Formelsammlung Mathematik: Trigonometrie

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Formeln aus der Trigonometrie der Ebene.

Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck ABC habe die Seiten $a=\overline{BC}\,,\, b=\overline{CA}\,,\,c=\overline{AB}$ , die Winkel $\alpha,\beta,\gamma\,$ bei den Ecken A, B und C. Seien $s_a,s_b,s_c\!$ die Seitenhalbierenden, $w_a,w_b,w_c\!$ die Winkelhalbierenden, $h_a,h_b,h_c\!$ die Höhen,R der Umkreisradius, $\rho\!$ der Inkreisradius und $\rho_a,\rho_b,\rho_c\!$ die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken A, B bzw. C gegenüberliegen) des Dreiecks ABC. Die Variable s steht für den halben Umfang des Dreiecks: $s=(a+b+c)/2\!$ . Schließlich wird die Fläche des Dreiecks ABC mit A bezeichnet.

[Bearbeiten] Winkelsumme

$\alpha+\beta+\gamma=\pi \quad (=180^{\circ})$ .

[Bearbeiten] Sinussatz

$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta } \quad , \quad \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R \quad ,\quad a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma \,$ (Verhältnisgleichung)

Siehe auch: Sinussatz

[Bearbeiten] Kosinussatz

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos \alpha \quad,\quad\cos \alpha =\frac{b^{2}+c^{2}-a^2}{2bc} \quad , \quad a^2+bc\,\cos \alpha=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

Siehe auch: Kosinussatz

[Bearbeiten] Projektionssatz

$a=b\;\cos\gamma+c\;\cos\beta$

[Bearbeiten] Mollweidesche Formeln

$\frac{b+c}{a}=\frac{\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}}\quad ,\quad\frac{b-c}{a}=\frac{\sin \frac{\beta -\gamma }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}$

[Bearbeiten] Tangenssatz

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan \frac{\alpha+\beta}{2}}{\tan \frac{\alpha-\beta}{2}} =\frac{\cot \frac{\gamma}{2}}{\tan \frac{\alpha-\beta}{2}}$

Siehe auch: Tangenssatz

[Bearbeiten] Formeln mit dem halben Umfang

$s-a=\frac{b+c-a}{2}\quad,\quad\left( s-b\right) +\left( s-c\right)=a \quad,\quad \left( s-a\right) +\left( s-b\right) +\left( s-c\right) =s$ $\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{bc}}\quad, \quad\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-a\right) }{bc}}\quad,\quad \tan \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s\left( s-a\right) }}$ $s=4R\cos\, \frac{\alpha }{2}\,\cos \frac{\beta }{2}\,\cos \frac{\gamma }{2}\quad,\quad s-a=4R\,\cos \frac{\alpha }{2}\,\sin \frac{\beta }{2}\,\sin \frac{\gamma }{2}$

[Bearbeiten] Flächeninhalt und Umkreisradius

Heronsche Formel: $A=\sqrt{s\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) }=\frac{1}{4}\sqrt{\left( a+b+c\right) \left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }$ $A=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right) -\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right) }$

$A=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$

$A=\frac{1}{2}ah_{a}$ , wobei h_a die Höhe auf der Seite BC ist.

$A=2R^2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,$

$A=\frac{abc}{4R}$

$A=\rho\, s=\rho _{a}\left( s-a\right)$

$A=\sqrt{\rho \rho _{a}\rho _{b}\rho _{c}}$

$a=2r\sin \alpha \,$

$R=\frac{abc}{4A}$

[Bearbeiten] In- und Ankreisradien

$\rho =\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}$

$\rho=4R\,\sin\frac{\alpha }{2}\,\sin \frac{\beta }{2}\,\sin \frac{\gamma }{2} =s\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}$

$\rho =R\left( \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1\right)$

$\rho =\frac{A}{s}=\frac{abc}{4Rs}$

$\rho=\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }{a+b+c}}$

$\rho=\frac{a}{\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}}$

Chapple-Euler-Ungleichung: $2\rho \leq R$ ; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn das Dreieck ABC gleichseitig ist.

