Digitale bildgebende Verfahren: Grundlagen

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Dieses Kapitel beschäftigt sich mit prinzipiellen Eigenschaften von optischen Abbildungen. In den folgenden Abschnitten sind einige grundlegende Aspekte aufgeführt, die bei der Aufnahme und Registrierung von Bildern eine Rolle spielen.

Optik

Die Optik (von altgriechisch ὀπτική τέχνη (optikḗ téchnē), zu Deutsch: „Lehre vom Sehen“) beschäftigt sich mit der Ausbreitung von Licht unter Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen Licht und Materie. Im engeren Sinne werden in der Optik optische Systeme behandelt, mit denen Objekte abgebildet werden können. Reelle Bilder können beispielsweise mit Bildwänden, photographischen Filmen oder elektronischen Bildsensoren aufgefangen werden, wohingegen virtuelle Bilder direkt durch das menschliche Auge gesehen werden können.

Lichtquellen haben immer eine endliche Ausdehnung. Wenn die leuchtende Fläche im Vergleich zu einem ausgedehnten optischen System klein ist, wird die entsprechende Lichtquelle als punktförmig bezeichnet. In der Praxis kann ein Fixstern als eine solche punktförmige Lichtquelle betrachtet werden. Im Labor kann eine punktförmige Lichtquelle durch die Beleuchtung einer kleinen Kreislochblende aus einer hinreichend großen Entfernung erzeugt werden. Das aus der Blende austretende Licht bildet ein Lichtbündel. Ein Lichtstrahl kann durch ein paralleles Lichtbündel mit kleinem Durchmesser angenähert werden. Lichtstrahlen werden in der geometrischen Optik verwendet, um die Richtung des Flusses der Lichtenergie anzugeben.

Die elektrische Feldstärke ${\vec {E}}$ (blau in y-Richtung) und die magnetische Feldstärke ${\vec {B}}$ (rot in z-Richtung) bei einer elektromagnetischen Wellen mit Ausbreitung in x-Richtung.

Beugungseffekte sind durch die Welleneigenschaften des Lichtes bedingt und treten immer auf, wenn es auf Kanten trifft. Die Beugung wird in der Wellenoptik behandelt und wird in der geometrischen Optik nicht berücksichtigt.

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum $c_{0}$ ist eine festgelegte Größe, die für alle Arten elektromagnetischer Strahlung gilt:

c_{0}=299792458{\frac {\text{m}}{\text{s}}}

Die Wellenlänge $\lambda _{0}$ der mit der Frequenz $f$ transversal schwingenden, elektromagnetischen Welle beträgt hierbei:

\lambda _{0}={\frac {c_{0}}{f}}

Die Vektoren der elektrischen und der magnetischen Feldstärke stehen bei elektromagnetischen Wellen stets senkrecht zueinander und außerdem beide senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.

Brechung

In allen anderen optischen Medien bleibt die Schwingungsfrequenz $f$ elektromagnetischer Wellen im Vergleich zu derjenigen im Vakuum erhalten, aber die Lichtgeschwindigkeit $c$ und die Wellenlänge $\lambda$ sind kleiner. Dies kann durch den maßeinheitenlosen Brechungsindex $n$ (auch Brechzahl genannt) des optischen Mediums beschrieben werden:

c={\frac {c_{0}}{n}}

\lambda ={\frac {\lambda _{0}}{n}}

Der Brechungsindex des Vakuums ist demzufolge gleich Eins, und bei allen anderen optischen Medien ist der Brechungsindex größer als Eins. Bei Gasen ist der Brechungsindex bei normalem Luftdruck nur geringfügig größer als Eins. Die meisten optischen Medien aus flüssigem oder festem Material haben typische Brechungsindices zwischen 1,3 und 2,0. Wasser hat bei Zimmertemperatur einen Brechungsindex von 1,333. Besondere Materialien haben Brechungsindices, die größer als Zwei sind, wie zum Beispiel Dimant (Kohlenstoffkristall) mit rund 2,4 oder Rutil (Titandioxid) mit rund 3,1.

Beim Übergang von Lichtstrahlen von einem optischen Medium mit der Brechzahl $n_{1}$ in ein optisches Medium mit der Brechzahl $n_{2}$ wird ein einfallender Lichtstrahl (in der Abbildung rechts weiß) zu einem Teil in das Einfallsmedium zurück gespiegelt (Reflexion, in der Abbildung rechts dunkelgrau) und zu einem anderen Teil in das Ausfallsmedium gebrochen (Refraktion, in der Abbildung rechts hellgrau). Die Richtungen der Reflexion und der Refraktion werden über die Winkel zur Flächennormalen (Lot) an der Stelle des Übergangs der beiden optischen Medien bestimmt.

Für die Reflexion gilt das Reflexionsgesetz:

Einfallswinkel

\alpha

gleich Ausfallswinkel

\alpha

.

Für die Refraktion gilt das Snelliussche Brechungsgesetz:

n_{1}\cdot \sin \alpha =n_{2}\cdot \sin \beta

Ist $n_{2}$ größer als $n_{1}$ , wird der Lichtstrahl zum Lot hingebrochen, und ist $n_{1}$ größer als $n_{2}$ , wird der Lichtstrahl vom Lot weggebrochen.

Am Einheitskreis (Radius gleich Eins) gilt:

\sin \alpha =a

und:

\sin \beta =b

Das Snelliussche Brechungsgesetz geht damit in die folgende Form über:

n_{1}\cdot a=n_{2}\cdot b

Es gilt entsprechend:

{\frac {n_{1}}{n_{2}}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}={\frac {b}{a}}

Zur Herleitung des Brechungsgesetzes unter Berücksichtigung der Ausbreitung mit Huygensschen Elementarwellen mit der jeweiligen Lichtgeschwindigkeit auf dem schnellsten Weg entsprechend dem Fermatschen Prinzip siehe auch:

→ Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Ablenkung von Lichtstrahlen"

Optische Achse

Die optische Achse beschreibt in der geometrischen Optik die Rotationsachse aller rotationssymmetrischen Bestandteile einer optischen Abbildung oder eines optischen Systems.

Schnittebene von zweidimensionalen Skizzen werden üblicherweise durch die optische Achse gelegt, so dass die Schnitte der rotationssymmetrischen optischen Elemente an dieser Achse gespiegelt dargestellt werden. Die optische Achse wird in solchen Skizzen immer als Strichpunktlinie dargestellt.

Hauptebenen

Ein aus dem Objektraum links der Hauptebene kommender Lichtstrahl (gestrichelte Linie) wird an der Hauptebene H (blau) in den Bildraum rechts der Hauptebene abgelenkt

Hauptebenen stehen in der Regel senkrecht zur optischen Achse. Sie beschreiben vereinfacht betrachtet Flächen, an denen alle Strahlen in einem optischen Strahlengang gebrochen oder gespiegelt werden, und sie teilen den Objektraum links der Hauptebene vom Bildraum rechts der Hauptebene. In der Praxis gilt dies mit hinreichender Genauigkeit häufig nur für achsnahe Strahlen (paraxialer Strahlengang mit Gaußschen Strahlen).

Bei konvergenten Systemen werden die Strahlen zur optischen Achse abgelenkt, und bei divergenten Systemen werden die Strahlen von der optischen Achse weggelenkt.

Von den Hauptebenen werden in Richtung der optischen Achse Schnittweiten, Brennweiten, Objektweiten und Bildweiten gemessen. Die Schnittpunkte der Hauptebenen mit der optischen Achse werden als Hauptpunkte bezeichnet. Lichtstrahlen, die durch einen Hauptpunkt gehen, heißen Hauptstrahlen und werden nicht abgelenkt.

Linsen haben zwei Hauptebenen, deren Hauptpunkte mit den Scheitelpunkten der Linsenoberflächen auf der optischen Achse übereinstimmen können. Meist liegen sie jedoch zwischen der Mitte und den Scheitelpunkten der Linse. Bei hinreichend dünnen Linsen fallen die beiden Hauptebenen annähernd zu einer einzigen Hauptebene in der Mitte der Linse zusammen, so dass sich Berechnungen und graphische Darstellungen mit nur einer Hauptebene deutlich vereinfachen lassen. Von dünnen Linsen wird gesprochen, wenn der Radius der Oberflächen und somit auch die Brennweite deutlich größer sind als die Dicke der Linse entlang der optischen Achse.

Optische Systeme, wie zum Beispiel ein Objektiv, können sehr viele Hauptebenen haben, die nicht notwendigerweise alle im optischen System liegen müssen, wie zum Beispiel bei Retrofokusobjektiven oder teleskopischen Objektiven.

Messtechnisch können von außen unmittelbar nur die Lagen der beiden äußersten Hauptebenen eines optischen Systems bestimmt werden. Bei Zoomobjektiven, also bei Objektiven mit variabler Brennweite, variiert die Lage der Hauptebenen mit der Einstellung der Brennweite. Auch bei Objektiven mit innenliegender Fokussierung verändert sich beim Scharfstellen die Lage der Hauptebenen zueinander.

Bildwinkel

Der Bildwinkel $\alpha$ ist der ebene Winkel, innerhalb dessen das reelle Bild des Objektes in der Bildebene vom bildseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann. Er wird durch die äußeren zur Abbildung beitragenden Hauptstrahlen gebildet, die durch den Hauptpunkt gehen.

