Formelsammlung Mathematik: Identitäten

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Altbabylonische Multiplikationsformel


\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=ab


[Bearbeiten] Formel von Fibonacci


(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\,


[Bearbeiten] Identitäten mit Binomialkoeffizienten


{n\choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}


{2z \choose z} \cos(\pi z)=2^{2z}\, {-\frac12 \choose z}


[Bearbeiten] Wurzel einer komplexen Zahl


\sqrt{a+\mathrm ib} =\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+\mathrm i\, \Theta(b) \,\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}   , mit \Theta(b)=\left\{ \begin{matrix} 1 & , & b\ge 0 \\ \\ -1 & , & b<0 \end{matrix}\right.
Beweis

Für jede von Null verschiedene komplexe Zahl a+ib\, gibt es stets zwei komplexe Zahlen die quadriert a+ib\, ergeben.

Mit \sqrt{a+ib}=x+iy soll der komplexe Hauptwert gemeint sein. Hier ist stets x\ge 0 und im Fall x=0\, ist y\ge 0.

Wenn (x+iy)^2=a+ib\, sein soll muss gelten x^2-y^2=a \, , \, 2xy=b und x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}.

Daher ist x^2=\frac{(x^2+y^2)+(x^2-y^2)}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2} \Rightarrow x=\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}\ge 0

und y^2=\frac{(x^2+y^2)-(x^2-y^2)}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2} \Rightarrow y=\Theta(b)\, \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}},

da im Fall x>0\quad \text{sgn}(y)=\text{sgn}(2xy)=\text{sgn}(b) sein muss. Und im Fall x=0\,, somit b=0\,, soll y\ge 0 sein.

 


[Bearbeiten] Definition von Arkus- und Area-Funktionen durch exp und log


\arcsin z=-\mathrm i\,\ln\left( \sqrt{1-z^2}+\mathrm i z\right)


\arccos z=-\mathrm i\,\ln\left(z+\mathrm i\, \sqrt{1-z^2}\right)


\arctan z=\frac{\mathrm i}{2} \Big(\ln(1-\mathrm i z)-\ln(1+\mathrm iz)\Big) für z\neq \pm\mathrm i


\arccot z=\left\{\begin{matrix}\arctan\left(\frac{1}{z}\right) && z\neq 0 \\ \frac{\pi}{2} && z=0 \end{matrix}\right.


\arcsec z=\arccos\left(\frac{1}{z}\right) für z\neq 0


\arccsc z=\arcsin\left(\frac{1}{z}\right) für z\neq 0


\operatorname{arsinh} z=\ln\left(z+\sqrt{z^2+1}\right)


\operatorname{arcosh} z=\ln\left(z+\sqrt{z-1}\,\sqrt{z+1}\right)


\operatorname{artanh} z=\frac{1}{2}\Big(\ln(1+z)-\ln(1-z)\Big) für z\neq\pm 1


\operatorname{arcoth} z=\left\{\begin{matrix}\operatorname{artanh}\left(\frac{1}{z}\right) && z\neq 0 \\ \frac{\mathrm i\pi}{2} && z=0 \end{matrix}\right.


\operatorname{arsech} z=\operatorname{arcosh}\left(\frac{1}{z}\right) für z\neq 0


\operatorname{arcsch} z=\operatorname{arsinh}\left(\frac{1}{z}\right) für z\neq 0


[Bearbeiten] Elementare Funktionen mit Argument iz


\begin{matrix} \arcsin(\mathrm i z) &=& \;\;\, \mathrm i\;\operatorname{arsinh}\, z & \qquad & \operatorname{arsinh}(\mathrm i z) &=& \;\; \mathrm i\;\arcsin z \\ \arctan(\mathrm i z) &=& \;\;\,\, \mathrm i\;\operatorname{artanh}\, z & \qquad & \operatorname{artanh}(\mathrm i z) &=& \;\;\; \mathrm i\;\arctan z \\ \arccot(\mathrm i z) &=& -\mathrm i\;\operatorname{arcoth} \, z & \qquad & \operatorname{arcoth}(\mathrm i z) &=& -\mathrm i\;\arccot z \\ \arccsc(\mathrm i z) &=& -\mathrm i\;\operatorname{arcsch} \, z & \qquad & \operatorname{arcsch}(\mathrm i z) &=& -\mathrm i\;\arccsc z \\ \end{matrix}