$\rho _{a}=s\tan \frac{\alpha }{2}=\left( s-b\right) \tan \frac{\gamma }{2}=\left( s-c\right) \tan \frac{\beta }{2}$

$\rho _{a}=4R\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}=\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2}$

$\rho _{a}=R\left( -\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +1\right)$

$\rho _{a}=\frac{A}{s-a}=\frac{abc}{4R\left( s-a\right) }$

$\rho _{a}=\sqrt{\frac{s\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s-a}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( a+b+c\right) \left( c+a-b\right) \left( a+b-c\right) }{b+c-a}}$

$\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}$

[Bearbeiten] Höhen

$h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta =\frac{2A}{a}=2R\sin \beta \sin \gamma$

$h_{a}=\frac{a}{\cot \beta +\cot \gamma }$

$\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}$

Ist $\gamma=\frac{\pi}{2}\;(=90^\circ)$ dann gilt $h_{a} = \frac{b\,c}{a}$

[Bearbeiten] Seitenhalbierende

$s_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+bc\cos \alpha }$

$s_a^2+s_b^2+s_c^2=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)$

[Bearbeiten] Winkelhalbierende

$w_{\alpha }=\frac{2bc\cos \frac{\alpha }{2}}{b+c}=\frac{2A}{a\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}$

[Bearbeiten] Gegenseitige Darstellung

$\sin x = \pm\sqrt{ 1 - \cos^2 x }=\frac{\pm \tan x }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } }$

$\cos x = \pm\sqrt{ 1 - \sin^2 x }=\frac{\pm 1}{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } }$

$\tan x = \frac{\pm \sqrt{ 1 - \cos^2 x } }{ \cos x }=\frac{ \pm\sin x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } }$

[Bearbeiten] Additionstheoreme

$\sin ( x\pm y ) = \sin x \; \cos y \pm \sin y \; \cos x$

$\cos ( x \pm y ) = \cos x \; \cos y \mp \sin x \; \sin y$

$\tan ( x \pm y ) = \frac{ \tan x \pm \tan y }{ 1 \mp \tan x \; \tan y }$

$\cot \left( x\pm y\right) =\frac{\pm\cot x\cot y\mp1}{\cot x\pm\cot y}$

$\sin ( x + y ) \, \sin ( x - y ) = \cos ^2 y - \cos^2 x$

$\cos ( x + y ) \, \cos ( x - y ) = \cos ^2 y - \sin^2 x$

[Bearbeiten] Doppelwinkelfunktionen

$\sin(2x) = 2 \,\sin x \, \cos x = \frac{2 \tan x}{ 1 + \tan^2 x }$

$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = \frac{ 1 - \tan^2 x }{ 1 + \tan^2 x }$

$\tan(2x)=\frac{ 2 \tan x }{ 1 - \tan^2 x } = \frac{2}{ \cot x - \tan x }$

$\cot(2x) = \frac{ \cot^2 x - 1 }{2 \cot x } = \frac{ \cot x - \tan x}{2}$

[Bearbeiten] Winkelfunktionen für weitere Vielfache

$\sin ( 3x ) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \!$

$\sin ( 4x ) = 8 \sin x \; \cos^3 x - 4 \sin x \; \cos x$

$\sin ( 5x ) = 16 \sin x \; \cos^4 x - 12 \sin x \; \cos^2 x + \sin x$

$\sin ( nx ) = n \; \sin x \; \cos^{n - 1} x - {n \choose 3} \sin^3 x \; \cos^{n - 3} x + {n \choose 5} \sin^5 x \; \cos^{n - 5} x \; - \; + \; \dots$

$\cos ( 3x ) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x \!$

$\cos ( 4x ) = 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1 \!$

$\cos ( 5x ) = 16 \cos^5 x - 20 \cos^3 x + 5 \cos x \!$

$\cos ( nx ) = \cos^n x - {n \choose 2} \sin^2 x \; \cos^{n - 2} x + {n \choose 4} \sin^4 x \; \cos^{n - 4} x \; - \; + \; \dots$

$\tan(nx)=\frac{\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\, {n \choose 2k+1}\,\tan^{2k+1}} {\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\, {n \choose 2k}\,\tan^{2k}}$

$\cot(nx)=(-1)^{n-1}\,\left(\frac{\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\, {n \choose 2k+1}\,\cot^{2k+1}} {\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\, {n \choose 2k}\,\cot^{2k}}\right)^{(-1)^{n-1}}$

[Bearbeiten] Halbwinkelformeln

$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos x }{2}}$ für $x\in [0,2\pi]$

$\cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos x }{2}}$ für $x\in [-\pi,\pi]$

$\tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos x }{1+\cos x}} = \frac{1-\cos x }{\sin(x)}=\frac{\sin x }{1+\cos x}$ für $x\in ]-\pi,\pi[$

$\cot \frac{x}{2} =\sqrt{\frac{1+\cos x }{1-\cos x }} = \frac{1+\cos x }{\sin x }=\frac{\sin x }{1-\cos x}$ für $x\in ]-\pi,\pi[$

[Bearbeiten] Identitäten

Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten:

