Formelsammlung Mathematik: Algebra

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Inhaltsverzeichnis

1 Binomische Formeln
2 Das Pascalsche Dreieck
3 Potenzen
- 3.1 Rechengesetze
4 Logarithmen

[Bearbeiten] Binomische Formeln

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,$

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,$

[Bearbeiten] Das Pascalsche Dreieck

Das Pascalsche Dreieck ermöglicht es, rekursiv binomische Formeln beliebigen Grades herzuleiten. So sieht es aus:
Und so wird es generiert: Die erste Zeile (die der binomischen Formel des Grades 0 entspricht $(a + b) 0 = 1$ - siehe Definition Potenzen), enthält genau eine 1, aufzufassen als $1 \cdot a^0$ Der 1 benachbart denke man sich je eine 0.
In jeder darauffolgenden Zeile stehen die einzelnen Zahlen je zwischen zwei darüber liegenden Zahlen und berechnen sich durch deren Addition. Die Zahlen der Zeile n (wenn man bei 0 anfängt zu zählen) entsprechen dann den Koeffizienten der binomischen Formel n-ten Grades. Beispiel: $(a + b) 3$ ergibt: $a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3$ Dies lässt sich leicht durch "klassisches" Ausmultiplizieren nachrechnen: $\begin{matrix} (a+b)^3 & = & (a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b) & = & (a^2+2ab+b^2)\cdot(a+b) \\ & = & a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3 & = & a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{matrix}$

[Bearbeiten] Potenzen

$a^0=1 \quad , \quad a^1=a \quad , \quad a^2=a\cdot a \quad , \quad ... \quad , \quad a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \,\mathbf{mal}}$

Wobei n eine natürliche Zahl ist. So ist z.B. $a^5=a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \$
Für $a>0\,$ ist $a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n=\frac{1}{a^n} \$ und $a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$ , daraus folgt $\sqrt[n]{a^n}=a$