Gödel

Dieses Buch steht im Regal Philosophie.

Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘

Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL (1906-1978) hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die „Rede von GOTT“ auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie ist, vom philosophischen Standpunkt aus, für jeden Menschen vertretbar, unabhängig von der jeweiligen religiösen Überzeugung.

Der Schlüsselbegriff im Kalkül

Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist „positive Eigenschaft“, bzw. „Perfektion“ : — ‚P‘ — . Kurt GÖDEL vermerkt dazu in seiner Notiz zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 :

»Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne«, und fügt in Klammer hinzu : »(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr.«

GÖDEL-Axiom-1 : ‚(PX⩒P¬X)‘↔‚(¬PX↔P¬X)‘ »Entweder die Eigenschaft ‚X‘ oder ihre Negation ‚¬X‘ ist positiv«. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären : ‚rot‘ oder ‚schwer‘; es gibt auch Eigenschaften, die für mich positiv oder negativ sind, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Einschätzung. Solche Eigenschaften, wie ‚rot‘, oder positiv-negative ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der »zufälligen Struktur der Welt« entnommen und treffen nicht den »moralisch ästhetischen Sinn« von „positiv“ bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert :

»Vollkommenheit [GOTTES] nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt.«

Die Seins-Eigentümlichkeiten (Daseinsmodi, Perfektionen) wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem »moralisch ästhetischen Sinn« von ‚positiv‘ bei GÖDEL. Das sind die ‚absolut‘ positiven Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie : ‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘, usw., die an sich ohne jede Begrenzung gelten; zu finden in der ‚Via quarta‘ bei THOMAS über die analoge Abstufung im ‚Sein‘. Diese analoge ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit (d.h. Unvollkommenheit) im »zufälligen« ‚Sein‘ der Dinge —.

Das GÖDEL-Axiom-5 : ‚PE_not‘, »Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft« ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der »zufälligen Struktur der Welt« angewendet wird, wie z. B. auf einen „Tornado“, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt : „Existenz ist keine Eigenschaft“. Das gilt für alles, was „existiert“. Das Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, wenn „Sein(Existenz)“ und „Wesen(s Eigenschaften)“ in eins zusammenfallen. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Dasein‘ ontologisch verschieden zu dem ‚was‘ sie sind, d.h. zu ihrem ‚Wesen‘. In der philosophischen Tradition seit ARISTOTELES wird die ontologische Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem selbst ‚unbewegten‘ „Erstbeweger“ zugeschrieben, von dem ARISTOTELES etwas später sagt : »denn dies ist der Gott« und dann hinzufügt: »so sagen wir ja«; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an einen GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ benutzt; (auch im Axiom-3 : ‚PG‘, »Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesens-Eigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES«). Die ontologische Identität von Sein und Wesen gilt nur in der unverursachten Letztursache, auf die ARISTOTELES bei seinen Prinzipienforschungen gestoßen ist.

Die Genese des Kalküls

Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül? Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ : ‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘. (1704) Kapitel X : ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘.

Hier der [kommentierte] Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘:

»Folgendes etwa ist der Gang seines [ANSELMS von Canterbury] Beweises : GOTT ist das größte oder, wie DESCARTES es ausdrückt : das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit [GÖDEL : ‚P‘ := ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘], das alle Grade derselben in sich schließt. [GÖDEL-Definition-1 : ‚Gx↔∀X(PX→Xx)‘‚ »x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat.«] Dies also ist der Begriff GOTTES. [ — ‚G‘ — steht hier für den ‚Begriff‘ „GOTT“ ! ] Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt. [GÖDEL : ‚□∃xGx‘ »GOTT ist notwendig, d.h. ist wirklich da.«] Es ist etwas mehr, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.«

(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Axiom-5 :  »notwendige Existenz [alias ‚Dasein’] ist eine positive Eigenschaft [alias Vollkommenheit]«. Dem widerspricht KANT : „Existenz ist keine Eigenschaft“, d.h. „Sein ist kein reales Prädikat“. Das Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚seiende Aktualität‘|„ἐνέργεια οὖσα“|‚enérgeia ūsa‘| d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘|„οὐσία“|‚usía‘| — genauer : ‚Wesenseigenschaften’ — ontologisch identisch sind. Was nach ARISTOTELES nur von dem „unbewegten Erstbeweger“ gilt; bzw. mit LEIBNIZ : »was das Privilegium der Gottheit allein ist« ! Aus Axiom-3 :  »Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft«, mit Axiom-4 :  »Positive Eigenschaften sind notwendig positiv«, mit Definition-2 :  »Zum Wesen gehören auch alle notwendigen Konsequenzen aus einer positiven Wesenseigenschaft« und mit der Definition für GOTT folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 : — ‚Gx↔G_essx‘ —, »‚Dasein‘ ist eine Wesenseigenschaft GOTTES.« Mit diesem, im Kalkül ohne Axiom-5 regulär abgeleitetem Theorem, widerlegt er KANT für den Spezialfall ‚G‘ := „GOTT“. Nachprüfbar im Anhang : im ‚ontologischen‘ Beweis für Theorem-2.)

»Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren doctor angelicus auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet und ihn als einen Paralogismus [:= Fehlschluss] betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis, [den GÖDEL vervollständigt hat,] der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch [:= ◇; möglich, konsistent; GÖDEL, aus Theorem-1 : ‚PX→◇∃xXx‘ »positive Eigenschaften sind widerspruchsfrei«, mit Axiom-3 : ‚PG‘, folgt Korollar-1 : ‚◇∃xGx‘ »GOTT ist möglich«]. Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist: gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er [notwendig, d.h. in jeder möglichen Welt wirklich ‚da‘], was das Privilegium der Gottheit allein ist. [Theorem-3 : ‚◇∃xGx→□∃xGx‘; mit Korollar-3 : ‚□∃xGx ˄ □∀y(Gy→x=y)‘ »Es gibt notwendig, d.h. wirklich, nur einen einzigen GOTT«.] Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist. Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln. [Aber nicht logisch zwingend ! Denn die Interpretation ‚G‘ mit dem GOTT der Bibel ist nicht zwingend, jedoch im christlichen Glaubenskontext sinnvoll; was mit einer stimmigen theologischen Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre auch die Frage beantwortbar, ob das System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seine Eigenschaften interpretieren lässt.] Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer [sic ! ] den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten, [was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen „mathematische Evidenz“ man heute mit Computerprogrammen schon nachgewiesen hat] ... «

Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer ‚G‘ z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die »zufällige Struktur der Welt« zu einem ‚Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte.

Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text :

»...ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig [sic ! ] (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung [dass GOTT wirklich ‚da‘ ist] mit allen bekannten Tatsachen [...] durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht.«

Die Interpretation des Kalküls

Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage: „Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT, (als eine ‚Rede von GOTT’ := ‚Theologie’) und seiner Eigenschaften interpretieren ? Ist hier eine genuin theologische Interpretation möglich ?“ Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem Theologen und Bischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die „mathematische Evidenz“ des GÖDEL-Formalismus ist allgemein anerkannt, (Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax). In meiner Darstellung des Kalküls folge ich in der Axiom-Nummerierung und in der Syntax der Arbeit von André FUHRMANN : ‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘ in ‚Logik in der Philosophie‘ hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg.

Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer theologischen Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 : ‚PE_not‘, »notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft«.

‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ : „Existenz ist keine Eigenschaft“. Unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge, kann man von der Menge ihrer Prädikate (Eigenschaften) sagen : sie gehören nicht zum ‚Ding an sich‘ selbst, sondern nur zu seiner Erscheinung. Diese macht die ‚Anschauung‘ (mit den Sinnen) eines Körpers aus. Das besagt, dass wir die ‚Existenz‘ eines Dinges, wie es ‚an sich‘ selbst ist, durch unsere Sinne gar nicht erkennen können, wohl aber die ‚Anschauung‘ der Eigenschaften in den Erscheinungen der Dinge. Soweit eine ‚Nacherzählung‘ der Positionen KANTS.

Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. (‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.) Dafür haben wir andere Fähigkeiten : Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich, auf Postkarten dargestellt, kaufen. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die rekonstruierte ‚Existenz‘ dieses Schlosses ist die Voraussetzung, die ‚Ursache‘, dass es so und so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann.

In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen „Cogito, ergo sum“ :

»Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen : ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens [eine wesentliche Eigenschaft] alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen [d.h. notwendig existierenden] Wesen machen. [Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, nach ARISTOTELES : »GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz (‚Wesenseigenschaft’) und Existenz (‚Dasein’) nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist«, konform mit GÖDEL :  »notwendige Existenz ist eine positive (wesentliche) Eigenschaft«]. Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als [logisch] gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch; [und als einfache Schlussfolgerung : meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘].« (Aus der Anmerkung 41 zu den ‚Paralogismen der reinen Vernunft‘, Kant-Werke Band 4, Seite 355, mit meinem Einschub aus Wikipedia zu AVICENNA)

Mit anderen Worten : „Die Eigenschaft, dass ich denke, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“, sondern, „Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“ Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet : „Was bist du ? “/„Wer bist Du ? “ Antwort, Exodus 3,14 : »Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘ (für euch und für immer)«. Weil GOTT immer schon ‚da‘ ist — „von Ewigkeit zu Ewigkeit“ — hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. (In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so : GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus.)

Wie gesagt, das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen theologischen Interpretation der GÖDEL-Axiomatik.

Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT

Die „mathematische Evidenz“ des GÖDEL-Kalküls, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten schon festgestellt worden, (im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe). Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘„Existenz-Beweis“ für GOTT, wofür es meistens gehalten oder bezweifelt wird. Sein „Dasein“ bzw. die „Existenz“ GOTTES ist mit Definition-1 bzw. mit dem Axiom-3 : — ‚PG‘ — im System ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ von vornherein (d.h. ‚implizit‘) schon eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ ‚G‘ := „Göttlichkeit“ (Essenz) und das „Dasein GOTTES“ (Existenz) ontologisch ‚identisch‘ sind, was GÖDEL im Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt : — ‚PE_not‘ — , »notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft«. Das „Dasein GOTTES“ ist faktisch äquivalent zur „notwendigen Existenz“; und „Göttlichkeit“ ist eine „positive Eigenschaft“. Beides ist nach Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe. Der im Voraus eigentlich alles schon entscheidende Term ‚G‘ := „GOTT“ | „göttlich“ wird mit Definition-1 ‚eingeführt‘ : — ‚Gx↔∀X(PX→Xx)‘ — ,  »x ist genau dann ‚GOTT‘ | ‚göttlich‘ — ‚G‘ —, wenn x alle positiven Eigenschaften hat«, vgl. den ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. (Das Axiom-3 — ‚PG‘ — wird standardmäßig gelesen als »Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft«, hat aber auch eine alternative Leseart : »GOTT ist perfekt d.h. vollkommen«, was ‚theologisch‘ auch richtig ist; mit ‚P‘  := „Perfektion“/„Vollkommenheit“ ist dann die Summe aller „positiven Eigenschaften“.) Mit Axiom-3 — in dieser ‚theologischen‘ Leseart — ist der ‚wenn-Satz‘ in Definition-1 ‚aufgelöst‘ : »GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist«.

In Definition-3 wird die „notwendige Existenz“ durch die „Wesenseigenschaften“ — ‚X_ess‘ — bestimmt : — ‚E_notx ↔ ∀X(X_essx →□∃yXy)‘ —. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in Definition-3 als auch im Axiom-5 das Theorem des ARISTOTELES von der ontologischen ‚Identität‘ von „Dasein“ (Existenz) und „Wesenseigenschaften“ (Essenz) im prinzipiell „unbewegten Erstbewegenden“ voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 : — ‚Gx→G_essx‘ — kann unter dieser Voraussetzung dann, ‚theologisch’ richtig und eindeutig, so gelesen werden : »Wenn x GOTT ist, dann ist GOTT-Sein (Existenz) das Wesen (Essenz) GOTTES«, statt der ‚theologisch’ unverbindlichen Lesearten : »Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens« [Gottesbeweis 2.1.2, GÖDEL-Theorem-2], oder »Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität«, mit der suggestiven Annahme, es gäbe mehrere göttliche Wesen. (Die Interpretation ‚G‘ := „GOTT“ ist synonym zum „Dasein (Existenz) GOTTES“, äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ „Göttlichkeit“, alias „göttlich zu sein“ = „GOTT zu sein“ = „GOTT-Sein“; und mit ‚G_ess‘ := „das Wesen (Essenz) GOTTES“.)

‚G‘ := „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „‚Da‘-Sein GOTTES“

Die Rechtfertigung für diese ‚theologischen‘ Äquivalenzen im GÖDEL-Kalkül gibt Axiom-5 : — ‚PE_not‘ — »notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft«. Hier hat GÖDEL explizit „Eigenschaft“ mit „Existenz“ bzw. „Sein“ gleichgesetzt; (was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur »zufälligen Struktur der Welt« gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist : „Existenz ist keine Eigenschaft“, bzw. „Sein ist kein reales Prädikat“). Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der philosophischen Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ (Essenz) „Göttlichkeit“ (ontologisch korrekt) gelesen werden als „das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“, nämlich zu seinem „GOTT-Sein“ (Existenz), zu seinem „ ‚Da‘-Sein als GOTT“; zur Tatsache, dass „GOTT GOTT ist“, d.h. dass „GOTT als GOTT ‚da‘ ist“. Das ist, (und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO), nach traditioneller Auslegung, die Funktion des ‚Wesens‘|„οὐσία“|‚usía‘ eines Seienden : es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; (es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘).

Da aber in GOTT (dem „unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“) Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von „οὐσία“ im „Erstbewegenden“ nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen — „ἐν-έργεια οὖσα “|‚en-érgeia ūsa‘ — ‚ins-Werk‘ gesetzt, („τὸ ἔργον“ | ‚das Werk‘; „ἐνέργεια“ | Wirksamkeit, Aktualität; „οὖσα“ feminin Nominativ Singular von „ὤν“|‚ôn‘|‚seiend‘) ‚im Sein‘ vollendet, ‚seiende Aktualität‘, „actus purus“, ‚reiner Akt‘, d.h. ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. GOTT ist wesentlich, d.h. „notwendig“ aus sich ‚da‘, m.a.W. ist „unverursacht“. Insofern ist „Göttlichkeit“ die „Wesenseigenschaft“, die im „Sein GOTTES“ d.h. in „GOTT“, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung — „Perfektion“, Axiom-3 : — ‚PG‘ — erreicht hat : »GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘ (d.h. notwendig) aus sich ‚da‘ und vollkommen« — ‚PE_not‘ — .

Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist : nur unter der Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von „Sein“ und „Wesen“, d.h. der ‚Gleichsetzung‘ von ‚notwendiger‘ „Existenz“ — ‚E_not‘ — mit ‚positive’ (wesentliche) Eigenschaften‘/„Essenz“ — ‚P‘ — ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik ! Diese ‚Identität‘ wird in ARISTOTELES, ‚Metaphysik‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt :

» … es muss [notwendig] etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘ [worden] zu sein, [‚unentstanden‘], alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘ [‚entstehen lässt‘]«, das ‚zugleich‘ „αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα“ | »[‚zeitlich‘] ewig, sowohl Wesen als auch seiende Aktualität [„actus purus“] ist«, bzw. „ὀρεκτόν καί νοητόν“ | »ersehnt und erkennbar ist.« (‚Metaphysik‘ XII 7, 1072a,23–1072b,4)

Diese ontologische ‚Identität‘ von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, (Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens), »ist das Privilegium der Gottheit allein« : mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten philosophischen Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte.

Die ‚positive Eigenschaft‘ »Göttlichkeit« — ‚G‘ — und das faktische »‚Da‘-Sein (Existenz) GOTTES« — ‚G‘ — ‚benennen‘ daher ontologisch ident denselben Sachverhalt, nämlich das, was wir das »Wesen (Essenz) GOTTES« — ‚G_ess‘ — nennen. »Göttlichkeit | GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES« bzw. »Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT | seine Göttlichkeit« m.a.W. »GOTT ist wesentlich, grundlos (d.h. notwendig) aus sich ‚da‘«. Das ist das Einzigartige im »Wesen GOTTES« : GOTT ist zeitlos-ewig immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein »Wesen« :

— ‚Gx↔G_essx‘ —

Damit kann GOTT ‚explizit‘ (mit Hilfe eines logischen Kalküls) genuin theologisch ‚bestimmt‘ werden : »GOTT ist genau deswegen GOTT, weil sein zeitlos-ewiges und an sich ‚grundloses‘ (aber für uns notwendiges) Dasein (Existenz) als GOTT, ontologisch — dem Sein nach — identisch ist mit seinem persönlichen und liebevollen Wesen (Essenz) als GOTT; und das gilt einzig und allein nur von GOTT.« Die philosophische Frage nach dem „Wesen GOTTES“ lautet (auf die Person bezogen) : „Was bist du ? “ Sie ist äquivalent zur theologisch-biblischen Frage : „Wer bist Du ? “ Die bekannte Antwort aus ‚Exodus 3,14‘ thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige „Dasein GOTTES“ : »Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘ (für euch und für immer)«. Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, theologisch ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden GOTT-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist.

Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, „unverursacht, grundlos“, immer schon ‚da‘ ist — „von Ewigkeit zu Ewigkeit“ — vorausgesetzt (‚angenommen‘), man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen ‚GOTT‘ : (Axiom-3 : — ‚PG‘ —, mit Definition-1 für — ‚G‘ —) ! Wer an GOTT glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des ontologischen Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL, »rein verstandesmäßig« überzeugen. Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt — ‚¬◇∃xGx‘ — (dezidierter Atheismus), führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚Gödels Möglichkeitsbeweis‘, in ‚Der Gödelsche Gottesbeweis‘, Seite17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt.

Das GÖDEL-Theorem-3 von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES — ‚□∃xGx‘ —, (mit seinem ‚Antezedens’, der ‚Widerspruchsfreiheit‘ GOTTES, — ‚◇∃xGx‘ —) ist dann nur noch eine weitere Explikation des ‚Basistheorems‘ des Kalküls über die ‚ontologische Identität‘ von dem faktischen „Dasein“ GOTTES, (d.h. von seiner ‚notwendigen Existenz‘), mit seinem „Wesen“ — ‚PE_not‘ —, (d.h. mit der ‚Perfektion‘ „Göttlichkeit“ — ‚PG‘ —); (siehe Anhang : Im ‚ontologischen‘ Beweisgang für Theorem-3 ist das Basis-Theorem-2 eine ‚unerlässliche’ Voraussetzung). Dieses ‚Basistheorem‘ ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES : GOTT ist „unverursacht, grundlos“ ‚da‘, von „Ewigkeit zu Ewigkeit“, denn es ‚ist‘ sein „Wesen“, immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die Theologie.

Die Bedeutung des Kalküls

Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘

KANT sagt :

»Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten [Eigenschaften] (worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage: ‚Gott ist‘ [GOTT existiert], oder ‚es ist ein Gott‘, so setze ich kein neues Prädikat [Eigenschaft] zum ‚Begriffe‘ von Gott, [‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT; ‚Existenz‘ ist keine ‚Eigenschaft‘], [...] Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste mehr, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese den ‚Begriff‘, jene aber den Gegenstand und dessen Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser [die 100 ‚wirklichen‘ Taler] mehr enthielte als jener, [als ihr ‚gedachter/möglicher‘ Begriff, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT argumentierte, …so würde] mein ‚Begriff‘ [der ‚gedachten‘ 100 Taler] nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch nicht der angemessene Begriff von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist mehr bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben [als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Taler] ... « (KANT-Werke Band 4, Seite 534.)