[Bearbeiten] Gegenseitige Darstellbarkeit von Winkelfunktionen


\begin{matrix} \sin^2 & 1-\cos^2 & (1+\tan^{-2})^{-1} & (1+\cot^2)^{-1} & 1-\sec^{-2} & \csc^{-2} \\\\ 1-\sin^2 & \cos^2 & (1+\tan^2)^{-1} & (1+\cot^{-2})^{-1} & \sec^{-2} & 1-\csc^{-2} \\\\ (\sin^{-2}-1)^{-1} & \cos^{-2}-1 & \tan^2 & \cot^{-2} & \sec^2-1 & (\csc^2-1)^{-1} \\\\ \sin^{-2}-1 & (\cos^{-2}-1)^{-1} & \tan^{-2} & \cot^2 & (\sec^2-1)^{-1} & \csc^2-1 \\\\ (1-\sin^2)^{-1} & \cos^{-2} & 1+\tan^2 & 1+\cot^{-2} & \sec^2 & (1-\csc^{-2})^{-1} \\\\ \sin^{-2} & (1-\cos^2)^{-1} & 1+\tan^{-2} & 1+\cot^2 & (1-\sec^{-2})^{-1} & \csc^2 \\\\ \end{matrix}


[Bearbeiten] Logarithmus der e-Funktion


\forall z\in\Bbb{C} ist \ln(e^z)=\Big(|z| \cos \arg z\Big)+\mathrm i\, \underbrace{\Big(|z| \sin\arg z \mod 2\pi\Big)}_{\in ]-\pi,\pi]}


[Bearbeiten] Definition trigonometrischer Funktionen durch die e-Funktion


\sin(z)=\frac{e^{\mathrm iz}-e^{-\mathrm iz}}{2\mathrm i}
 \sinh(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{2}
 \sin(\mathrm iz)=\mathrm i\sinh(z)\,
 \sinh(\mathrm iz)=\mathrm i\sin(z)\,
\cos(z)=\frac{e^{\mathrm iz}+e^{-\mathrm iz}}{2}
 \cosh(z)=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}
 \cos(\mathrm iz)=\cosh(z)\,
 \cosh(\mathrm iz)=\cos(z)\,
\tan(z)=\frac{1}{\mathrm i}\,\frac{e^{\mathrm iz}-e^{-\mathrm iz}}{e^{\mathrm iz}+e^{-\mathrm iz}}
 \tanh(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}
 \tan(\mathrm iz)=\mathrm i\tanh(z)\,
 \tanh(\mathrm iz)=\mathrm i\tan(z)\,
\cot(z)=\mathrm i\,\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}
 \coth(z)=\frac{e^z+e^{-z}}{e^z-e^{-z}}
 \cot(\mathrm iz)=\frac{1}{\mathrm i}\coth(z)\,
 \coth(\mathrm iz)=\frac{1}{\mathrm i}\cot(z)\,
\sec(z)=\frac{2}{e^{\mathrm iz}+e^{-\mathrm iz}}
 \operatorname{sech}(z)=\frac{2}{e^z+e^{-z}}
 \sec(\mathrm iz)=\operatorname{sech}(z)
 \operatorname{sech}(\mathrm iz)=\sec(z)
\csc(z)=\frac{2\mathrm i}{e^{\mathrm iz}-e^{-\mathrm iz}}
 \operatorname{csch}(z)=\frac{2}{e^z-e^{-z}}
 \csc(\mathrm iz)=\frac{1}{\mathrm i}\,\operatorname{csch}(z)
 \operatorname{csch}(\mathrm iz)=\frac{1}{\mathrm i}\,\csc(z)


[Bearbeiten] Verknüpfung einer trigonometrischen Funktion mit einer Arkusfunktion


f\circ g \arcsin\! \arccos\! \arctan\! \arccot\! \arcsec\! \arccsc\!
\sin\! z\! \sqrt{1-z^2} \frac{z}{\sqrt{1+z^2}} \frac{1}{z\,\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}} \sqrt{1-\frac{1}{z^2}} \frac{1}{z}
\cos\! \sqrt{1-z^2} z\! \frac{1}{\sqrt{1+z^2}} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}} \frac{1}{z} \sqrt{1-\frac{1}{z^2}}
\tan\! \frac{z}{\sqrt{1-z^2}} \frac{\sqrt{1-z^2}}{z} z\! \frac{1}{z} z\, \sqrt{1-\frac{1}{z^2}} \frac{1}{z\,\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}}
\cot\! \frac{\sqrt{1-z^2}}{z} \frac{z}{\sqrt{1-z^2}} \frac{1}{z} z\! \frac{1}{z\, \sqrt{1-\frac{1}{z^2}}} z\, \sqrt{1-\frac{1}{z^2}}
\sec\! \frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \frac{1}{z} \sqrt{1+z^2} \sqrt{1+\frac{1}{z^2}} z\! \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}}
\csc\! \frac{1}{z} \frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \frac{\sqrt{1+z^2}}{z} z\, \sqrt{1+\frac{1}{z^2}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}} z\!