Mathematisch ist der Bildwinkel wie folgt definiert, wenn die Bildgröße (sie wird manchmal auch als Bildhöhe bezeichnet) $B$ beziehungsweise der Radius des Bildkreises $r$ von der optischen Achse aus gemessen ist und $b$ die Bildweite zwischen Hauptebene und Bildebene darstellt:

\alpha =2\cdot \arctan {\frac {B}{b}}=2\cdot \arctan {\frac {r}{b}}

,

wobei der Radius des Bildkreises $r$ gleich dem halben Bildkreisdurchmesser $d$ ist:

r=B={\frac {d}{2}}

Die Bildweite ergibt sich daraus folgendermaßen:

b={\frac {r}{\tan {\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {d}{2\cdot \tan {\frac {\alpha }{2}}}}

Der Objektwinkel ist der ebene Winkel, innerhalb dessen ein abgebildetes Objekt in der Objektebene (respektive in der Schärfeebene) vom objektseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann, und er ist mit dem Bildwinkel $\alpha$ identisch. Daher können unter Berücksichtigung des Abbildungsmaßstabs auch die Objektgröße (sie wird auch als Gegenstandshöhe oder Gegenstandsgröße bezeichnet) $G$ beziehungsweise der Radius des Objektkreises von der optischen Achse aus gemessen und die Objektweite (sie wird auch als Gegenstandsweite bezeichnet) $g$ zwischen Hauptebene und Objektebene zur Berechnung des Bildwinkels herangezogen werden:

\alpha =2\cdot \arctan {\frac {G}{g}}

Wegen der ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke gilt, dass die Verhältnisse der Katheten gleich sind:

{\frac {B}{b}}={\frac {G}{g}}

Daraus folgt:

{\frac {B}{G}}={\frac {b}{g}}

Brennweite

Bildhöhe c in der Brennebene in Abhängigkeit der Richtung γ eines unendlich entfernten Objektes zur optischen Achse

Die Brennweite $f$ ist bei einer optischen Abbildung mit lichtsammelnden Elementen definiert als die von der letzten Hauptebene gemessene Schnittweite paraxialer Lichtstrahlen bei unendlicher Objektweite $a$ . In diesem Fall schneiden sich die Strahlen im bildseitigen Brennpunkt und die Bildweite $b$ ist identisch mit der Brennweite $f$ :

f=b_{a=\infty }

Die Brennweite kann also als Bildweite gemessen werden, wenn die Objektweite unendlich ist.

Der Kehrwert der Brennweite wird Brechkraft $D$ genannt:

D={\frac {1}{f}}

Liegt das Objekt außerhalb der optischen Achse, wird es nicht in den Brennpunkt abgebildet, sondern in die Brennebene, die durch den Brennpunkt geht und senkrecht auf der optischen Achse steht. Für ein Objekt mit unendlicher Objektweite, das zur optischen Achse unter dem Winkel $\gamma$ erscheint, ergibt sich bei gegebener bildseitiger Brennweite $f'$ die von der optischen Achse gemessene Bildhöhe $c$ wie folgt:

c=f'\tan \gamma

Oder nach Umstellung aufgelöst nach dem Winkel $\gamma$ in Abhängigkeit der beiden Längen:

\gamma =\arctan {\frac {c}{f'}}

Wenn die Bilddiagonale eines Rechteckes beziehungsweise der Bildkreisdurchmesser $d$ bekannt sind, ergibt sich die Brennweite als Funktion des (diagonalen) Bildwinkels $\alpha$ zu:

f={\frac {d}{2\cdot \tan {\frac {\alpha }{2}}}}

Beziehungsweise umgekehrt, der Bildwinkel $\alpha$ als Funktion der Brennweite $f'$ :

\alpha =2\arctan {\frac {d}{2\cdot f'}}

Ein Objekt, das in der Brennebene liegt, wird ins Unendliche abgebildet, und der objektseitige Brennpunkt wird bildseitig daher auf der optischen Achse ins Unendliche abgebildet.

Wegen der Dispersion kann die Brennweite bei der Verwendung von brechenden Materialien von der Wellenlänge der abbildenden Strahlen abhängen. Die Dispersion eines bestimmten optischen Mediums kann durch dessen Abbe-Zahl beschrieben werden:

→ siehe hierzu auch Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Chromatische Aberration"

Normalbrennweite

Die Brennweite ist bei einer optischen Abbildung nicht ausreichend, um die Größe einer Aufnahme zu kennzeichnen. In einigen Fällen ist die Bildgröße standardisiert, wie zum Beispiel beim rechteckigen Format des Kleinbildfilms, so dass aus der Angabe einer beliebigen Brennweite auch auf den maximal möglichen Bildwinkel der Bilddiagonale beziehungsweise des Bildkreisdurchmessers geschlossen werden kann.

Es kann eine empirisch zu bestimmende Normalbrennweite definiert werden, bei der ein Bild mit dem Bildwinkel aufgenommen wird, mit dem das abgebildete Objekt mit bloßem Auge bei hinreichender Auflösung gesehen werden kann. Dies ist der Fall, wenn der Bildwinkel des Auges wegen der physiologischen Schwankungsbreite ungefähr zwischen 40° und 55° liegt.

Brennweiten, die kürzer als die Normalbrennweite sind, erzeugen weitwinklige Aufnahmen mit größeren Bildwinkeln, und Brennweiten, die länger als die Normalbrennweite sind, erzeugen teleskopische Aufnahmen mit kleineren Bildwinkeln. Die Größenverhältnisse der in unterschiedlichen Entfernungen aufgenommenen Gegenstände innerhalb einer Aufnahme ändern sich deutlich mit der Brennweite.

Beim durch den 35-Millimeter-Film (Kleinbildfilm) im 20. Jahrhundert sehr weit verbreiteten Kleinbildformat mit einer Bildbreite $b$ von 36 Millimetern und einer Bildhöhe $h$ von 24 Millimetern hat sich eine Normalbrennweite $f_{\text{norm, Kleinbild}}$ von

f_{\text{norm, Kleinbild}}=50\,{\text{mm}}

etabliert. Bei diesem Format ergibt sich rechnerisch eine Bilddiagonale beziehungsweise ein Bildkreisdurchmesser $d$ von:

d_{\text{Kleinbild}}={\sqrt {b_{\text{Kleinbild}}^{2}+h_{\text{Kleinbild}}^{2}}}={\sqrt {{(36\,{\text{mm}})}^{2}+{(24\,{\text{mm}})}^{2}}}\approx 43{,}3\,{\text{mm}}

Da alle Hersteller von Kleinbildkameras dieselbe, fest vorgegebene Bildgröße verwenden, ist dem Photographen bei diesem Bildformat bekannt, dass ein Objektiv mit Normalbrennweite eine Brennweite von 50 Millimetern hat. Bei anderen Bildformaten und -größen, wie sie zum Beispiel in der digitalen Photographie verwendet werden, ergeben sich zwangsläufig andere Normalbrennweiten, so dass aus der Angabe der Brennweite allein noch nicht folgt, welche Bildgröße oder welcher Bildwinkel bei der optischen Abbildung berücksichtigt wurde.

Abgesehen von einigen digitalen Systemkameras mit Bildsensoren im Kleinbildformat gibt es viele verschiedene Bildsensorgrößen und damit Normalbrennweiten (siehe auch Abschnitt Bildsensoren). Zur Bestimmung von Normalbrennweiten kann das Verhältnis $c$ zwischen Normalbrennweite und Bildkreisdurchmesser verwendet werden, das sich beim Kleinbildfilm ergibt:

c={\frac {f_{\text{norm, Kleinbild}}}{d_{\text{Kleinbild}}}}\approx 1{,}16

Anhand der effektiven Bilddiagonalen $d$ kann somit die Normalbrennweite $f_{\text{norm}}$ berechnet werden:

f_{\text{norm}}=c\cdot d

Beim Sonderfall unendlicher Objektweite $a$ sind Bildweite $a'$ und Brennweite $f$ identisch, und der Bildwinkel bei der Normalbrennweite $\alpha _{\text{norm}}$ kann leicht aus der Brennweite $f$ und dem Radius des Bildkreises $r$ berechnet werden:

\alpha _{\text{norm}}=2\cdot \arctan {\frac {r}{f}}

Am Beispiel des Kleinbildformates ergibt sich der Bildwinkel bei der Normalbrennweite $\alpha _{\text{norm}}$ also wie folgt:

\alpha _{\text{norm}}=2\cdot \arctan {\frac {21{,}63\,{\text{mm}}}{50\,{\text{mm}}}}=46{,}8^{\circ }

Dieser Bildwinkel kann auch bei alle anderen Bildformaten eingesetzt werden.

