Formelsammlung Statistik/ Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mengenlehre und DE MORGANsche Regeln

$P({\bar {A}}\cup {\bar {B}})=P({\overline {A\cap B}})$

und

$P({\bar {A}}\cap {\bar {B}})=P({\overline {A\cup B}})$

Kombinatorik

Fakultät

$n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$

$0!=1$

Binomialkoeffizient

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},\quad k,n\in N,\quad k,n\geq 0.$

${n \choose 0}=1.$

Zufallsstichproben

Anzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N:

	Ohne Zurücklegen	Mit Zurücklegen
Mit	${\frac {N!}{(N-n)!}}$	$N^{n}$
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge	${N \choose n}$	${N+n-1 \choose n}$

Definition der Wahrscheinlichkeit

(Symmetrieprinzip oder Prinzip nach LAPLACE)

Jedes Ergebnis A aus der Ergebnismenge Ω sei gleich häufig. |A| ist die Zahl der Ergebnisse,

die durch A belegt werden (Anzahl der günstigen Ergebnisse), |Ω| ist die Zahl aller möglichen Ergebnisse. Es ist

$P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}.$

Axiome der Wahrscheinlichkeiten (Kolmogoroff):

Gegeben sind zwei Ereignisse A,B ⊂ Ω.

1. $P(A)\geq 0\;.$ Nichtnegativität
2. $P(\Omega )=1\;.$ Normiertheit
3. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)\;,$ falls A und B disjunkt sind.

Additionssatz

Für zwei Ereignisse A, B aus Ω gilt :

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

Für drei Ereignisse A, B, C aus Ω gilt analog :

${\begin{array}{cl}P(A\cup B\cup C)=&P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)\\&-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).\end{array}}$

Falls die Ereignisse disjunkt sind, gilt

$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C).$

Bedingte Wahrscheinlichkeit

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

Unabhängigkeit von Ereignissen

Ein Ereignis A ist unabhängig von B, wenn

$P(A|B)=P(A|{\overline {B}})=P(A)$

Totale Wahrscheinlichkeit

Sei A₁ ...A_k eine disjunkte Zerlegung von Ω. Dann gilt für B ⊂ Ω:

$P(B)=\sum _{i=1}^{k}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})$.

BAYES Theorem

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ mit $P(B)>0$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit von

$A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist, angeben durch die Wahrscheinlichkeit von

$B$ unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist:

$P(A\mid B)\;=\;{\frac {P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}}$.

Hierbei ist

$P(A\mid B)$ die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist,

$P(B\mid A)$ die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$ unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist,

$P(A)$ die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ und

$P(B)$ die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$.

Endlich viele Ereignisse:

Wenn $A_{i},\;i=1,\dotsc ,N$ eine Zerlegung der Ergebnismenge in disjunkte Ereignisse ist, gilt für die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit $P(A_{i}\mid B)$

$P(A_{i}\mid B)\;=\;{\frac {P(B\mid A_{i})\cdot P(A_{i})}{P(B)}}\;=\;{\frac {P\left(B\mid A_{i}\right)\cdot P(A_{i})}{\sum \limits _{j=1}^{N}P\left(B\mid A_{j}\right)\cdot P(A_{j})}}$.

Den letzten Umformungsschritt bezeichnet man auch als Marginalisierung.

Da ein Ereignis $A$ und sein Komplement ${\overline {A}}$ stets eine Zerlegung der Ergebnismenge darstellen, gilt insbesondere

$P(A\mid B)\;=\;{\frac {P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B\mid A)\cdot P(A)+P(B\mid {\overline {A}})\cdot P({\overline {A}})}}$.