[Bearbeiten] Verknüpfung einer Hyperbelfunktion mit einer Areafunktion


\operatorname{arsinh}\! \operatorname{arcosh}\! \operatorname{artanh}\! \operatorname{arcoth}\! \operatorname{arsech}\! \operatorname{arcsch}\!
\sinh\! z\! \sqrt{z-1}\; \sqrt{z+1} \frac{z}{\sqrt{1-z^2}} \frac{1}{z\,\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}} \sqrt{\frac1{z}-1}\; \sqrt{\frac1{z}+1} \frac{1}{z}
\cosh\! \sqrt{1+z^2} z\! \frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}} \frac{1}{z} \sqrt{1+\frac{1}{z^2}}
\tanh\! \frac{z}{\sqrt{1+z^2}} \frac{\sqrt{z-1} \; \sqrt{z+1}}{z} z\! \frac{1}{z} z\, \sqrt{\frac1{z}-1} \; \sqrt{\frac1{z}+1} \frac{1}{z\,\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}
\coth\! \frac{\sqrt{1+z^2}}{z} \frac{z}{\sqrt{z-1} \; \sqrt{z+1}} \frac{1}{z} z\! \frac1{z} \frac1{ \sqrt{\frac1{z}-1} \; \sqrt{\frac1{z}+1} } z\,\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}
\operatorname{sech}\! \frac1{\sqrt{1+z^2}} \frac1{z} \sqrt{1-z^2} \sqrt{1-\frac{1}{z^2}} z\! \frac1{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}
\operatorname{csch}\! \frac{1}{z} \frac1{\sqrt{z-1} \; \sqrt{z+1}} \frac{\sqrt{1-z^2}}{z} z\,\sqrt{1-\frac{1}{z^2}} \frac1{ \sqrt{\frac1{z}-1} \; \sqrt{\frac1{z}+1}} z\!


[Bearbeiten] Trigonometrische Funktion mit verschobenem Argument


\pm\varphi \frac{\pi}{2}\pm\varphi \pi\pm\varphi \frac{3\pi}{2}\pm\varphi
\sin\, \pm\sin \cos\! \mp\sin -\cos\!
\cos\, \cos\! \mp\sin\! -\cos\! \pm\sin\!
\tan\, \pm\tan\! \mp\cot\! \pm\tan\! \mp\cot\!
\cot\, \pm\cot\! \mp\tan\! \pm\cot\! \mp\tan\!
\sec\, \sec\! \mp\csc\! -\sec\! \pm\csc\!
\csc\, \pm\csc \sec\! \mp\csc -\sec\!


[Bearbeiten] Komplementheit von Arkusfunktion


\arcsin(z)+\arccos(z)=\frac{\pi}{2}


\arctan(z)+\arccot(z)=\left\{\begin{matrix} \frac{\pi}{2} && \operatorname{Re}(z)>0 && z\in \mathrm i\, ]-1,0] && z\in \mathrm i\, ]1,\infty[ \\\\ -\frac{\pi}{2} && \operatorname{Re}(z)<0 && z\in \mathrm i\, ]-\infty,-1[ && z\in \mathrm i\, ]0,1[ \end{matrix}\right.


\arcsec(z)+\arccsc(z)=\frac{\pi}{2} für z\neq 0


[Bearbeiten] Eulerscher Ergänzungssatz


\forall z\notin\Bbb{Z} ist \Gamma(z) \, \Gamma (1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}


[Bearbeiten] Darstellung der Betafunktion durch Gammafunktionen


B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}


[Bearbeiten] Gamma an bestimmten Stellen


\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}


\Gamma'(1)=-\gamma\,


[Bearbeiten] Legendre'sche Verdopplungsformel


\Gamma(z)\,\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\, 2^{1-2z}\,\Gamma(2z)


[Bearbeiten] Riemannsche Funktionalgleichung


\zeta(z)=2\, (2\pi)^{z-1}\, \zeta(1-z)\, \Gamma(1-z)\, \sin\frac{\pi z}{2}
Beweis

Nachdem \frac{1}{e^t-1}=\frac{1}{t}-\frac12+\sum_{k=2}^\infty \frac{B_k}{k!}\, t^{k-1} ist konvergiert

F(z):=\frac{1}{\Gamma(z)}\, \left[\int_0^1 \left(\frac{1}{e^t-1}-\frac{1}{t}\right)\, t^{z-1}\, dt+\frac{1}{z-1}+\int_1^\infty \frac{t^{z-1}}{e^t-1}\, dt \right]

für alle z\neq 1 mit \text{Re}(z)>0\,. Und für \text{Re}(z)>1\, ist \int_0^1 -\frac{1}{t}\, t^{z-1}\, dt=\frac{-1}{z-1}

und somit F(z)=\frac{1}{\Gamma(z)}\, \int_0^\infty \frac{t^{z-1}}{e^t-1} \, dt=\zeta(z).