Die Normalbrennweite kann mithilfe des Bildwinkels bei der Normalbrennweite bei unendlicher Objektweite auch aus der Brennweite und dem dazugehörigen Bildwinkel bestimmt werden:

f_{\text{norm}}=f\cdot {\frac {\tan {\frac {\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\alpha _{\text{norm}}}{2}}}}

Ferner lässt sich auch die Bilddiagonale berechnen, wenn die Brennweite bekannt ist und der Bildwinkel gemessen werden kann:

d={\frac {f_{\text{norm}}}{c}}={\frac {f}{c}}\cdot {\frac {\tan {\frac {\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\alpha _{\text{norm}}}{2}}}}

Für einige gängige Bildsensorformate resultieren die folgenden Bilddiagonalen und Normalbrennweiten, sowie die entsprechenden Schärfentiefebereiche (siehe auch Abschnitt Schärfentiefe) für menschliche Betrachter beispielsweise bei einer Blendenzahl von 2,0 (siehe auch Abschnitt Blendenzahl) und einer Objektweite von einem Meter. Ferner die Bildpunktgröße bei 16 Millionen quadratischen Bildpunkten (siehe auch Abschnitt Punktabstand), der dazugehörige tolerierbare Fokussierungsfehler in der Bildebene bei der Blendenzahl 2,0 (siehe auch Abschnitt Fokussierungsfehler) und der Durchmesser des entsprechenden Beugungsscheibchens für grünes Licht mit der Wellenlänge 550 Nanometer (siehe auch Abschnitt Beugungsbegrenzung):

Bildsensorgröße Bezeichnung	Bilddiagonale $d$ in Millimetern	Normalbrennweite $f_{\text{norm}}$ in Millimetern	Schärfentiefe in mm bei Blendenzahl 2,0 und Objektweite 1 m	Bildpunktgröße auf dem Bildsensor in µm bei 16 Millionen Bildpunkten	Maximal zulässiger Fokussierungsfehler auf dem Bildsensor in µm bei Blendenzahl 2,0	Maximale Blendenzahl ohne Beugungsbegrenzung auf dem Bildsensor
1/3,2″	5,6	6,5	360	0,99	2,0	0,74
1/2,7″	6,0	7,0	330	1,06	2,1	0,79
1/2,5″	6,4	7,5	310	1,13	2,3	0,84
1/2,3″	7,7	8,9	260	1,4	2,7	1,0
1/1,8″	8,9	10	240	1,57	3,1	1,2
2/3″	11,0	13	170	1,94	3,9	1,4
1"	15,9	18	130	2,8	5,6	2,0
4/3″	21,6	25	90	3,8	7,6	2,8
APS-C	26,8 bis 28,4	31 bis 33	70	5	10	3,5
Kleinbildformat	43,3	50	44	8	15	5,6
Mittelformat	50 bis 70	60 bis 80	30	11	20	8,0

Wesentliche Unterschiede von Bildsensoren ergeben sich indirekt durch eine unterschiedliche Schärfentiefe $\Delta _{d}$ bei gleichem Bildwinkel und gleicher Blendenzahl. Dabei gilt näherungsweise bei gleicher Anzahl der Bildpunkte (siehe auch Abschnitt Bildauflösung):

\Delta _{d}\propto {\frac {1}{d}}

Es ergibt sich bei der Verdopplung der Bilddiagonale $d$ also in etwa eine Halbierung der Schärfetiefe. Bei großen Bildsensorformaten ist die Schärfentiefe bei offener Blende möglicherweise so stark eingeschränkt, dass abgeblendet werden muss. Ferner kann es bei der Verwendung von zusätzlichen Einstellhilfen für die Bildschärfe wie zum Beispiel Einstellscheiben oder Autofokussystemen bei kleinen Bildsensoren leicht zu Fokussierungsfehlern kommen, so dass das Bild auf dem Sensor nicht hinreichend scharf aufgenommen werden kann.

Abbildungsmaßstab

Parameter der Abbildungsgleichung bei einem konvergenten Strahlengang

Bei photographischen Aufnahmen mit gegebener Brennweite $f$ gilt die Abbildungsgleichung (umgangssprachlich auch "Linsenformel"), die den Zusammenhang zwischen Objektweite $a$ und Bildweite $a'$ herstellt:

{\frac {1}{f}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{a'}}

oder anders ausgedrückt:

f={\frac {a\cdot a'}{a+a'}}

Aus diesen Längen lässt sich der Abbildungsmaßstab $\beta$ berechnen. Dieser kann bei sowohl aus dem Verhältnis von Bildweite $a'$ zu Objektweite $a$ (auch Gegenstandsweite genannt), als auch aus dem Verhältnis von Bildgröße $y'$ zu Objektgröße $y$ (auch Gegenstandsgröße genannt) berechnet werden:

\beta ={\frac {a'}{a}}={\frac {y'}{y}}={\frac {a'}{f}}-1={\frac {1}{{\frac {a}{f}}-1}}

beziehungsweise:

{\frac {1}{\beta }}={\frac {a}{a'}}={\frac {y}{y'}}={\frac {a}{f}}-1={\frac {1}{{\frac {a'}{f}}-1}}

Umgeformt nach der Bildweite $a'$ lautet der Formelzusammenhang:

{a'}={\frac {y'}{y}}\cdot a=\beta \cdot a={\frac {1}{{\frac {1}{f}}-{\frac {1}{a}}}}

Und umgeformt nach der Objektweite $a$ lautet der Formelzusammenhang:

{a}={\frac {y}{y'}}\cdot a'={\frac {a'}{\beta }}={\frac {1}{{\frac {1}{f}}-{\frac {1}{a'}}}}

Desgleichen können die Objektröße $y$ und die Bildgröße $y'$ ausgerechnet werden:

{y}={\frac {y'}{\beta }}={\frac {y'}{{\frac {a'}{f}}-1}}=\left({\frac {a}{f}}-1\right)\cdot y'

{y'}=\beta \cdot y=\left({\frac {a'}{f}}-1\right)\cdot y={\frac {y}{{\frac {a}{f}}-1}}

Bei der gleichzeitigen Aufnahme von Objekten mit verschiedener Objektweite (innerhalb des hinreichend scharf abgebildeten Schärfentiefebereiches) ergeben sich also zwangsläufig unterschiedliche Abbildungsmaßstäbe. Dieser Effekt kann bei Aufnahmen, bei denen es auf Maßhaltigkeit ankommt (zum Beispiel bei einer Industrieanlagenüberwachung, in der Photogrammetrie oder bei der Portraitphotographie), dadurch reduziert werden, dass eine größere Brennweite und entsprechend größere Objektweiten gewählt werden. Alternativ ist der Einsatz von beidseitig telezentrischen Objektiven möglich, bei denen der Abbildungsmaßstab weder von der Objektweite noch von der Bildweite abhängt (siehe auch Abschnitt Telezentrie).

Für zwei Gegenstände mit einem Abstand von zehn Einheiten ergeben sich bei drei verschiedenen Brennweiten beispielsweise die folgenden Abbildungsmaßstäbe:

Brennweite $f$	Objektweite $a$	Abbildungsmaßstab $\beta$	Abweichung der Abbildungsmaßstäbe
10	100	0,1111	11,1%
10	110	0,1000	11,1%
100	1090	0,1010	1,0%
100	1100	0,1000	1,0%
1000	10990	0,1001	0,1%
1000	11000	0,1000	0,1%

Relativer Abbildungsmaßstab

Um ein von der Brennweite und der Bildgröße unabhängiges Maß zu gewinnen, kann das Verhältnis des tatsächlichen Abbildungsmaßstabes $\beta$ zum entsprechenden Abbildungsmaßstab bei der Normalbrennweite $\beta _{\text{norm}}$ gebildet werden, der sogenannte relative Abbildungsmaßstab $\beta _{\text{rel}}$ :

\beta _{\text{rel}}={\frac {\beta }{\beta _{\text{norm}}}}

Bei der Normalbrennweite ist der relative Abbildungsmaßstab eins, bei weitwinkligen Aufnahmen ist er kleiner als eins und bei teleskopischen Aufnahmen ist er größer als eins.

Zoomfaktor

Standardzoom mit Bildwinkeln zwischen leicht weitwinkliger und leicht teleleskopischer Wirkung. Bei mittlerer Brennweite sind in etwa die Normalbrennweite und der Normalwinkel eingestellt.

Der Zoomfaktor $z$ von Objektiven, die in der Brennweite variabel sind, wird traditionell als Verhältnis der Extrembrennweiten angegeben:

z={\frac {f_{\text{tele}}}{f_{\text{weit}}}}

Dieser Wert ist bei unendlicher Objektweite identisch mit dem Verhältnis der entsprechenden Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise relativen Abbildungsmaßstäbe:

z={\frac {\beta _{\text{weit}}}{\beta _{\text{tele}}}}={\frac {\beta _{\text{rel, weit}}}{\beta _{\text{rel, tele}}}}

Dies ist zwar ein einfacher Ansatz, da die Brennweiten als Kenndaten des Zoomobjektivs in der Regel angegeben werden, dieser lässt jedoch unbeachtet, dass die perspektivische Wirkung einer optischen Abbildung nicht von der Brennweite, sondern vom Bildwinkel bestimmt wird und bei Vergrößerungen der Abbildungsmaßstab einen viel entscheidenderen Einfluss hat. Bei einer Verdopplung der Brennweite ist es bei hinreichend geringer Objektweite ohne weiteres möglich, einen zehn Mal größeren Abbildungsmaßstab respektive einen zehn Mal kleineren Bildwinkel zu erreichen. Der Zoomfaktor ist also nur eine Kenngröße, die die Verhältnisse der Abbildungsmaßstäbe bei unendlicher Objektweite angeben. Für Objektweiten in der Größenordnung der Brennweite $f$ ist das Verhältnis der Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise der Bildwinkel erheblich aussagekräftiger als der Zoomfaktor.

