Formelsammlung Mathematik: Identitäten: Abelsche Identität

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$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x\,(x+ak)^{k-1}\,(y-ak)^{n-k}$

Computerbeweis

Setze $F_{n,k}(x,y)={\tbinom {n}{k}}(x+k)^{k-1}\,(y-k)^{n-k}$,

$G_{n,k}(x,y)=(y-n){\tbinom {n-1}{k-1}}(x+k)^{k-1}\,(y-k)^{n-k-1}$ und $S_{n}(x,y)=\sum _{k=0}^{n}F_{n,k}(x,y)$.

Es ist $F_{n,k}(x,y)-yF_{n-1,k}(x,y)=(y-k){\tbinom {n}{k}}(x+k)^{k-1}\,(y-k)^{n-k-1}-y{\tbinom {n-1}{k}}\,(x+k)^{k-1}\,(y-k)^{n-1-k}$

${\Big (}y\left({\tbinom {n}{k}}-{\tbinom {n-1}{k}}\right)-k{\tbinom {n}{k}}{\Big )}\,(x+k)^{k-1}\,(y-k)^{n-1-k}=\left(y{\tbinom {n-1}{k-1}}-n{\tbinom {n-1}{k-1}}\right)\,(x+k)^{k-1}\,(y-k)^{n-1-k}=G_{n,k}(x,y)$.

und $(x+n)F_{n-1,k}(x+1,y-1)-G_{n,k+1}(x,y)\,$

$=(x+n)(y-1-k){\tbinom {n-1}{k}}(x+1+k)^{k-1}\,(y-1-k)^{n-k-2}-(y-n)(x+k-1){\tbinom {n-1}{k}}(x+k+1)^{k-1}(y-k-1)^{n-k-2}$

$={\Big (}(x+n)(y-1-k)-(y-n)(x+k+1){\Big )}{\tbinom {n-1}{k}}(x+1+k)^{k-1}(y-1-k)^{n-k-2}$

$=(x+y)(n-1-k){\tbinom {n-1}{k}}(x+1+k)^{k-1}(y-1-k)^{n-k-2}=(x+y)(n-1){\tbinom {n-2}{k}}(x+1+k)^{k-1}(y-1-k)^{n-k-2}$

$=(x+y)(n-1)F_{n-2,k}(x+1,y-1)\,$.

Also gilt

${\text{(i)}}\;\,\quad F_{n,k}(x,y)-yF_{n-1,k}(x,y)=G_{n,k}(x,y)$

${\text{(ii)}}\quad (x+n)F_{n-1,k}(x+1,y-1)-(x+y)(n-1)F_{n-2,k}(x+1,y-1)=G_{n,k+1}(x,y)$

Summiert man die Differenz ${\text{(i)}}-{\text{(ii)}}\,$

$F_{n,k}(x,y)-yF_{n-1,k}(x,y)-(x+n)F_{n-1,k}(x+1,y-1)+(n-1)(x+y)F_{n-2,k}(x+1,y-1)=G_{n,k}(x,y)-G_{n,k+1}(x,y)\,$

nach $k\,$ von $0\,$ bis $n\,$, so ist $S_{n}(x,y)-yS_{n-1}(x,y)-(x+n)S_{n-1}(x+1,y-1)+(n-1)(x+y)S_{n-2}(x+1,y-1)=0\,$,

da das Teleskop-Produkt $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}G_{n,k}(x,y)-G_{n,k+1}(x,y){\Big )}=G_{n,0}(x,y)-G_{n,n+1}(x,y)$ verschwindet.

Für $n=0,1\,$ gilt $S_{n}(x,y)={\frac {(x+y)^{n}}{x}}$. Der Induktionsschluss von $n-2\,$ und $n-1\,$ auf $n\,$ ergibt sich aus der Rekursionsformel:

$S_{n}(x,y)-y{\frac {(x+y)^{n-1}}{x}}-(x+n)\,{\frac {(x+y)^{n-1}}{x+1}}+(n-1)(x+y){\frac {(x+y)^{n-2}}{x+1}}=0\Rightarrow S_{n}(x,y)={\frac {(x+y)^{n}}{x}}$

In der Formel $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(x+k)^{k-1}\,(y-k)^{n-k}={\frac {(x+y)^{n}}{x}}$ ersetze $(x,y)\,$ durch $\left({\frac {x}{a}},{\frac {y}{a}}\right)$ und multipliziere die so

entstandene Gleichung $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\left({\frac {x}{a}}+k\right)^{k-1}\,\left({\frac {y}{a}}-k\right)^{n-k}={\frac {1}{a^{n-1}}}{\frac {(x+y)^{n}}{x}}$ mit $x\,a^{n-1}$ durch.

Dann ist $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x\,(x+ak)^{k-1}\,(y-ak)^{n-k}=(x+y)^{n}$.