F\, ist daher die holomorphe Fortsetzung von \zeta\, für alle z\, mit \text{Re}(z)>0\,.

Definiert man G(z)\, als \frac{1}{\Gamma(z)}\left[\underbrace{\int_0^1 \left(\frac{1}{e^t-1}-\frac{1}{t}+\frac12\right)\, t^{z-1} \, dt}_{=:u(z)}-\frac{1}{2z}+\underbrace{\int_1^\infty \left(\frac{1}{e^t-1}-\frac{1}{t}\right) \, t^{z-1}\, dt}_{=:v(z)}\right]

so konvergiert u\, für -1<\text{Re}(z)\, und v\, für \text{Re}(z)<1\,. Also konvergiert G\, für alle z\, mit -1<\text{Re}(z)<1\,.

Da G\, für alle z\, mit 0<\text{Re}(z)<1\, mit F=\zeta\, übereinstimmt ist G\, für alle z\, mit -1<\text{Re}(z)<0\,

die holomorphe Fortsetzung von \zeta\,. Für -1<\text{Re}(z)<0\, läßt sich wegen -\frac{1}{2z}=\int_1 ^\infty \frac12 t^{z-1}\, dt

G(z)\, schreiben als \frac{1}{\Gamma(z)}\, \int_0^\infty \left(\frac{1}{e^t-1}-\frac{1}{t}+\frac12\right)\, t^{z-1}\, dt.

Dabei ist \frac{1}{e^t-1}-\frac{1}{t}+\frac12=\frac12 \coth\left(\frac{t}{2}\right)-\frac{1}{t}=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{t}{t^2+(2\pi n)^2}-\frac{1}{t}=2\sum_{n=1}^\infty \frac{t}{t^2+(2\pi n)^2}.

Nach Substitution t\mapsto 2\pi n t ist \zeta(z)=G(z)=\frac{2}{\Gamma(z)}\,\int_0^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{2\pi n t}{(2\pi n t)^2+(2\pi n)^2}\, (2\pi n\, t)^{z-1}\, 2\pi n\, dt

=\frac{2}{\Gamma(z)}\, \underbrace{\sum_{n=1}^\infty (2\pi n)^{z-1}}_{(2\pi)^{z-1}\, \zeta(1-z)}\, \underbrace{\int_0^\infty \frac{t^z}{t^2+1}\, dt}_{\frac{\pi}{2}\, \sec \frac{\pi z}{2}} wobei \frac{\pi}{2}\, \sec\frac{\pi z}{2}=\frac{\pi \sin \frac{\pi z}{2}}{\sin \pi z}=\Gamma(z)\, \Gamma(1-z)\, \sin \frac{\pi z}{2} ist.

Also ist \zeta(z)=2\, (2\pi)^{z-1}\, \zeta(1-z)\, \Gamma(1-z)\, \sin\frac{\pi z}{2}.

 


[Bearbeiten] Weitere Identitäten trigonometrischer Funktionen


\tan z=\cot(z)-2\cot(2z)\,


\operatorname{csch}(2z)=\coth(z)-\coth(2z)


1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{2}{1+\tan x}


\frac{\sin z}{1+\cos z}=\tan \frac{z}{2}


\frac{\sin z}{1-\cos z}=\cot \frac{z}{2}


[Bearbeiten] Tangens einer Summe


\tan(x_1+...+x_n)=\frac{1}{i}\, \frac{\prod_{k=1}^n \left(1+i \tan x_k\right)-\prod_{k=1}^n \left(1-i \tan x_k\right)}{\prod_{k=1}^n \left(1+i \tan x_k\right)+\prod_{k=1}^n \left(1-i \tan x_k\right)}
Beweis

Ersetze in der Formel \tan z=\frac{1}{i}\, \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}} \quad z durch x_1+...+x_n\,

\tan(x_1+...+x_n)=\frac{1}{i}\, \frac{e^{i(x_1+...+x_n)}-e^{-i(x_1+...+x_n)}}{e^{i(x_1+...+x_n)}+e^{-i(x_1+...+x_n)}}

Schreibe e^{\pm i(x_1+...+x_k)} als e^{\pm i x_1}\cdots e^{\pm i x_n} und jeden Faktor e^{\pm i x_k} als \cos x_k\pm i\sin x_k\,.