Die folgenden Tabelle gibt für eine Objektweite von $g=1000$ Längeneinheiten die Verhältnisse der Brennweiten, Abbildungsmaßstäbe und Bildwinkel bei verschiedenen Brennweiten bezogen auf die Bezugsbrennweite $f_{0}=10$ (dies entspricht einem Abbildungsmaßstab von $\beta _{0}={\frac {1}{99}}$ , einer Bildweite von $b_{0}=10{,}101$ , einer Bilddiagonale von $d=8{,}7$ , wenn $f_{0}$ die Normalbrennweite $f_{\text{norm}}$ des Systems ist, und einem Bildwinkel von $\alpha _{0}=\alpha _{{\text{norm}},\,\infty }=46{,}8^{\circ }$ ) an:

Abbildungsverhältnisse bei konstanter Objektweite g = 1000
Brennweite $f$	Bildweite $b$	Abbildungs- maßstab $\beta$	Bildwinkel $\alpha$ in °	Verhältnis der Brennweiten $f/f_{0}$	Verhältnis der Abbildungsmaßstäbe $\beta /\beta _{0}$	Verhältnis der Bildwinkel $\alpha _{0}/\alpha$
0,999	1,000	1/1000	154	0,100	0,099	0,303
1,996	2,000	1/500	131	0,200	0,198	0,358
4,975	5,000	1/200	82,3	0,498	0,495	0,568
9,901	10,00	1/100	47,2	0,990	0,990	0,991
10,00 $=f_{0}$	10,10	1/99 $=\beta _{0}$	46,8 $=\alpha _{0}$	1,00	1,00	1,00
19,61	20,00	1/50	24,7	1,96	1,98	1,90
38,46	40,00	1/25	12,5	3,85	3,96	3,75
100	111,1	1/9	4,51	10	11	10,4
200	250,0	1/4	2,00	20	24,75	23,4
250	333,3	1/3	1,50	25	33	31,1
333	500,0	1/2	1,00	33,3	49,5	46,7
400	666,7	2/3	0,751	40	66	62,3
500	1000 $=g$	1	0,501	50	99	93,4
667	2000	2	0,250	66,7	198	187
750	3000	3	0,167	75	297	280
833	5000	5	0,100	83,3	495	467
1000 $=g$	∞	∞	0,000	100	∞	∞

Hier ist klar zu sehen, dass bei zunehmenden Bildweiten die Verhältnisse der Brennweiten von denen der Abbildungsmaßstäbe und Bildwinkel deutlich auseinanderlaufen; die Unterschiede der Abbildungsmaßstäbe und der Bildwinkel werden im Vergleich zu den Unterschieden der Brennweiten immer größer und gehen gegen Unendlich.

Anders bei kurzen Bildweiten: hier stimmen die Verhältnisse der Brennweiten gut mit denen der Abbildungsmaßstäbe überein, jedoch ist die Zunahme der Bildwinkel hierbei begrenzt, weil der maximale Bildwinkel auf 180° begrenzt ist. Das minimale Verhältnis der Bildwinkel ergibt sich folglich zu:

{\frac {\alpha _{0}}{\alpha _{\text{max}}}}={\frac {46{,}8^{\circ }}{180^{\circ }}}=0{,}260

Ferner ist unbedingt zu beachten, dass sich insbesondere bei kompakten Objektiven mit innenliegender Fokussierung der Abbildungsmaßstab bei der Scharfstellung ändern kann, auch ohne dass die Brennweite gegebenenfalls variiert wird.

Öffnung

Lage von Eintrittsluke, Aperturblende und Austrittsluke bei einer optischen Abbildung einer Objektebene (G) über eine Hauptebene (H) auf eine Bildebene (B)

Die Öffnung (oder auch Apertur) eines rotationssymmetrisch konstruierten Objektivs wird durch den freien Durchmesser beschrieben, der nicht durch die mechanische Vorrichtungen wie beispielsweise Kanten, Linsenfassungen oder Blenden begrenzt ist und welcher auch als Öffnungsweite bezeichnet wird. Die virtuelle Öffnung von Objektiven kann durch das objektseitige und das bildseitige virtuelle Bild der Aperturblende beschrieben werden, die auch wirksame Eintrittspupille beziehungsweise wirksame Austrittspupille genannt wird.

Liegt die Aperturblende vor der ersten Hauptebene der Abbildung (objektseitig) ist die wirksame Eintrittspupille identisch mit der reallen Öffnung. Liegt die Aperturblende hinter der letzten Hauptebene der Abbildung (bildseitig) ist die wirksame Austrittspupille identisch mit der reallen Öffnung.

Idealerweise werden Aperturblenden in die Hauptebenen des Strahlengangs gelegt, damit sie den Bildausschnitt respektive den Bildwinkel der optischen Abbildung nicht beeinflussen. Mit einer solchen Aperturblende kann der Lichtstrom durch ein optisches System begrenzt werden. Mit variablen Aperturblenden (beispielsweise Irisblenden) kann der Lichtstrom in einem optischen System verändert werden.

Befindet sich eine Blende in der Nähe der Objektebene oder der Bildebene, handelt es sich nicht um eine Aperturblende, sondern um eine Feldblende, die den Bildausschnitt beziehungsweise den erfassten Bildwinkel unmittelbar auf die sogenannte Eintrittsluke (objektseitig) beziehungsweise Austrittsluke (bildseitig) begrenzt. Befinden sich solche Feldblenden nicht in der Nähe der Objekt- oder Bildebene, werden die entsprechenden Bilder dieser Feldblenden in der jeweiligen Ebene zur Bestimmung der effektiven Lukendurchmesser herangezogen.

Blendenzahl

Die dimensionslose Blendenzahl $k$ eines Objektivs mit der Brennweite $f$ und der Öffnungsweite $D$ ist wie folgt definiert:

k={\frac {f}{D}}

Der Kehrwert der Blendenzahl wird als das Öffnungsverhältnis $V$ bezeichnet:

V={\frac {D}{f}}={\frac {1}{k}}

Objektiv mit Irisblende zur Einstellung der Apertur (Brennweite 42,5 Millimeter)
Maximale Apertur (Blendenzahl 1,2)
Minimale Apertur (Blendenzahl 16)

Die Änderung der Blendenzahl um eine Blendenstufe kann sowohl durch Auf- als auch durch Abblenden erreicht werden, wobei sich die Blendenzahl um den Faktor Wurzel von zwei und der Lichtstrom im Objektiv um den Faktor zwei ändert. Je kleiner die Blendenzahl, desto mehr Licht trägt zur Abbildung bei und umgekehrt. Nach der Halbierung der Blendenzahl kommt vier Mal soviel Licht durch das Objektiv, bei der Verdopplung der Blendenzahl nur ein Viertel des Lichtes. Zwei Blendenzahlen $k_{2}$ und $k_{1}$ unterscheiden sich um die folgende Anzahl von Blendenstufen $\Delta n_{k}$ :

\Delta n_{k}=\log _{\sqrt {2}}{\frac {k_{2}}{k_{1}}}={\frac {\log {\frac {k_{2}}{k_{1}}}}{\log {\sqrt {2}}}}={\frac {\log {k_{2}}-\log {k_{1}}}{\log {\sqrt {2}}}}

Blendenzahlen werden häufig mit den folgenden elf Vorzugswerten angegeben, die sich jeweils um zirka eine Blendenstufe unterscheiden und demzufolge insgesamt zehn Blendenstufen umfassen:

1,0 - 1,4 - 2,0 - 2,8 - 4,0 - 5,6 - 8,0 - 11 - 16 - 22 - 32

Zum Zusammenhang zwischen Bildwinkel $\alpha$ , Bildgröße $B$ und Bildweite $b$ bei konstanter Öffnungsweite $D$

Hierbei ist zu beachten, dass die Blendenzahl $k$ ohne die Angabe der gewählten Bildgröße $B$ wenig Aussagekraft hat. Bei konstantem Bildwinkel $\alpha$ und konstanter Öffnungsweite $D$ ist nicht nur die zur optischen Abbildung beitragenden Lichtmenge, sondern ist auch das Verhältnis zwischen Bildgröße $B$ und Bildweite $b$ konstant, obwohl die Abbildungen mit unterschiedlichem Abbildungsmaßstab $\beta$ beziehungsweise unterschiedlicher Brennweite $f$ und somit auch mit unterschiedlicher Blendenzahl $k$ gemacht werden.

Für die Gegebenheiten in der Abbildung rechts gilt:

\alpha ={\text{const.}}

D={\text{const.}}

{\frac {b_{1}}{B_{1}}}={\frac {b_{2}}{B_{2}}}={\text{const.}}

Aber:

k_{1}>k_{2}

\beta _{1}<\beta _{2}

f_{1}<f_{2}

Öffnungswinkel

Der Öffnungswinkel ist der Winkel unter dem die wirksame Öffnung mit der Öffnungsweite $D$ eines Objektivs erscheint.

Von einem Objektpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den objektseitigen Öffnungswinkel $\omega _{g}$ :

\omega _{g}=2\cdot \arctan {\frac {D}{2g}}

Der halbe objektseitige Öffnungswinkel wird auch Aperturwinkel genannt.

Von einem Bildpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den bildseitigen Öffnungswinkel $\omega _{b}$ :

\omega _{b}=2\cdot \arctan {\frac {D}{2b}}

Der halbe bildseitige Öffnungswinkel wird auch Feldwinkel genannt.

Die Öffnungswinkel dürfen nicht mit dem Bildwinkel verwechselt werden (siehe dazu auch Bildwinkel) !

Bei unendlicher Objektweite ist die Bildweite identisch mit der Brennweite, so dass die Blendenzahl $k$ folgendermaßen ausgedrückt werden kann:

g\rightarrow \infty :k={\frac {b}{D}}={\frac {1}{2\tan {\frac {\omega _{b}}{2}}}}

Sinusbedingungen

Zur Interferenz der beiden Randstrahlen bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung eines Punktes P über eine Hauptebene H in die Bildebene B. Die Randstrahlen werden mit ebenen Wellen dargestellt, deren Maxima durch die Punkte und deren Minima durch die dünnen Linien senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gekennzeichnet sind. Auf der optischen Achse treffen im Bildpunkt zwei Maxima der beiden Randstrahlen aufeinander. Die Intensität in der Bildebene B nimmt seitlich zur optischen Achse bis zu den Stellen ab, wo zwei Minima der Randstrahlen aufeinandertreffen.

Zur Sinusbedingung bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung.

Die beiden Öffnungswinkel stehen für Abbildungen, bei denen Öffnungsfehler (siehe auch sphärische Aberration) keine Rolle spielen, über Sinusbedingungen in Beziehung. Im folgenden wird etwas vereinfachend davon ausgegangen, dass die optische Abbildung eines Gegenstands mit der Objektgröße $G$ in ein reelles Bild mit der Bildgröße $B$ außerhalb des optischen Systems, das durch die Hauptebene ${\text{H}}$ repräsentiert wird, vom gleichen optischen Medium (zum Beispiel Vakuum, Luft oder Flüssigkeit) mit konstanter Brechkraft umgeben ist.