GÖDEL würde darauf antworten :

»Die „100 Taler“ sind der »zufälligen Struktur der Welt« entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, »unabhängig von der zufälligen [Raum-Zeit-]Struktur« unserer Welt, „über“ dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt : GOTT „existiert notwendig“ aus sich, und das ‚ist‘ die „positive Eigenschaft“ in GOTT, — ‚PE_not‘ —, weil GOTT „vollkommen“/„perfekt“ ist — ‚PG‘ —. ‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘; (notwendige ‚Existenz’ ist eine ‚Eigenschaft’ in GOTT) und nur bei GOTT ! GOTT ist das ‚einzige‘ „Wesen“ — ‚x‘ —, dass „notwendig“ aus sich ‚da’ ist, und es gibt, für jede mögliche Welt, ‚nur‘ einen GOTT : — ‚□∃xGx ˄ □∀y(Gy→x=y)‘ —.«

Die „Rede von GOTT“ in der philosophischen Tradition

»Das Erstbewegende, das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein, [‚unverursacht‘], alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘ [‚verursacht‘], ist sowohl [‚zeitlich‘] ewiges ‚Wesen‘ (‚οὐσία‘) als auch [‚zeitlich‘] ewig ‚seiende Aktualität‘ (‚ἐνέργεια οὖσα - actus purus‘) … Denn dies ist der ‚Gott‘ — ‚G‘ —, so sagen wir ja« : (ARISTOTELES — Grieche).

Der ‚Begriff’ „GOTT“ — ‚G‘ — ist äquivalent zum „göttlichen ‚Sein’“, das „vollkommen“/„perfekt“ ist — ‚PG‘ —, und das „notwendig“ ‚da‘ ist (‚Dasein‘) — ‚E_not‘ —, „von Ewigkeit zu Ewigkeit“. Das ist der angemessene Begriff von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT „vollkommen“ ist, ist „Dasein“ das „Wesen“ GOTTES : — ‚Gx↔G_essx‘ —. In GOTT sind „Essenz“ und „Existenz“ untrennbar, (sind ‚identisch‘ dasselbe), und »darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist« : (IBN SINA alias AVICENNA — Muslim).

Der ‚Begriff‘ „Vollkommenheit GOTTES“ — ‚P‘ —, (‚Perfektion‘, die Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘) schließt die ‚Eigenschaft’ „notwendige Existenz“ mit ein : — ‚PE_not‘ —. GOTT wäre nicht „vollkommen“, wenn er nicht auch ‚da‘ wäre, wenn er nicht „existierte“. ‚Sein’ ist mehr als ‚Nicht-Sein’. GOTT ist daher das »vollkommenste Wesen, über das nichts Vollkommeneres mehr ‚gedacht‘ werden kann« : (ANSELM von Canterbury — Christ).

Der ‚Begriff’ „Perfektion“ — ‚P‘ — schließt ein „Dasein“ ohne Anfang und Ende mit ein. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute „notwendige Existenz“ — ‚E_not‘ — GOTTES, »unabhängig von der zufälligen [Raum-Zeit-]Struktur« unserer Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. GOTT jedoch ist »unabhängig« von dieser „vergehenden Raum-Zeit“ — »jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas« (GÖDEL) —. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keine ‚Ursache‘ und keine ‚Wirkung‘, und so ist der zeitlos-ewige GOTT „unverursacht, grundlos“ ‚da‘ : (GÖDEL — ohne religiöses Bekenntnis)

Resümee :

Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit ‚mathematischer Evidenz‘, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, unter der Voraussetzung, dass die Axiome »unabhängig von der zufälligen Struktur« unserer Welt sind. Diese ‚philosophische‘ Rede von GOTT (»ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen«) hat eine mehr als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der „100 Taler-Gott“ des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren.

Kurt GÖDEL :

»Die theologische Weltanschauung [dass GOTT ‚da‘ ist] ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar«; [d.h. sie ist das Ergebnis der — vom Glauben geleiteten — ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘]. »Der Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ der Vernunft.« (Heilige KATHARINA von Siena).‘

Für KANT, (wie auch für uns), ist es ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. In der philosophischen Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff »GOTT« von allen anderen Begriffen so verschieden, dass für ihn die Logik KANTS nicht mehr gilt.

Dazu der Kommentar von HEGEL :

»Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff [‚GOTT‘] die Realität nicht herausklauben, so ist da der Begriff als endlich gefasst. [In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht das ‚Sein‘ folgt : „Sein ist kein reales Prädikat“.] Jedoch der Begriff ohne Sein [ist] ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist, [ist] das begrifflose Sein. Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt [im Endlichen zutrifft], kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben.«