\tan(x_1+...+x_n)=\frac{1}{i}\, \frac{\prod_{k=1}^n \left(\cos x_k+i\sin x_k\right) -\prod_{k=1}^n \left(\cos x_k-i\sin x_k\right)}{\prod_{k=1}^n \left(\cos x_k+i\sin x_k\right) +\prod_{k=1}^n \left(\cos x_k-i\sin x_k\right)}

Teile nun Zähler und Nenner jeweils durch \prod_{k=1}^n \cos x_k.

 


[Bearbeiten] Gaußsches Digamma Theorem


\psi\left(\frac{p}{q}\right)=-\gamma-\ln(2q)-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{p\pi}{q}\right)+\sum_{k=1}^{q-1} \cos\left(\frac{2\pi p k}{q}\right)\, \ln\left(\sin \frac{k\pi}{q}\right) \qquad 0<p<q


[Bearbeiten] Partialbruchzerlegungen


\frac{\alpha^n\, z^{m-1}}{\alpha^n-z^n}=\frac1{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\alpha \xi^k)^m}{\alpha \xi^k-z} \qquad \xi=\exp\left(\frac{2\pi i}{n}\right)


\frac{1}{(x-\alpha)^{n+1} \, (x-\beta)^{m+1}}=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(\alpha-\beta)^{m+1+k}}\, \frac{(m+k)!}{m!\, k!}\, \frac{1}{(x-\alpha)^{n+1-k}}+\sum_{k=0}^m \frac{(-1)^k}{(\beta-\alpha)^{n+1+k}}\, \frac{(n+k)!}{n!\, k!}\, \frac{1}{(x-\beta)^{m+1-k}}


[Bearbeiten] Reihenidentitäten


\sum_{k=0}^\infty \frac{2k+1}{z^{2k+1}-1}=\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{z^k+1} \qquad |z|>1
Beweis

\underbrace{\sum_{k=0}^{N-1} \frac{2k+1}{z^{2k+1}-1}}_{A_N}+\underbrace{\sum_{k=1}^N \frac{2k}{z^{2k}-1}}_{B_N}=\underbrace{\sum_{k=1}^{2N} \frac{k}{z^k-1}}_{C_{2N}}

Wegen \frac{2k}{z^{2k}-1}=\frac{k}{z^k-1}-\frac{k}{z^k+1} ist

B_N=\underbrace{\sum_{k=1}^N \frac{k}{z^k-1}}_{C_N}-\underbrace{\sum_{k=1}^N \frac{k}{z^k+1}}_{D_N}.

Also A_N=D_N+C_{2N}-C_N\,. Für N\to\infty folgt daraus die Behauptung.

 


\sum_{k=0}^n \frac{1}{{n\choose k}}=\frac{n+1}{2^{n+1}} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{2^k}{k}


Ist f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k so gilt \sum_{k\in [m]_n} a_k z^k=\sum_{k=0}^\infty a_{m+kn} z^{m+kn}=\frac{1}{n} \, \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f(\xi^k z)}{\xi^{km}} mit \xi=e^{\frac{2\pi i}{n}}.


[Bearbeiten] Integral/Reihen Identität


\int_0^1 \frac{x^{\alpha-1}}{1+x^\beta}\, dx=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{\alpha+\beta\, k}=\frac{1}{2\beta}\left[\psi\left(\frac12+\frac{\alpha}{2\beta}\right)-\psi\left(\frac{\alpha}{2\beta}\right)\right]
Beweis

\int_0^1 \frac{x^{\alpha-1}}{1+x^\beta} \, dx=\int_0^1 x^{\alpha-1} \, \sum_{k=0}^\infty (-x^\beta)^k\, dx =\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\, \int_0^1 x^{\alpha-1+\beta \, k}\, dx=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{\alpha+\beta\, k}

=\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{\alpha+\beta\, 2k}-\frac{1}{\alpha+\beta\, (2k+1)}\right)=\frac{1}{2\beta}\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{\frac{\alpha}{2\beta}+k}-\frac{1}{\frac12+\frac{\alpha}{2\beta}+k}\right)

=\frac{1}{2\beta}\left[\psi\left(\frac12+\frac{\alpha}{2\beta}\right)-\psi\left(\frac{\alpha}{2\beta}\right)\right]

 


[Bearbeiten] Abelsche Identität


(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} x\, (x+ak)^{k-1} \, (y-ak)^{n-k}


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