Ein kleiner flächenhafter Gegenstand mit der Objektgröße $G$ , der senkrecht zur optischen Achse steht, kann nur dann hinreichend scharf mit der Bildgröße $B$ senkrecht zur optischen Achse abgebildet werden, wenn alle Punkte des Gegenstands beim halben objektseitigen Öffnungswinkel innerhalb einer Wellenlänge $\lambda$ einer ebenen Welle erfasst und alle Bildpunkte beim halben bildseitigen Öffnungswinkel ebenfalls innerhalb einer Wellenlänge einer ebenen Welle zu einem Bild zusammengesetzt werden können. Durch diese Voraussetzung kann vermieden werden, dass es im Bild Interferenzen gibt, die Kontraste erzeugen, die nicht dem Aussehen des abgebildeten Gegenstands entsprechen.

Die daraus resultierende Abbesche Sinusbedingung gilt für eine in Bezug auf den Öffnungsfehler korrigierte Abbildung mit dem Abbildungsmaßstab $\beta$ sowie für eine bestimmte Wellenlänge $\lambda$ (monochromatisches Licht). Sie lautet wie folgt:

\beta ={\frac {B}{G}}={\frac {b}{g}}={\frac {\sin {\frac {\omega _{g}}{2}}}{\sin {\frac {\omega _{b}}{2}}}}

Diese Sinusbedingung kann auch in der Form der Helmholtz-Lagrange-Invariante geschrieben werden:

B\cdot \sin {\frac {\omega _{b}}{2}}=G\cdot \sin {\frac {\omega _{g}}{2}}=\lambda

Paraxiale Strahlengänge

Für paraxiale Strahlengänge können sehr kleine Öffnungswinkel angenommen werden, so dass dann die Sinūs durch die Argumente (im Bogenmaß) ersetzt werden können:

{\frac {B}{G}}={\frac {\omega _{g}}{\omega _{b}}}

Daraus folgt:

B\cdot \omega _{b}=G\cdot \omega _{g}

Die paraxiale Optik, die auch gaußsche Optik genannt wird, verwendet in der geometrischen Optik diese Näherung, bei der für eine optische Abbildung nur paraxiale Strahlen berücksichtigt werden.

Schnittweite

Die auf der optischen Achse gemessenen Schnittweiten $s$ und $s'$ beim Übergang an einer sphärischen Fläche mit dem Radius $r$ zwischen zwei optischen Medien mit den Brechungsindices $n$ und $n'$ kann für paraxiale Strahlen leicht abgeschätzt werden. Hierbei gelten für den Grenzwert der Pfeilhöhe $p\rightarrow 0$ (siehe nebenstehende Abbildung) die folgenden Näherungsgleichungen:

\sin \alpha \approx \alpha

\sin \beta \approx \beta

\tan \gamma \approx \gamma \approx {\frac {h}{s}}

\tan(\alpha -\beta -\gamma )\approx \alpha -\beta -\gamma \approx {\frac {h}{s'}}

\tan(\alpha -\gamma )\approx \alpha -\gamma \approx {\frac {h}{r}}

Aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt für achsnahe Strahlen die Näherung:

n\alpha \approx n'\beta

Sowie:

n'(\alpha -\beta -\gamma )=n'\,\alpha -n'\,\beta -n'\,\gamma \approx n'\,\alpha -n\,\alpha -n'\,\gamma

n\,\gamma +n'(\alpha -\beta -\gamma )\approx n\,\gamma +n'\,\alpha -n\,\alpha -n'\,\gamma =(n-n')\,(\gamma -\alpha )=(n'-n)\,(\alpha -\gamma )

n\,{\frac {h}{s}}+n'\,{\frac {h}{s'}}\approx (n'-n)\,{\frac {h}{r}}

Durch Kürzen der Höhe $h$ ergibt sich schließlich die Näherungsgleichung:

{\frac {n}{s}}+{\frac {n'}{s'}}\approx {\frac {n'-n}{r}}

Dies ist die Schnittweitengleichung einer sphärischen Fläche für paraxiale Strahlen.

Sie kann auch in Form der Abbeschen Invariante geschrieben werden:

n\,\left({\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}\right)=n'\,\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s'}}\right)

Für Objekte auf der optischen Achse mit unendlicher objektseitiger Schnittweite $s$ gilt:

s=\infty

In diesem Fall ergibt sich für die bildseitige Schnittweite $s'$ :

s'\approx {\frac {n'}{n'-n}}\,r

Für Objekte auf der optischen Achse mit unendlicher bildseitiger Schnittweite $s'$ gilt:

s'=\infty

In diesem Fall ergibt sich für die objektseitige Schnittweite $s$ :

s\approx {\frac {n}{n'-n}}\,r

Dünne Linsen

Zu den Schnittweiten bei einer dünnen bikonvexen sphärischen Sammellinse mit den Radien $r_{1}$ und $r_{2}$ sowie dem Brechungsindex $n'$ in einem optisch dünneren Medium mit dem Brechungsindex $n<n'$ .

Bei einer dünnen Linse ist die Dicke zwischen den Scheitelpunkten ihrer brechenden sphärischen Oberflächen auf der optischen Achse im Vergleich zu den beiden Radien dieser Oberflächen klein. Für eine dünne bikonvexe sphärische Sammellinse mit den beiden Radien $r_{1}$ und $r_{2}$ und dem Brechungsindex $n'$ in einem die Linse umgebenden Medium mit dem Brechungsindex $n$ ergibt sich die folgende entsprechende Beziehung für die Schnittweiten:

n\,\left({\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s'}}\right)\approx (n'-n)\,\left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}\right)

Für Objekte auf der optischen Achse mit unendlicher objektseitiger Schnittweite $s$ gilt damit für die bildseitige Schnittweite $s'$ :

s'\approx {\frac {n}{n'-n}}\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}}}

Für Objekte auf der optischen Achse mit unendlicher bildseitiger Schnittweite $s'$ gilt entsprechend für die objektseitige Schnittweite $s$ :

s\approx {\frac {n}{n'-n}}\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}}}

Bei dünnen plankonvexen sphärischen Sammellinsen mit dem Brechungsindex $n'$ kann einer der beiden Radien auf Unendlich gesetzt werden. Damit ergibt sich für den verbleibenden Radius $r$ :

n\,\left({\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s'}}\right)\approx {\frac {n'-n}{r}}

Die Schnittweiten entsprechen bei paraxialen Strahlen dann den Brennweiten $f'$ (bildseitig bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit $s\rightarrow \infty$ ) beziehungsweise $f$ (objektseitig bei der Abbildung ins Unendliche mit $s'\rightarrow \infty$ ):

s\rightarrow \infty :f'\approx s'\approx {\frac {n}{n'-n}}\,r

s'\rightarrow \infty :f\approx s\approx {\frac {n}{n'-n}}\,r

Befindet sich eine solche Linse in einem optisch sehr dünnen Medium wie Luft ( $n\gtrsim 1$ ) oder im Vakuum ( $n=1$ ), vereinfacht sich diese Näherungsformel weiter zu:

f'\approx {\frac {r}{n'-1}}

f\approx {\frac {r}{n'-1}}

Große Objektweiten

Bei großer Objektweite $g$ ist die Bildweite $b$ annhähernd gleich der Brennweite $f$ , und der Sinus des halben objektseitigen Öffnungswinkels ${\frac {\omega _{g}}{2}}$ kann in guter Näherung durch das Verhältnis der Hälfte der Öffnungsweite ${\frac {D}{2}}$ und Objektweite $g$ ausgedrückt werden:

\sin {\frac {\omega _{g}}{2}}={\frac {b}{g}}\sin {\frac {\omega _{b}}{2}}\approx {\frac {\frac {D}{2}}{g}}\approx {\frac {f}{g}}\sin {\frac {\omega _{b}}{2}}

Daraus folgt:

f\approx {\frac {\frac {D}{2}}{\sin {\frac {\omega _{b}}{2}}}}

\sin {\frac {\omega _{b}}{2}}\approx {\frac {1}{2k}}

Aus der Beziehung

\sin {\frac {\omega _{b}}{2}}\leq 1

folgt:

f\geq {\frac {D}{2}}

Diese Ungleichung kann auch wieder unter Verwendung der Blendenzahl $k$ ausgedrückt werden:

k\geq {\frac {1}{2}}

In Worten ausgedrückt:

Die Blendenzahl kann bei der öffnungsfehlerfreien Abbildung von Flächen aus dem Unendlichen minimal den Wert 0,5 annehmen.

Die Strecke $x$ vom Schnittpunkt der Randstrahlen mit der Hauptebene zum Bildpunkt auf der optischen Achse beträgt bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit der Brennweite $f$ :

g=\infty

b=f

x={\sqrt {f^{2}+{\frac {D^{2}}{4}}}}={\sqrt {f^{2}+{\frac {f^{2}}{(2k)^{2}}}}}=f\cdot {\sqrt {1+{\frac {1}{(2k)^{2}}}}}

Mit den geometrischen Ähnlichkeiten der Dreiecke bei der Sinusbedingung ergibt sich das folgenden Verhältnis:

{\frac {B}{\lambda }}={\frac {x}{\frac {D}{2}}}

B={\frac {2\cdot \lambda \cdot x}{D}}={\frac {\lambda \cdot x\cdot 2k}{f}}=\lambda \cdot {\sqrt {1+{\frac {1}{(2k)^{2}}}}}\cdot 2k=\lambda \cdot {\sqrt {4k^{2}+1}}

Da die Blendenzahl k nicht kleiner als 0,5 werden kann, gilt als Abschätzung demzufolge:

B\geq {\sqrt {2}}\lambda

Numerische Apertur

Die numerische Apertur $A_{N}$ dient zur Einschätzung des Auflösungsvermögens von optischen Geräten, bei denen die Objektweite dicht bei der objektseitigen Brennweite beziehungsweise bei denen die Bildweite dicht bei der bildseitigen Brennweite liegt. Ein Anwendungsbeispiel sind Immersionsobjektive (insbesondere bei Mikroskopen), die bei der optischen Abbildung in eine hochbrechende Flüssigkeit (zum Beispiel Immersionsöl) eingetaucht werden.

