Formelsammlung Mathematik: Grenzwerte

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Inhaltsverzeichnis

1 Grenzwert für e-Funktion
2 Verhalten der Gammafunktion
3 Verhalten an Polstellen
4 Stirlingsche Formel
5 Folgerungen aus der Stirlingformel
6 Weitere Grenzwerte

[Bearbeiten] Grenzwert für e-Funktion

$\forall z\in\Bbb{C}$ gilt $\left(1+\frac{z}{\xi}\right)^\xi\to e^z$ für $|\xi|\to\infty$

[Bearbeiten] Verhalten der Gammafunktion

$\Gamma(n+x)\sim \Gamma(n)\, n^x$

$\forall z\notin\Bbb{Z}_{\le 0}$ gilt $\frac{n!\, n^z}{z\,(z+1)\cdots (z+n)}\to\Gamma(z)$

$\frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x+y)}\sim\frac{1}{n^y}\,\prod_{k=0}^n \left(1+\frac{y}{k+x}\right)$

[Bearbeiten] Verhalten an Polstellen

$\left|\Gamma\left(-n+\varepsilon \, e^{i \varrho_1}\right)\right| -\left|\Gamma\left(-n+\varepsilon \, e^{i \varrho_2}\right)\right| \to \frac{\psi(n+1)}{\Gamma(n+1)} \Big(\cos(\varrho_1)-\cos(\varrho_2)\Big)$ für $\varepsilon\to 0+$

$f\,$	$\lim_{z_1,z_2\to 0} \frac{z_1\, f(z_1)-z_2\, f(z_2)}{z_1-z_2}$
$\Gamma(-n+z)\,$	$(-1)^n \frac{\Psi(n+1)}{\Gamma(n+1)}$
$\Gamma(-n+z)\, z\,$	$(-1)^n \frac{1}{\Gamma(n+1)}$
$\Psi(-n+z)\,$	$\Psi(n+1)\,$
$\Psi(-n+z)\, z$	$-1\,$
$\zeta(1+z)\, (1+z)^\alpha$	$\alpha+\gamma\,$

[Bearbeiten] Stirlingsche Formel

$n!\sim\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

Mit $z=\varrho e^{i\varphi}$ gilt $\Gamma(z)\sim\sqrt{\frac{2\pi}{z}} \left(\frac{z}{e}\right)^z \left\{\begin{matrix} 1 & -\pi<\varphi<\pi \\ \frac1{e^{2\pi i z}-1} & \varphi=\pi \end{matrix}\right.$ für $\varrho\to\infty$

[Bearbeiten] Folgerungen aus der Stirlingformel

$\sqrt[n]{n!}\sim\frac{n}{e}$

$\frac{\sqrt{n\pi}}{2^{2n}} {2n\choose n}\to 1$

$B(\alpha n,\beta n)\sim\sqrt{\frac{2\pi}{n}}\,\sqrt{\frac{\alpha+\beta}{\alpha\,\beta}} \left(\frac{\alpha^\alpha\, \beta^\beta}{(\alpha+\beta)^{\alpha+\beta}}\right)^n$