch Integration der Dichtefunktion. Die Ermittlung der Verteilungsfunktion kann in vielen gängigen Statistiklehrbüchern nachgelesen werden.

Wir erhalten beispielsweise durch Einsetzen in F(x)

$P(X \le 7)= F(7) = \frac {7^2}{8} - \frac {3}{2}7 + \frac {9}{2} =\frac {1}{8} \ ,$

$P(X \le 9)= F(9) = -\frac {9^2}{8} + \frac {5}{2}9 - \frac {23}{2} =\frac {7}{8} \ .$

Quantil!!!!

Beispiele:

x(0,875) = 9, d.h. zur Wahrscheinlichkeit 0,875 gehört der x-Wert 9.

Ebenso ist x(0,5) = 8. D.h. 8 ist der Median, also wurden an 50% aller Tage höchstens 800 Zeitungen verkauft.

Übung:

Bestimmen Sie P(6,25 < X = 8,75). Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurden an den 50% besten Tagen mindestens 900 Zeitungen verkauft? Gesucht ist hier P(X = 9| X = 8).

[Bearbeiten] Es gilt speziell für stetige Zufallsvariablen:

Eine stetige Zufallsvariable kann in jedem beschränkten Intervall unendlich viele Ausprägungen annehmen. Ihre Verteilung lässt sich durch eine Dichtefunktion f(x) beschreiben. f(x) ist keine Wahrscheinlichkeit, sondern eine Dichte.

Es gilt: P(X = a) = 0.

Die Verteilungsfunktion ist

$P(X \le a)= F(a) = \int_{-\infty}^{a}f(x)dx$

Wegen P(X = a) = 0 ist P(X = a) = P(X < a) und P(X > a) = P(X = a)

Die Dichtefunktion f(a) kann auch größer als 1 werden.

Die Dichtefunktion f(x) ist die erste Ableitung der Verteilungsfunktion, falls diese an der Stelle x differenzierbar ist.

Ausgehend von P(X = x) = p ist das p-Quantil x(p) der Wert x, der zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p gehört. Speziell x(0,5) ist der Median.

Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen ist analog zu oben

$EX = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)dx ,$ falls EX existiert, d.h. nicht unendlich wird.

Ihre Varianz ist

$varX = \int_{-\infty}^{\infty} (x-EX)^2 \cdot f(x)dx$

wobei auch hier der Verschiebungssatz angewendet werden kann:

$varX = (\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x)dx) - (EX)^2$

Bei symmetrisch verteilten Zufallsvariablen ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen gleich dem Median.

In unserem Beispiel ist also EX = 8, denn die Verteilung ist symmetrisch. Das bedeutet, dass im Durchschnitt pro Tag 800 Zeitungen umgesetzt werden.

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[Bearbeiten] Beispiel :

[Bearbeiten] Fx

[Bearbeiten] Fx2

[Bearbeiten] Es gilt speziell für stetige Zufallsvariablen:

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