Die numerische Apertur bezieht sich auf den halben Öffnungswinkel ${\frac {\omega }{2}}$ und die Brechzahl $n$ des optischen Mediums außerhalb des Objektivs. Je höher die dimensionslose Zahl der numerischen Apertur sich dem Brechungsindex des umgebenden Mediums von unten nähert, desto lichtstärker ist das verwendete Objektiv und desto höher wird bei optisch korrigierten Objektiven das optische Auflösungsvermögen.

Für die objektseitige numerische Apertur ergibt sich:

A_{N,g}=n\cdot \sin {\frac {\omega _{g}}{2}}\leq n

Für die bildseitige numerische Apertur ergibt sich entsprechend:

A_{N,b}=n\cdot \sin {\frac {\omega _{b}}{2}}\leq n

Die numerische Apertur kann also nicht größer werden als der Brechungsindex des umgebenden Mediums.

Die Sinūs der halben Öffnungswinkel $\omega$ können hierbei mit Hilfe der rechtwinkligen Dreiecke (siehe Skizze rechts) und des Satzes des Pythagoras sowohl objektseitig als auch bildseitig wie folgt aus dem Verhältnis von Gegenkatheten zur Hypotenusen bestimmt werden:

A_{N,g}=n\cdot \sin {\frac {\omega _{g}}{2}}=n\cdot {\frac {\frac {D}{2}}{\sqrt {g^{2}+{\frac {D^{2}}{4}}}}}={\frac {n}{\sqrt {{\frac {4g^{2}}{D^{2}}}+1}}}

A_{N,b}=n\cdot \sin {\frac {\omega _{b}}{2}}=n\cdot {\frac {\frac {D}{2}}{\sqrt {b^{2}+{\frac {D^{2}}{4}}}}}={\frac {n}{\sqrt {{\frac {4b^{2}}{D^{2}}}+1}}}

Bei einer Abbildung ins Unendliche ( $b=\infty \Rightarrow g=f$ ) oder wird die Abbildung aus dem Unendlichen gemacht ( $g=\infty \Rightarrow b=f$ ), kann jeweils die Blendenzahl $k={\frac {f}{D}}$ eingesetzt werden, und dann vereinfachen sich beide Gleichungen wie folgt:

A_{N,g=f}=A_{N,b=f}={\frac {n}{\sqrt {4{k^{2}}+1}}}

Für große Blendenzahlen ( $k\gg 1$ ) gilt dann näherungsweise:

A_{N}\approx {\frac {n}{2k}}

Für hinreichend große Objektweiten ( $g\gg D$ ) beziehungsweise hinreichend große Bildweiten ( $b\gg D$ ) gelten die folgende Näherungen:

A_{N,g}\approx {\frac {n\cdot D}{2\cdot g}}

A_{N,b}\approx {\frac {n\cdot D}{2\cdot b}}

Ist zudem auch noch die Brennweite $f$ hinreichend nah an der Objektweite ( $f\approx g$ ) oder an der Bildweite ( $f\approx b$ ), dann gilt $f\gg D\Rightarrow k\gg 1$ und wiederum die Näherung (siehe auch oben):

A_{N}\approx {\frac {n}{2k}}

Bei einem Abbildungsmaßstab von eins (siehe unten) sind Objektweite $g$ und Bildweite $b$ identisch und genau doppelt so groß wie die verwendete Brennweite $f$ . In diesem Fall sind auch die objektseitige und die bildseitige numerische Apertur sowie der objektseitige und der bildseitige Öffnungswinkel identisch:

f=2\cdot g=2\cdot b

A_{N,g}=A_{N,b}=A_{N}

\omega _{g}=\omega _{g}=\omega

A_{N}=n\cdot \sin {\frac {\omega }{2}}

Modulationsübertragung

Modulation

Die Modulation (auch Michelson-Kontrast genannt) $M$ ist ein Maß (lateinisch: modulatio) für relative Helligkeitsschwankungen zwischen zwei Bildpunkten mit den vom Menschen als Helligkeiten empfundenen Leuchtdichten $L_{1}$ und $L_{2}$ (siehe auch Kapitel Leuchtdichte), das unter den Voraussetzungen $L_{2}\geq L_{1}$ und $L_{2}>0$ wie folgt berechnet werden kann:

M={\frac {{L_{2}}-{L_{1}}}{{L_{2}}+{L_{1}}}}={\frac {\Delta _{L}}{\Sigma _{L}}}

Die Modulation gibt also keineswegs den Helligkeitsunterschied

\Delta _{L}=L_{2}-L_{1}

zwischen zwei Bildpunkten an, sondern setzt diesen in Bezug auf die Summe $\Sigma _{L}$ dieser beiden Helligkeiten, die auch als der doppelte Mittelwert, also

2\cdot {\overline {L}}=L_{2}+L_{1}

,

der beiden Helligkeiten interpretiert werden kann:

\Sigma _{L}={2}\cdot {\overline {L}}={2}\cdot {\frac {L_{2}+L_{1}}{2}}

Dies bedeutet, dass die maximale Modulation den Wert eins hat, die genau dann erreicht wird, wenn $L_{1}=0$ ist und der dunklere Punkt also keine Helligkeit (die Leuchtdichte null) hat. Die absolute Helligkeit des helleren Bildpunktes hat in diesem Fall keinen Einfluss auf die Modulation. Die Helligkeitsdifferenz $\Delta _{L}$ zwischen diesen beiden Bildpunkten ist in Bezug auf die Helligkeit $L_{2}$ des helleren Punktes dann maximal und exakt genauso groß wie diese.

Wenn beide Bildpunkte die gleiche Helligkeit größer als null haben $L_{1}=L_{2}>0$ , so ergibt sich immer eine Modulation von null (wenn beide Punkte keine Helligkeit haben, ist die Modulation nicht definiert).

Werden beide Helligkeiten um denselben Faktor $c$ verändert, bleibt die Modulation erhalten:

M={\frac {{c}\cdot {L_{2}}-{c}\cdot {L_{1}}}{{c}\cdot {L_{2}}+{c}\cdot {L_{1}}}}={\frac {c\cdot (L_{2}-L_{1})}{c\cdot (L_{2}+L_{1})}}={\frac {L_{2}-L_{1}}{L_{2}+L_{1}}}

Da innerhalb eines Bildes üblicherweise mehr als zwei Bildpunkte vorhanden sind, ist es meist von Interesse, in welchem Verhältnis der hellste Bildpunkt $L_{\text{max}}$ (Weißwert) und der dunkelste Bildpunkt $L_{\text{min}}$ (Schwarzwert) zueinander stehen, was durch die maximale Modulation bestimmt werden kann:

M_{\text{max}}={\frac {L_{\text{max}}-L_{\text{min}}}{L_{\text{max}}+L_{\text{min}}}}

Es gilt zu beachten, dass bei einem Schwarzwert von einem Drittel des Weißwertes die Modulation nur noch 50 Prozent und bei einem Schwarzwert von der Hälfte des Weißwertes nur noch 33 Prozent beträgt.

Die Modulation kann in farbigen Bildern für jede einzelne Farbe unabhängig bestimmt werden. Bei den drei Primärfarben rot, grün und blau (R, G, B) eines Bildpunktes ergeben sich dann also entsprechend:

M_{R}={\frac {R_{2}-R_{1}}{R_{2}+R_{1}}}

M_{G}={\frac {G_{2}-G_{1}}{G_{2}+G_{1}}}

M_{B}={\frac {B_{2}-B_{1}}{B_{2}+B_{1}}}

Ortsfrequenz

Die Ortsauflösung entspricht der maximalen Anzahl von räumlichen Informationseinheiten, die entlang einer Strecke, meist der Bildhöhe beziehungsweise der Bildbreite, erfasst werden können. Zur Darstellung einer räumlichen Information, also eines Helligkeitswechsels, ist mindestens ein Bildpunktpaar erforderlich, damit eine Modulation vorhanden sein kann.

Die Bezugslänge kann eine absolute Länge sein, bei der die Bildpunktpaare zum Beispiel pro Millimeter ermittelt werden. Bei Filmmaterial wurde diese Informationsdichte meist richtungsunabhängig in Linienpaaren pro Millimeter ermittelt und angegeben.

