Formelsammlung Mathematik: Identitäten: Tangens einer Summe

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$\tan(x_{1}+...+x_{n})={\frac {1}{i}}\,{\frac {\prod _{k=1}^{n}\left(1+i\tan x_{k}\right)-\prod _{k=1}^{n}\left(1-i\tan x_{k}\right)}{\prod _{k=1}^{n}\left(1+i\tan x_{k}\right)+\prod _{k=1}^{n}\left(1-i\tan x_{k}\right)}}$

Beweis

Ersetze in der Formel $\tan z={\frac {1}{i}}\,{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}}}\quad z$ durch $x_{1}+...+x_{n}\,$

$\tan(x_{1}+...+x_{n})={\frac {1}{i}}\,{\frac {e^{i(x_{1}+...+x_{n})}-e^{-i(x_{1}+...+x_{n})}}{e^{i(x_{1}+...+x_{n})}+e^{-i(x_{1}+...+x_{n})}}}$

Schreibe $e^{\pm i(x_{1}+...+x_{k})}$ als $e^{\pm ix_{1}}\cdots e^{\pm ix_{n}}$ und jeden Faktor $e^{\pm ix_{k}}$ als $\cos x_{k}\pm i\sin x_{k}\,$.

$\tan(x_{1}+...+x_{n})={\frac {1}{i}}\,{\frac {\prod _{k=1}^{n}\left(\cos x_{k}+i\sin x_{k}\right)-\prod _{k=1}^{n}\left(\cos x_{k}-i\sin x_{k}\right)}{\prod _{k=1}^{n}\left(\cos x_{k}+i\sin x_{k}\right)+\prod _{k=1}^{n}\left(\cos x_{k}-i\sin x_{k}\right)}}$

Teile nun Zähler und Nenner jeweils durch $\prod _{k=1}^{n}\cos x_{k}$.