Die Sprache der Mathematik: Relationen

Relationen

In den vorherigen Kapitel haben wir den Begriff der "Menge" eingeführt. Wir können also verschiedene Objekte zu einer Menge zusammenfassen, was uns die Arbeit mit Objekten schon erleichtert (so können wir, wenn wir z. B. über eine Klasse von Schülern sprechen wollen, eine Menge definieren, die alle diese Schüler zusammenfasst). Jedoch müssen wir auch über Beziehungen zwischen den einzelnen Objekten sprechen können. Dafür wurde in der Mathematik der Begriff der Relation eingeführt (in diesem Artikel werden wir an Stelle des Begriffs „Beziehung“ den Begriff „Relation“ verwenden).

Einführende Beispiele für Relationen

Die erste Frage, die du dir sicher stellst, ist (Ich glaube es zumindest ^^): Wie können wir Relationen zwischen Objekten darstellen/formalisieren. Wie du sicherlich gerade selber merkst, ist diese Frage nicht leicht zu beantworten. Und wenn sie schon schwer zu beantworten ist, sollte doch die Überführung des Relationsbegriffs in die abstrakte Welt der mathematischen Sprache, auch schwer sein (Aber du weißt ja: abstrakt heißt nicht schwer sondern vereinfacht). Aber genug der Rumgrübelei, schauen wir uns erstmal ein Beispiel an (Macht sich ja immer gut ^^):

Nehmen wir uns eine kleine Schulklasse, in der nur die Schüler Max, Anna, Thomas, Julia und Kathrin gehen. Du als aufmerksamer Leser wirst sicherlich diese 5 Schüler als Menge zusammenfassen. Nennen wir sie $K$ für „Klasse“. Damit ist $K$ gleich:

$K:=\{Max,\;Anna,\;Thomas,\;Julia,\;Kathrin\}$

Schauen wir uns zunächst mögliche Relationen zwischen den Schülern an. Da gibt es zum Beispiel eine „x ist ein(e) Freund(in) von y“-Relation (x und y bezeichnen hier verschiedene Schüler). So könnten wir uns folgende Relationen vorstellen:

Max-ist ein(e) Freund(in) von-Thomas

Julia-ist ein(e) Freund(in) von-Anna

Kathrin-ist ein(e) Freund(in) von-Max

...

Wie wir an diesem Beispiel sehen, die die „x ist ein(e) Freund(in) von y“-Relation eine Relation, die 2 Schüler unserer Klasse „miteinander verbindet“. Weitere Beispiele von Relationen, die in unserem Beispiel 2 Schüler miteinander verbindet, wären die „x spielt gerne mit y“-Relation, die „x wohnt im selben Viertel wie y“-Relation und die „x mag nicht y“-Relation. Die bisher genannten Beispiele für Relationen sind also Relationen, die 2 Objekte miteinander verbinden (Menschen als Objekte anzusehen, ist ethisch zwar nicht besonders korrekt, aber im Sinne der Findung eines allgemeinen Relationsbegriffs sinnvoll ^^).

Es gibt aber auch Relationen, die mehr als 2 Objekte miteinander verbinden. So ist zum Beispiel die Relation „x, y und z haben einmal zusammen Verstecken gespielt“-Relation eine Relation, die 3 Objekte miteinander verbindet. Du kannst dir sicherlich noch weitere Beispiele für Relationen zwischen mehr als 2 Schülern finden.

Um den Begriff der Relation so allgemein wie möglich zu definieren (mit verallgemeinerten Begriffen lässt sich leichter arbeiten als mit spezialisierten - sie sind auf mehr Bereiche anwendbar und tragen nicht zu viel unnötigen „Ballast“ mit sich rum), bietet es sich an auch Relationen zu betrachten, die nur ein Objekt enthalten. Bevor du verwirrt dieses Wikibook an die virtuelle Wand wirfst, hier ein Beispiel: „x ist 10 Jahre alt“-Relation. Diese Relation oder besser gesagt Eigenschaftsrelation kann auf nur einen Schüler angewandt werden. Weitere Beispiele wären: „x trägt einen roten Schal“ oder „x ist ein Mädchen“. Wir haben nun einige Beispiele für Relationen gesehen und können nun versuchen den Begriff zu definieren.