Auf der anderen Seite kann statt einer metrischen Bezugslänge auch eine relative Bezugslänge gewählt werden, wie zum Beispiel die Bilddiagonale, die Bildbreite oder die Bildhöhe. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass unabhängig von der Gesamtzahl der Bildpunkte, der Größe der Reproduktion des Bildes und dem Bildseitenverhältnis ein einheitliches und somit leicht vergleichbares Maß für die Ortsauflösung zur Verfügung steht. Dieses Maß ist insbesondere unabhängig von der Größe und vom Bildseitenverhältnis des verwendeten Bildsensors. Bei digitalen Bildern hat es sich daher durchgesetzt, Linienpaare pro Bildhöhe (horizontale Linien) als Bezugsgröße zu verwenden. Diese Bezugsgröße wird dann ebenfalls für die Informationseinheiten in horizontaler Richtung (vertikale Linienpaare) oder für jeden beliebigen anderen Azimut (also schräg liegende Linienpaare) verwendet, obwohl bei rechteckigen Bildformaten in horizontaler Richtung mehr oder weniger Informationseinheiten zur Verfügung stehen können. Rechnerisch ergibt sich die maximal darstellbare Linienauflösung $L_{{\text{max}},y}$ durch die Halbierung der Anzahl der Punkte in der Bildhöhe $N_{y}$ :

L_{{\text{max}},y}={\frac {N_{y}}{2}}

Für die maximale Anzahl vertikaler Linienpaare in horizontaler Richtung ergibt sich mit dem Bildseitenverhältnis $q$ dann entsprechend:

L_{{\text{max}},x}=q\cdot L_{{\text{max}},y}={\frac {N_{x}}{2}}

Siehe hierzu auch: Bildseitenverhältnis

Dieser Wert entspricht genau der Grenze nach dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem (auch Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem) für die maximal darstellbaren Ortsfrequenzen $f_{\text{r,max}}$ , wonach diese innerhalb einer Periode mindestens zwei abgetastete Stützstellen haben müssen:

f_{r,{\text{max}}}=L_{{\text{max}},y}={\frac {N_{y}}{2}}

Aus einer beliebigen kleineren Ortsfrequenz $f_{r}\leq f_{r,{\text{max}}}$ ergibt sich die maximal mögliche Häufigkeit von Helligkeitsunterschieden auf einer bestimmten Bezugslänge im Bild (also in der Regel auf der Bildhöhe).

Eine Ortsfrequenz von null entspricht einer konstanten Helligkeit über das gesamte Bild, die selbst nicht notwendigerweise den Wert null haben muss.

Modulation in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz

Vergleich der Modulationsübertragungsfunktionen von zwei verschiedenen Objektiven. Bei der Ortsfrequenz null haben alle Objektive die maximale Kontrastübertragung von eins, und bei der maximal dargestellten Ortsfrequenz haben beide hier dargestellten Objektive eine Kontrastübertragung von zirka zehn Prozent. Dennoch ist das blau dargestellte Objektiv deutlich besser als das dunkelgelb dargestellte, da es mittlere Ortsfrequenzen besser überträgt.

Eine Modulation mit geringer Ortsfrequenz entspricht also groben Strukturen im Bild, und eine Modulation mit großer Ortsfrequenz entspricht feinen Strukturen im Bild. Jeder Struktur mit einer bestimmten Größe kann in jeder azimutalen Richtung (nicht nur horizontal oder vertikal, sondern auch in beliebiger schräg liegender Richtung) eine Ortsfrequenz mit einer bestimmten Modulation zugeordnet werden.

Beim Siemensstern wird beispielsweise die Ortsfrequenz entlang der um den Mittelpunkt liegenden konzentrischen Kreise linear mit deren Radius größer. Die Modulation beträgt für jede Ortsfrequenz eins, wenn idealisiert davon ausgegangen wird, dass die dunklen Streifen keine Helligkeit aufweisen.

Wird eine photographische Aufnahme von einem solchen Siemensstern als Objekt auf einer Testtafel gemacht, reduzieren sich im Bild die Modulationen für alle Ortsfrequenzen größer als null auf Werte kleiner als eins. Dies beruht auf einer Verminderung der Modulationen im Bild gegenüber der optimalen Modulation im Objektraum, die durch Abbildungsfehler bedingt ist. Neben der immer wirkenden Beugungsbegrenzung ergeben sich in optischen Abbildungen vor allem durch die sphärische Aberration, aber zum Beispiel auch durch Falschlicht Einbußen bei der Modulation im Bildraum.

In der Regel führt dies dazu, dass die Modulation von rein optischen Abbildungen mit zunehmender Ortsfrequenz streng monoton und stetig abnimmt. Das Verhältnis der Modulation im Bildraum $M_{\text{Bild}}$ zur Modulation im Objektraum $M_{\text{Objekt}}$ in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz $f_{r}$ wird Modulationsübertragungsfunktion (englisch: modulation transfer function = MTF) oder auch Kontrastübertragungsfunktion $T$ genannt:

T(f_{r})={\frac {M_{\text{Bild}}(f_{r})}{M_{\text{Objekt}}(f_{r})}}

Das Maximum der Modulationsübertragungsfunktion liegt bei optischen Systemen bei der kleinsten Ortsfrequenz, also null, und hat dort den Wert eins. Die Modulationsübertragung ist dabei immer der Betrag der komplexwertigen optischen Übertragungsfunktion, die nicht nur die Amplitude, sondern auch die Phase der übertragenen Lichtwellen berücksichtigt.

Ist die Modulation im Objektraum für alle untersuchten Ortsfrequenzen gleich eins, wie zum Beispiel bei hochwertig hergestellten Testtafeln, sind die Modulationsübertragungsfunktion und die Modulation im Bildraum identisch:

T(f_{r})={M_{\text{Bild}}(f_{r})}\

, wenn

{M_{\text{Objekt}}(f_{r})=1}\

Der Betrag der komplexwertigen, zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der spektralen Dichte der Modulationsübertragungsfunktion im Ortsfrequenzraum herangezogen werden. In der digitalen Signalverarbeitung wird hierfür häufig die sehr effiziente Fast-Fourier-Transformation (FFT) eingesetzt. Das Leistungsdichtespektrum der Fourier-Transformierten entspricht hierbei dem Beugungsbild der Bilddaten, das mit einer Bildwand aufgefangen werden kann.

Auflösungskeile mit 3 bis 72 Linienpaaren pro Bildhöhe mit verschiedenen Kontrastübertragungen, die Bildhöhe wird zwischen den beiden dünnen horizontalen Linien ober- und unterhalb des Auflösungskeils gemessen.
Maximaler Kontrast (852 Linienpaare pro Bildhöhe).
Kontrast bis 72 Linienpaare pro Bildhöhe.
Kontrast bis 36 Linienpaare pro Bildhöhe.
Kontrast bis 18 Linienpaare pro Bildhöhe.
Kontrast bis 9 Linienpaare pro Bildhöhe.

Weitere Beispiele siehe auch Fourier-Transformation.

Kontrastempfindlichkeitsfunktion

Vollmond mit einer Kamera mit Teleobjektiv von der Erdoberfläche aus aufgenommen.
Zu den Kontrastverhältnissen beim durch den Erdschein beleuchteten aschgrauen Mondlicht siehe auch hier: **Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht**

Der Vollmond hat von der Erde aus gesehen einen Winkeldurchmesser von zirka einem halben Grad. Der Mensch kann auf diesem Winkeldurchmesser bei einem Kontrast von mindestens zehn Prozent 36 nebeneinanderliegende Punkte unterscheiden. Die Mondscheibe hat somit für das unbewaffnete Auge insgesamt rund 1000 unterscheidbare Bildpunkte.
Oben:fünffache Vergrößerung (500 Prozent)
Unten: einfache Vergrößerung (100 Prozent)

Für die Betrachtung der optischen Abbildungen durch Menschen ist nur der Bereich der Ortsfrequenzen interessant, der entsprechend der Contrast Sensitivity Function (CSF, zu Deutsch: Kontrastempfindlichkeitsfunktion) überhaupt wahrgenommen werden kann. Oft wird jedoch die Modulation an der Nyquist-Frequenz als Maß für die wahrnehmbare Qualität einer optischen Abbildung herangezogen. Dieses Vorgehen trägt jedoch nicht dem Umstand Rechnung, dass die vom Betrachter empfundene Qualität einer optischen Abbildung im Sinne der Modulationen bei verschieden feinen Strukturen im allgemeinen gar nicht von der Modulation bei der Nyquist-Frequenz bestimmt ist, insbesondere wenn die feinsten Strukturen mit bloßem Auge gar nicht aufgelöst werden können. Vielmehr kommt es meist auf eine möglichst große Modulation bei Ortsfrequenzen im mittleren Bereich an. Dies kann zu der zunächst paradox scheinenden Situation führen, dass die optische Abbildung mit einem Objektiv, dass bei der Nyquist-Frequenz die gleiche oder gar eine höhere Modulation aufweist als ein anderes Objektiv, subjektiv dennoch als schlechter beurteilt wird (vergleiche Abbildung rechts).

Daher ist es empfehlenswert, die integrale Summe der Modulationen aller Ortsfrequenzen bis zu einer sinnvollen maximalen Ortsfrequenz zu bilden. Dieser Wert wird auch Heynacher-Zahl genannt, die seit den 1970er Jahren nach dem Optiker Erich Heynacher benannt ist. Gegebenenfalls kann diese integrale Summe auch noch bei verschiedenen Ortsfrequenzen mit einer geeigneten Empfindlichkeitsfunktion gewichtet werden (mathematisch also eine Faltung). Je größer das Integral der Modulationsübertragungsfunktion, desto besser die Bildqualität.

Der Betrag der komplexwertigen Spektralfunktion der zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der Modulationsübertragungsfunktion im Ortfrequenzraum herangezogen werden.

