Formelsammlung Mathematik: Determinanten

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[Bearbeiten] Multiplikationssatz

$\det(AB)=\det(A)\, \det(B)$

Beweis

$\det(AB)=\det\Big(A(b_1,...,b_n)\Big)=\det\left(A\sum_{j=1}^n b_{1j}\, e_j,...,A\sum_{j=1}^n b_{nj}\, e_j\right)\,$

$=\det\left(\sum_{j=1}^n b_{1j} a_j,...,\sum_{j=1}^n b_{nj} a_j\right)=\sum_{j_1=1}^n \cdots \sum_{j_n=1}^n b_{1j_1}\cdots b_{nj_n}\, \det(a_{j_1},...,a_{j_n})$

$=\sum_{(j_1,...,j_n)\in S_n} b_{1j_1}\cdots b_{nj_n}\, \det(a_{j_1},...,a_{j_n})=\underbrace{\sum_{(j_1,...,j_n)\in S_n} (-1)^{\text{sgn}(j_1,...,j_n)}\, b_{1j_1}\cdots b_{nj_n}}_{=\det(B)}\, \det(A)$

[Bearbeiten] Determinante von der Exponentialreihe einer Matrix

$\det(e^A)=e^{\text{tr}(A)}\,$

Beweis

Hat $A\,$ die Eigenwerte $\lambda_1,...,\lambda_n\,$ so hat $e^A\,$ die Eigenwerte $e^{\lambda_1},...,e^{\lambda_n}$

Also ist $\det(e^A)=e^{\lambda_1}\cdots e^{\lambda_n}=e^{\lambda_1+...+\lambda_n}=e^{\text{tr}(A)}$ .