Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Binomische Reihe

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$(1+z)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} z^k \qquad |z|<1 \; , \; \alpha\in\Bbb{C}$

Beweis

Es ist $(1+z)^\alpha=e^{\alpha\log(1+z)}=\sum_{k=0}^\infty \frac{\alpha^k}{k!}\,\Big[\log(1+z)\Big]^k$.

Wegen $\log(1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\frac{z^4}{4}+...$

hat die Reihenentwicklung von $\Big[\log(1+z)\Big]^k$ die Form $\sum_{n=k}^\infty c_{nk} z^n$ mit $c_{kk}=1\,$.

Somit ist $(1+z)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty \frac{\alpha^k}{k!}\, \sum_{n=k}^\infty c_{nk}\, z^n$, was nach Umordnung gleich $\sum_{n=0}^\infty \,\sum_{k=0}^n c_{nk}\frac{\alpha^k}{k!} \; z^n$ ist.

Das Polynom $Q_n(\alpha)=\sum_{k=0}^n c_{nk} \frac{\alpha^k}{k!}$ besitzt wegen $c_{nn}=1\,$ den führenden Koeffizient $\frac{1}{n!}$.

Da die Reihenentwicklung $(1+z)^m=\sum_{n=0}^\infty Q_n(m)\, z^n$

für alle natürlichen Zahlen $m\,$ abbricht, ist $Q_n(m)=0\,$ für alle $n>m\,$.

Daher besitzt das Polynom $Q_n(\alpha)\,$ die Linearfaktorzerlegung $\frac{1}{n!}\, \alpha \, (\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)={\alpha \choose n}$.