Die Sprache der Mathematik: Aussagenlogik

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[Bearbeiten] Eine Grammatik für die Mathematik

In der Mathematik ist eine Vielfalt an möglichen Ausdrucksweisen und grammatischen Konstruktionen, wie sie die natürliche Sprache bietet, eher hinderlich als nützlich. Es stellt sich heraus, dass sich alle mathematischen Aussagen, alle Formeln, mittels sehr weniger, einfacher sprachlicher Strukturen ausdrücken lassen:

Aus Variablen, Konstanten und Funktionen setzt man Terme zusammen, aus Termen und Relationen atomare Formeln und atomare Formeln verknüpft man mit den Junktoren und Quantoren zu Formeln und Aussagen.

In der Aussagenlogik wollen wir uns zunächst nur mit den Junktoren beschäftigen. Wie die atomaren Formeln genau zu Stande kommen, interessiert uns noch nicht weiter. Man kann sich vorerst unter einer atomaren Formel ohne Weiteres eine Aussage wie "Die Sonne scheint." oder "Es regnet." vorstellen. Die Junktoren entsprechen den Worten "und", "oder", "wenn (...) dann", "genau dann (...) wenn" und "nicht", und erlauben es, mehrere Aussagen zu einer einzigen zu verbinden.

In der folgenden Tabelle werden die Junktoren einzeln vorgestellt. $A$ und $B$ stehen dabei für beliebige Aussagen:

Negation ("nicht")	$\neg A$	" $A$ trifft nicht zu."
Konjunktion ("und")	$A \wedge B$	"Sowohl $A$ als auch $B$ trifft zu."
Disjunktion ("oder")	$A \vee B$	" $A$ oder $B$ (oder beides) trifft zu."
Implikation ("wenn (...) dann")	$A \rightarrow B$	"Falls $A$ zutrifft, so trifft auch $B$ zu."
Äquivalenz ("genau dann (...) wenn")	$A \leftrightarrow B$	" $A$ trifft genau dann zu, wenn $B$ zutrifft."

Steht also $A$ für "Die Sonne scheint." und $B$ für "Es regnet.", ist die Formel $A \rightarrow \neg B$ beispielsweise als "Falls die Sonne scheint, regnet es nicht." zu interpretieren, und $A \wedge B$ als: "Die Sonne scheint und es regnet."

Um Klammern zu sparen, vereinbaren wir, dass die in obiger Tabelle eher genannten Junktoren stärker binden und dass im Zweifelsfall rechts geklammert wird. $A \wedge B \vee C$ heiße also $(A \wedge B) \vee C$ und nicht $A \wedge (B \vee C)$ ; und $A \rightarrow B \rightarrow C$ bedeutet $A \rightarrow (B \rightarrow C)$ und nicht $(A \rightarrow B) \rightarrow C$ .

[Bearbeiten] Wahrheit

Wie in der natürlichen Sprache ist nicht jede Aussage, die man formulieren kann, auch gleich wahr. Gehen wir aber einmal davon aus, dass sich jeder Aussagenvariablen ein Wahrheitswert zuordnen lässt, wir also von jeder atomaren Aussage wissen, ob sie stimmt oder nicht. Eine solche Zuordnung nennt man eine Belegung und üblicherweise kürzt man "wahr" mit 1 und "falsch" mit 0 ab.

Offenbar können wir zu einer gegebenen Belegung auch für jede zusammengesetzte Formel einen Wahrheitswert angeben: Die Aussage "Die Sonne scheint und es regnet." ist ja genau dann wahr, wenn sowohl die Aussage "Die Sonne scheint." als auch die Aussage "Es regnet." zutrifft - das ist schließlich die Bedeutung des Wortes "und". Und es soll auch die Bedeutung des $\wedge$ -Quantors sein: Die Aussage $A \wedge B$ ist nur dann wahr, wenn sowohl $A$ als auch $B$ wahr sind, ansonsten ist sie falsch.