Formelsammlung Mathematik: Identitäten: Hermitesche Identität

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$\sum _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{\frac {k}{n}}\right\rfloor =\lfloor nx\rfloor \qquad x\in \mathbb {R} \;\,,\,\;n\in \mathbb {N}$

Beweis

Jedes reelle $x\,$ lässt sich schreiben in der Form:     $x=\lfloor x\rfloor +\{x\}$.

Es gibt genau ein $k'\in \{1,...,n\}$, so dass gilt:     $\lfloor x\rfloor =\left\lfloor x+{\frac {k'-1}{n}}\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x+{\frac {k'}{n}}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor +1$

Insbesondere gilt die Ungleichungskette, wenn $x\,$ zwischen 0 und 1 liegt, bzw. wenn man sich $x\,$ durch $\{x\}\,$ ersetzt denkt.

$0=\left\lfloor \{x\}+{\frac {k'-1}{n}}\right\rfloor \leq \{x\}<\left\lfloor \{x\}+{\frac {k'}{n}}\right\rfloor =1$


Daraus folgt:     $\{x\}+{\frac {k'}{n}}\geq 1$     und     $\{x\}+{\frac {k'-1}{n}}<1$


Zusammengefasst zu einer Ungleichungskette:     $1-{\frac {k'}{n}}\leq \{x\}<1-{\frac {k'-1}{n}}$


Und diese mit n durchmultipliziert:     $n-k'\leq n\,\{x\}<n-k'+1$


Also ist     $\sum _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{\frac {k}{n}}\right\rfloor =\sum _{k=0}^{k'-1}\lfloor x\rfloor +\sum _{k=k'}^{n-1}(\lfloor x\rfloor +1)=n\,\lfloor x\rfloor +n-k'=n\,\lfloor x\rfloor +\lfloor n\,\{x\}\rfloor =\left\lfloor n\,\lfloor x\rfloor +n\,\{x\}\right\rfloor =\lfloor nx\rfloor$.