Die einheitenlose Kontrastempfindlichkeitsfunktion $A$ kann nach Kresimir Matkovic (1997) in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz $f_{a}$ in Linienpaaren pro Grad mit einer analytischen Funktion angegeben werden:

CSF(f_{a})={2,6}\cdot {(0{,}0192+0{,}114\cdot {f_{a}})}\cdot e^{-{(0{,}114\cdot f_{a})}^{1{,}1}}

Der vertikale Bildwinkel beträgt bei Normalbrennweite und einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2 (wie zum Beispiel beim Kleinbildfilm) 27 Grad. Die Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Bildhöhe $f_{y}$ ergibt sich dann aus dem vertikalen Bildwinkel und der Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Grad wie folgt:

f_{y}=27^{\circ }\cdot f_{a}

Kontrastempfindlichkeitsfunktion (englisch: Contrast Sensitivity Function) CSF des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz
Über der Ortsfrequenz $f_{a}$ in Linienpaaren pro Grad
Über der Ortsfrequenz $f_{y}$ in Linienpaaren pro Bildhöhe bei Normalbrennweite (vertikaler Bildwinkel = 27° bei einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2)

Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges über Ortsfrequenzen zur Basis 2

Zur Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges mit den Ortsfrequenzen von 2 sinusmodulierten Linienpaaren pro Bildbreite (linke Bildhälfte) bis hin zu 1024 Linienpaaren pro Bildbreite (rechts am Bildrand), Bildgröße 3860 mal 2160 Bildpunkte (16:9)
Mit maximalem Kontrast unten, ohne Kontrast oben
Mit reduziertem Kontrast unten, ohne Kontrast oben

Bewertung der Kontrastübertragungsfunktion $T(f_{y})$ eines guten Objektives mit der Kontrastempfindlichkeitsfunktion $CSF(f_{y})$ des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz $f_{y}$ in Linienpaaren pro Bildhöhe durch die effektive Kontrastübertragungsfunktion $T_{\text{eff}}(f_{y})$ . Etwa die Hälfte des Auflösungsvermögens dieses Objektives kann demnach vom Menschen bei der Betrachtung der optischen Abbildung unter dem Normalwinkel gar nicht wahrgenommen werden.

Hierbei ist festzuhalten, dass bei einer Ortsfrequenz von 1000 Linienpaaren pro Bildhöhe der wahrgenommene Kontrast deutlich unter zehn Prozent liegt und somit praktisch kaum noch relevant ist. Die maximale Kontrastempfindlichkeit liegt beim menschlichen Auge bei zirka 200 Linienpaaren pro Bildhöhe und zwischen 50 und 550 Linienpaaren pro Bildhöhe beträgt die Kontrastempfindlichkeit mindestens 50 Prozent. Für Aufnahmen mit guter Kontrastübertragung ist daher genau dieser Bereich von besonderer Wichtigkeit. Zur Auswertung der effektiven Kontrastübertragungsfunktion bei Betrachtung mit dem menschlichen Auge $T_{\text{eff}}(f_{y})$ können die Kontrastübertragungsfunktion $T(f_{y})$ und die Kontrastempfindlichkeitsfunktion $CSF(f_{y})$ miteinander multipliziert werden:

T_{\text{eff}}(f_{y})=T(f_{y})\cdot CSF(f_{y})

Wird dieses Produkt über alle Ortsfrequenzen integriert, ergibt sich - ähnlich wie bei und als Verallgemeinerung der Heynacher-Zahl - eine Größe für die totale effektive Kontrastübertragung $T_{\text{eff,tot}}$ :

T_{\text{eff,tot}}=\int _{0}^{\infty }T_{\text{eff}}(f_{y})\,\mathrm {d} f_{y}

Siehe auch Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht.

Digitalzoom

Beim Digitalzoom, das heißt also bei der softwaretechnischen Vergrößerung von digitalen Bildern zum Beispiel durch Zeilen- und Spaltenverdopplung, wird die Bildinformation im Sinne der Kontrastübertragung nicht vermehrt, da es sich lediglich um das Kopieren bereits vorhandener Bildinformation handelt. Es gibt also keinen Informationsgewinn. Wenn das digitale Bild zu klein dargestellt wird, so dass ein menschlicher Betrachter das Bild nicht voll auflösen kann, kann durch den Digitalzoom das Bild insgesamt vergrößert werden, oder ein beliebiger Ausschnitt des originalen Bildes kann auf die maximal darstellbare Größe gebracht werden, die beispielsweise durch ein Anzeigegerät oder ein Druckformat vorgegeben ist. Dadurch wird zwar nicht die Bildinformation vergrößert, aber der Betrachter kann mehr von der existierenden Bildinformation erkennen.

Die Frage, welcher Digitalzoomfaktor noch sinnvoll und angebracht ist, hängt bei menschlichen Betrachtern allein von der möglichst guten Ausschöpfung der erkennbaren Modulationen ab, die durch die Kontrastempfindlichkeitsfunktion repräsentiert wird. Bei digitaler maschineller Auswertung besteht diese Problematik nicht, da ein digitaler Algorithmus in der Regel immer die gesamte Bildinformation auswerten kann.

In Unterkapitel MTF-Simulation wird der Effekt des Digitalzooms simuliert und bildlich verdeutlicht.

Siehe auch Kapitel Digitale Bilder: Digitalzoom - Softwarelupe.

Kantenüberhöhung

Vergleich von Modulationsübertragungsfunktionen einer optischen Abbildung mit nachträglicher, rechnerischer Kontrastanhebung bei mittleren Ortsfrequenzen: Originalaufnahme (blau, durchgezogen), modifizierte Modulation mit Kantenüberhöhung (grün, gestrichelt). Der als grüne Fläche dargestellte Bereich stellt einen Kontrastgewinn dar, der in der Regel viel mehr wahrgenommen wird als der orangefarben dargestellte Bereich mit Kontrastverlust.

Bei digitalen Bildern, die nicht im Rohdatenformat, also ohne rechnerische Eingriffe in die Bilddaten, aufgezeichnet werden, wird die Modulation unmittelbar nach der Aufnahme und vor dem Speichern der Bilddaten oft durch die Firmware der Kamera insgesamt oder insbesondere bei bestimmten Ortsfrequenzen erhöht. In Maßen angewendet führt dies bei digitalen Bildern in der Regel zu einem verbesserten visuellen Bildeindruck. Dies trifft dann zu, wenn die maximale Modulation auf eins erhöht wird und die Modulation entsprechend der Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges bei den wichtigsten Ortsfrequenzen angehoben wird.

In der Modulationsübertragungsfunktion spiegelt sich dies durch die Tatsache wider, dass die maximale Modulation nicht mehr bei der Ortsfrequenz null, sondern bei positiven Ortsfrequenzen auftritt (siehe Abbildung rechts). Dies kann auch so interpretiert werden, dass die Modulation an Kanten in einem günstigen Ortsfrequenzbereich künstlich überhöht wird. Aus einem in der unbearbeiteten optischen Abbildung kontinuierlichen Anstieg der Helligkeit an einer im Original beliebig scharfen Objektkante ergibt sich nach der Optimierung bei einer bestimmten Ortsfrequenz eine deutlich stärkere Modulation.

Wird dieses Prinzip so stark angewendet, dass die Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen dominiert, führt dies unter Umständen zu künstlich wirkenden Bildern, bei denen ein Überschwingen des Helligkeitsverlaufs an Kanten mit der entsprechenden Ortsfrequenz erkannt werden kann:

Vergleich mit unterschiedlichen gerechneten Kontrastübertragungsfunktionen
Unbearbeitetes Originalbild
Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen
Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen
Zentraler Ausschnitt vom unbearbeiteten Originalbild
Zentraler Ausschnitt vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat außen einen kleinen hellen und innen einen kleinen dunklen Saum
Zentraler Ausschnitt vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat einen großen hellen Saum, und der innere Rand des Buchstabens ist stark abgedunkelt
Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom unbearbeiteten Originalbild (die Ortsfrequenz null befindet sich in der Bildmitte, und sie nimmt radial in alle Richtungen zu)
Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen
Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen

Farbauflösung

Durch die im Vergleich zur Dichte der für die Helligkeitsrezeption zuständigen Stäbchen geringere Dichte von Farbzäpfchen auf der menschlichen Netzhaut ist die Farbauflösung, die für das Betrachten von farbigen Bildern erforderlich ist, geringer als die Auflösung, die durch die Kontrastübertragungsfunktion beschrieben wird. In einem digitalen Bild kann ein Mensch bei Betrachtung des gesamten Bildes zwar maximal vier Millionen Bildpunkte in der Helligkeit unterscheiden, jedoch nur etwa eine Million verschiedener Farbpunkte. Bei technischen Anwendungen mit digitaler Auswertung der Bilder, kann die Anforderung an die Farbauflösung je nach Aufgabenstellung jedoch erheblich höher sein.

**Oben**: Weißlichtinterferogramm, darunter **Rot**-, **Grün**- und **Blau**kanal des oben dargestellten Weißlichtinterferogramms mit abnehmender Weite der Maxima.

Eine Möglichkeit, die Farbauflösung eines Kamerasensors zu messen, ohne dass es durch das für die optische Abbildung verwendete Objektiv zu einer Verringerung derselben kommt, ist die Verwendung eines direkt auf den Bildsensor projizierten Weißlichtinterferogramms. Dieses Verfahren wurde 2006 von Karsten Zoellner vom Institut für angewandte Optik an der Universität Jena entwickelt. Der Linienabstand $d$ des Beugungsbilds eines Spaltes hängt von der Wellenlänge $\lambda$ des verwendeten Lichtes sowie vom bildseitigen Öffnungswinkel $\omega _{B}$ des verwendeten Interferometers ab:

d\propto {\frac {\lambda }{\sin \omega _{B}}}

Wenn für die Primärfarben Rot, Grün und Blau (RGB) die mit abnehmender Wellenlänge kleiner werdenden Linienabstände $d_{R}$ , $d_{G}$ und $d_{B}$ bestimmt werden, kann daraus eine für die Farbauflösung repräsentative Größe $\delta _{RGB}$ , die Farbstrukturtreue (englisch: coloured structure fidelity), bestimmt werden:

\delta _{RGB}={\frac {d_{R}-d_{B}}{d_{G}}}

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