$\sin x\pm\sin y=2\sin \frac{x\pm y}{2}\,\cos \frac{x\mp y}{2}$

$\cos x\pm\cos y=\pm 2\; \begin{matrix}\cos \\ \sin\end{matrix}\left(\frac{x+y}{2}\right) \begin{matrix}\cos \\ \sin\end{matrix} \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x\pm\tan y=\frac{\sin (x\pm y) }{\cos(x)\,\cos(y)}\quad,\quad \cot x\pm\cot y=\frac{\sin (y\pm x) }{\sin(x)\,\sin(y)}$

[Bearbeiten] Produkte der Winkelfunktionen

$\cos x\; \cos y=\frac{\cos (x-y)+\cos (x+y)}{2}$

$\sin x\; \sin y=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$

$\sin x \; \cos y = \frac{\sin (x-y) + \sin (x+y)}{2}$

$\tan x \; \tan y = \frac{\tan x + \tan y}{\cot x + \cot y} = - \frac{\tan x - \tan y}{\cot x - \cot y}$

$\cot x \; \cot y = \frac{\cot x + \cot y}{\tan x + \tan y} = - \frac{\cot x - \cot y}{\tan x - \tan y}$

$\tan x \; \cot y = \frac{\tan x + \cot y}{\cot x + \tan y} = - \frac{\tan x - \cot y}{\cot x - \tan y}$

$\sin x \; \sin y \; \sin z = \frac{1}{4}\left[\sin (x+y-z) + \sin (y+z-x) + \sin (z+x-y) - \sin (x+y+z)\right]$

$\cos x \; \cos y \; \cos z = \frac{1}{4}\left[\cos (x+y-z) + \cos (y+z-x) + \cos (z+x-y) + \cos (x+y+z)\right]$

$\sin x \; \sin y \; \cos z = \frac{1}{4}\left[- \cos (x+y-z) + \cos (y+z-x) + \cos (z+x-y) - \cos (x+y+z)\right]$

$\sin x \; \cos y \; \cos z = \frac{1}{4}\left[\sin (x+y-z) - \sin (y+z-x) + \sin (z+x-y) + \sin (x+y+z)\right]$

[Bearbeiten] Potenzen der Winkelfunktionen

$(2\cos x)^{2n}=\sum_{k=-n}^n {2n\choose n-k} \cos 2kx$

$(2\sin x)^{2n}=\sum_{k=-n}^n (-1)^k \, {2n\choose n-k} \cos 2kx$

$(2\cos x)^{2n+1}=2 \sum_{k=0}^n {2n+1 \choose n-k} \cos (2k+1)x$

$(2\sin x)^{2n+1}=2 \sum_{k=0}^n (-1)^k \, {2n+1 \choose n-k} \sin (2k+1)x$

[Bearbeiten] Reduktionsformeln

Es gibt Reduktionsformeln, mit denen man das Argument einer Winkelfunktion in das Intervall [0, 90°] bzw. [0, π/4] bringen kann.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen, Quadrant

[Bearbeiten] Weitere Formeln

Die folgenden Formeln folgen nach längeren Termumformungen aus α + β + γ = 180°, gelten also allgemein für drei beliebige Winkel α, β und γ mit der Eigenschaft α + β + γ = 180°, solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangens und Kotangens vorkommen).

$\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,$

$\cot \beta \cdot \cot \gamma + \cot \gamma \cdot \cot \alpha + \cot \alpha \cdot \cot \beta =1$

$\cot \frac{\alpha }{2}+ \cot \frac{\beta }{2}+ \cot \frac{\gamma }{2}= \cot \frac{\alpha }{2} \cdot \cot \frac{\beta }{2} \cdot \cot \frac{\gamma }{2}$

$\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}+\tan \frac{\gamma }{2}\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}=1$

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}$

$-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}$

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}+1$

$-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}-1$

$\sin \left( 2\alpha \right) +\sin \left( 2\beta \right) +\sin \left(2\gamma \right) =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$-\sin \left( 2\alpha \right) +\sin \left( 2\beta \right) +\sin \left(2\gamma \right) =4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma$

$\cos \left( 2\alpha \right) +\cos \left( 2\beta \right) +\cos \left(2\gamma \right) =-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1$

$-\cos \left( 2\alpha \right) +\cos \left( 2\beta \right) +\cos \left(2\gamma \right) =-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1$

$\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma +2$

$-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma$

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma +1$

$-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma +1$

$-\sin ^{2}\left( 2\alpha \right) +\sin ^{2}\left( 2\beta \right) +\sin ^{2}\left( 2\gamma \right) =-2\cos \left( 2\alpha \right) \sin \left( 2\beta \right) \sin \left( 2\gamma \right)$

$-\cos ^{2}\left( 2\alpha \right) +\cos ^{2}\left( 2\beta \right) +\cos ^{2}\left( 2\gamma \right) =2\cos \left( 2\alpha \right) \sin \left( 2\beta \right) \sin \left( 2\gamma \right) +1$