Anhang : das GÖDEL-Kalkül

Legende zum GÖDEL-Kalkül

${\begin{aligned}{\text{ ◇ ↔ konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, }}&{\text{ □ ↔ notwendig ↔ in jeder möglichen Welt verwirklicht}}\\{\text{ A ├ B ::}}&{\text{ aus A ist B im Kalkül ,regulär ableitbar‘ (├ ):}}\\{\text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist }}&{\text{keine Eigenschaft) und :10: ist der Term in der Zeile 10}}\\{\text{ AE ::}}&{\text{ Argument Einführung, Prämisse }}\\{\text{ Xx ::}}&{\text{ die Variable x hat die Eigenschaft X }}\\{\text{ ¬PX ::}}&{\text{ X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion }}\\{\text{ Instanz(X := Y) ::}}&{\text{ Substitution der Eigenschaft X durch die Eigenschaft Y }}\\{\text{ FUB(x := y) ::}}&{\text{ Freie-Um-Benennung der Variable x in y }}\\{\text{ [G(y) ├ ⱯyG(y)] ::}}&{\text{ All-Operator Einführung der Variable y für GOTT }}\\{\text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann ist }}&{\text{ ,regulär ableitbar‘ (├ ), dass jedes y im Kalkül für GOTT steht“ }}\\{\text{[ⱯXA(X) ├ A(X)] ::}}&{\text{ All-Operator Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X }}\\{\text{ KOMM(↔) ::}}&\;{\text{[(A↔ B) ↔ (B ↔ A)] :: Kommutativgesetz für ( ↔ )}}\\{\text{ DIST(□˄) ::}}&\;{\text{[(□A ˄ □B) ↔ □(A ˄ B)] :: Distributivgesetz für (□˄ )}}\\{\text{ (häufige logische Schlussregel) ::}}&\;{\text{[A → B, A ├ B] :: (Modus ponendo ponens)}}\\{\text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist, }}&{\text{ dann ist im Kalkül ,regulär ableitbar‘ (├ ) dass auch B wahr ist“ }}\\{\text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::}}&\;{\text{[├ A ├ B ╞ A → B] :: (logische Implikation)}}\\{\text{ „Wenn A Axiom oder Prämisse ist, und B im Kalkül }}&{\text{ ,regulär ableitbar‘ ist, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B“ }}\\{\text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::}}&\;{\text{[├ ¬A → F ╞ A] :: (Reductio ad absurdum)}}\\{\text{ „Wenn im Kalkül ,regulär ableitbar‘ ist, dass aus ¬A }}&{\text{eine Kontradiktion F folgt, dann ist A ‚bewiesen‘ ( ╞ )“}}\\\end{aligned}}$

GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1
Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen
${\begin{aligned}{\text{(Axiom 1.1)}}&\quad P\neg X\;\Longrightarrow \;\ \neg P\ X\ &\ &{\text{„Entweder die Eigenschaft X oder ihre Negation ist positiv“}}\\{\text{(Axiom 2)}}&\quad P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \ Y\ x)\Rightarrow \ P\ Y&\ &{\text{„Die Eigenschaft Y, die aus der positiven Eigenschaft X }}\\{\text{ }}&\quad &\ &\;\;{\text{notwendig folgt, ist auch eine positive Eigenschaft“}}\\{\text{(Axiom 3)}}&\quad P\ G\ &\ &{\text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“}}\\{\text{(Theorem 1)}}&\quad P\ X\;\Longrightarrow \;\Diamond \;\exists x\ X\ x\ &\ &{\text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) }}\\{\text{ }}&{\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen ist !}}\\{\text{01}}&\quad P\ X\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, X ist eine positive Eigenschaft“}}\\{\text{02}}&\quad P\ X\;\Rightarrow \;\neg \Diamond \;\exists x\ X\ x\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, pos. Eigenschaften sind nicht konsistent“}}\\{\text{03}}&\quad (\neg x=..)\ &\ &{\text{ AE: „die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“}}\\{\text{04}}&\quad (\ x=..)\ &\ &{\text{ AE: „die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“}}\\{\text{05}}&\quad {\text{ ├ }}\;\neg \Diamond \;\exists x\ X\ x\ &\ &{\text{:01:02:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B] : AE:}}\\{\text{06}}&\quad \neg \neg \Box \neg \exists x\ X\ x\ &\ &{\text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)}}\\{\text{07}}&\quad \neg \neg \Box \neg \neg \forall x\neg \ X\ x\ &\ &{\text{:06:[ⱻxA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)}}\\{\text{08}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\forall x\neg X\ x\ &\ &{\text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)}}\\{\text{09}}&\quad \Box \;\forall x\neg X\ x\Leftrightarrow \ W&\ &{\text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)}}\\{\text{10}}&\quad \Box \;\forall x\ X\ x\Leftrightarrow \ F&\ &{\text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)}}\\{\text{11}}&\quad \ (\neg x=x)\Leftrightarrow \ F\;\ &{\text{ }}&{\text{Xx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !}}\\{\text{12}}&\quad \Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(\neg x=x))&{\text{ }}&{\text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: (ex falso sequitur quotlibet)}}\\{\text{13}}&\quad \ P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(\neg x=x))&\ &{\text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A˄B]}}\\{\text{14}}&\quad \ P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(\neg x=x))\Rightarrow \;P(\neg x=..)&\ &{\text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)}}\\{\text{15}}&\quad \ P(\neg x=..)&\ &{\text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)}}\\{\text{16}}&\quad \ P(\neg x=..)\;\Rightarrow \ \neg P(\ x=..)\ &\ &{\text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}}\\{\text{17}}&\quad \neg P(\ x=..)\ &\ &{\text{:15:16:[Modus ponens]}}\\{\text{18}}&\quad \ (x=x)\Leftrightarrow \ W\;\ &\ &{\text{Xx:04: Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !}}\\{\text{19}}&\quad \Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;\ (x=x))&\ &{\text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: (ex falso sequitur etiam verum)}}\\{\text{20}}&\quad \ P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(x=x))&\ &{\text{:01:19:[Konjunktion] :: [A, B ├ A˄B]}}\\{\text{21}}&\quad \ P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(x=x))\Rightarrow \ P(x=..)&\ &{\text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))}}\\{\text{22}}&\quad \ P(\ x=..)\ &\ &{\text{:20:21:[Modus ponens]}}\\{\text{23}}&\quad {\text{ ├ }}\;\neg P(\ x=..)\ \wedge \ P(\ x=..)\Leftrightarrow \ F&\ &{\text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}}\\{\text{24}}&\quad \neg \Diamond \;\exists x\ X\ x\Rightarrow \neg P(\ x=..)\ \wedge \ P(\ x=..)&\ &{\text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}}\\{\text{25}}&\quad \neg \neg \Diamond \;\exists x\ X\ x&\ &{\text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}}\\{\text{26}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Diamond \;\exists x\ X\ x&\ &{\text{:25:NEG; bzw. :05:23: [├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}}\\{\text{27}}&\quad \ P\ X\;\Longrightarrow \;\Diamond \;\exists x\ X\ x\ &\ &{\text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]}}\\{\text{(Theorem 1)}}&\;{\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen war !}}\\{\text{28}}&\quad \ P\ G\;\Longrightarrow \;\Diamond \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{:27:Instanz(X:=G) }}\\{\text{29}}&\quad \Diamond \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{(A3):28:[Modus ponens]}}\\{\text{(Korollar 1)}}&\;{\text{„Das Dasein GOTTES ist möglich“}}&\ &{\text{„Es ist denkbar, dass es einen GOTT gibt“}}\\\end{aligned}}$

Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN : Die Notation (¬x=..) für die Eigenschaft: "nicht mit x identisch zu sein" („Anderssein“) ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie λy.(¬x=y). Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck λy.(¬x=y) gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck ¬λy.(x=y). Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konvention : λy.Xy.x ↔ Xx mit der Instanz (X:=(¬x=..)) so schließen dürfen : λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ ¬λy.(x=y).x.

GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2
Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe______________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen
${\begin{aligned}{\text{(Axiom 1.2)}}&\quad \neg P\ X\;\Longrightarrow \;\ P\neg X\ &\ &{\text{„Entweder die Eigenschaft X oder ihre Negation ist positiv“}}\\{\text{(Axiom 3)}}&\quad \ P\ G\ &\ &{\text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“}}\\{\text{(Axiom 4)}}&\quad \ P\ X\;\Longrightarrow \;\Box \;\ P\ X\ &\ &{\text{„Eine positive Eigenschaft ist notwendig positiv“}}\\{\text{(Definition 1)}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\forall X(\ P\ X\Longrightarrow \ X\ x)\ &\ &{\text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften besitzt“}}\\{\text{(Definition 2)}}&\quad \ X_{ess}\ x\;\Leftrightarrow X\ x\wedge \forall Y\left(\ Y\ x\Rightarrow \Box \;\forall y(\ X\ y\Rightarrow \ Y\ y)\right)&\ &{\text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und}}\\{\text{ }}&\quad &{\text{ }}&\;\;{\text{alle anderen Eigenschaften Y von x aus dieser Eigenschaft notwendig folgen“}}\\{\text{[RM]}}&\quad \ A\;\Longrightarrow \;\ B\;{\text{ ├ }}\;\Box \;A\Longrightarrow \;\Box \;\ B\ &\ &{\text{( :: Modales Prinzip)}}\\{\text{(Theorem 2)}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\ G_{ess}\ x\ &\ &{\text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)}}\\{\text{ }}&\;{\text{„Das Wesen GOTTES ist Dasein“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen ist !}}\\{\text{01}}&\quad \ G\ x\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, x ist GOTT“}}\\{\text{02}}&\quad \ Y\ x\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, x hat die Eigenschaft Y“}}\\{\text{03}}&\quad \neg P\ Y&\ &{\text{ AE: „Angenommen, Y sei keine positive Eigenschaft“}}\\{\text{04}}&\quad \ P\neg Y\ &\ &{\text{(A1.2):Instanz(X:=Y):03:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B] }}\\{\text{05}}&\quad \forall X(\ P\ X\Rightarrow \ X\ x)\ &\ &{\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)}}\\{\text{06}}&\quad \ P\ X\Rightarrow \ X\ x\ &\ &{\text{:05:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)}}\\{\text{07}}&\quad \ P\neg Y\Rightarrow \neg Y\ x\ &\ &{\text{:06:Instanz(X:=¬Y) :: (Substitution für Eigenschaften)}}\\{\text{08}}&\quad \neg Y\ x\ &\ &{\text{:04:07:[Modus ponens]}}\\{\text{09}}&\quad {\text{ ├ }}\;Y\ x\wedge \neg Y\ x\;\Leftrightarrow \;\ F\ &\ &{\text{:02:08:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}}\\{\text{10}}&\quad \neg P\ Y\;\Rightarrow \;Y\ x\wedge \neg Y\ x\ &\ &{\text{:03:09:[├A├B ╞ A → B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}}\\{\text{11}}&\quad \neg \neg P\ Y\ &\ &{\text{:10:[Modus tollendo tollens] :: [A → B,¬B├ ¬A]}}\\{\text{12}}&\quad {\text{ ├ }}\;P\ Y\ &\ &{\text{:11:NEG; bzw. :03:09: [├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:}}\\{\text{13}}&\quad \ P\ Y\;\Rightarrow \;\Box \;\ P\ Y\ &\ &{\text{(A4):Instanz(X:=Y)}}\\{\text{14}}&\quad \Box \;\ P\ Y\ &\ &{\text{:12:13:[Modus ponens]}}\\{\text{15}}&\quad \ G\ y\Rightarrow \ Y\ y\ &\ &{\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)}}\\{\text{16}}&\quad {\text{ ├ }}\;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y)\ &\ &{\text{:15:[G(y) ├ ⱯyG(y)]}}\\{\text{17}}&\quad \ P\ Y\;\Rightarrow \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y)\ &\ &{\text{:12:16:[├A├B ╞ A→B]}}\\{\text{18}}&\quad \Box \;\ P\ Y\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y)\ &\ &{\text{:17:[RM]}}\\{\text{19}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y)\ &\ &{\text{:14:18:[Modus ponens]}}\\{\text{20}}&\quad \ Y\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y)\ &\ &{\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]}}\\{\text{21}}&\quad \ (Y\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y))\wedge \ G\ x&\ &{\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A, B├ A ˄ B]}}\\{\text{22}}&\quad \ (Y\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ X\ y\Rightarrow \ Y\ y))\wedge \ X\ x\;\Leftrightarrow \;X_{ess}\ x\ &\ &{\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(˄):[ⱯYA(Y) → A(Y)] wegen :12:}}\\{\text{23}}&\quad \ (Y\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y))\wedge \ G\ x\;\Leftrightarrow \;G_{ess}\ x\ &\ &{\text{:22:Instanz(X:=G)}}\\{\text{24}}&\quad {\text{ ├ }}\;G_{ess}\ x\ &\ &{\text{:21:23:[Modus ponens] : AE: wegen :30:}}\\{\text{25}}&\quad \ G\ x\;\Rightarrow \;\ G_{ess}\ x\ &\ &{\text{:01:24:[├A├B ╞ A→B]}}\\{\text{26}}&\quad \forall X(\ P\ X\Rightarrow \ X\ x)\ &\ &{\text{(D1):01:[Modus ponens] }}\\{\text{27}}&\quad \ P\ X\Rightarrow \ X\ x\ &\ &{\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]}}\\{\text{28}}&\quad \ P\ G\Rightarrow \ G\ x\ &\ &{\text{:27:Instanz(X:=G)}}\\{\text{29}}&\quad {\text{ ├ }}\;G\ x\ &\ &{\text{(A3):28:[Modus ponens]}}\\{\text{30}}&\quad \ G_{ess}\ x\;\Rightarrow \ G\ x\ &\ &{\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] }}\\{\text{31}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\ G_{ess}\ x\ &\ &{\text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ˄ (B→A) ↔ (A↔B)] }}\\{\text{(Theorem 2)}}&\;{\text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen war ! }}\\{\text{32}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ (x=y))\ &\ &{\text{:19:Instanz(Y:=(x=..))}}\\{\text{33}}&\quad \ G\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ (x=y))\ &\ &{\text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]}}\\{\text{(Korollar 2)}}&\;{\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“}}&\ &{\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“}}\\\end{aligned}}$

GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3
Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen
${\begin{aligned}{\text{(Axiom 5)}}&\quad P\ E_{not}\;\ &{\text{ }}&{\text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“}}\\{\text{ }}&{\text{( :: Das gilt nur dann, wenn ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ }}&\ &{\text{( :: dagegen KANT : ‚Existenz‘ ist keine ‚Eigenschaft‘,}}\\{\text{ }}&\;\;{\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES)}}\ &\ &\;\;{\text{‚Sein‘ ist für alles, was existiert, keine ‚reales Prädikat‘ ! )}}\\{\text{(Definition 1)}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\forall X(\ P\ X\Longrightarrow \ X\ x)\ &\ &{\text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“}}\\{\text{(Definition 3)}}&\quad \ E_{not}\ x\;\Longleftrightarrow \;\ \forall X\left(\ X_{ess}\ x\Rightarrow \Box \;\exists y\ X\ y\right)&\ &{\text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn}}\\{\text{ }}&\quad &\ &\;\;{\text{alle wesentlichen Eigenschaften von x notwendig verwirklicht sind“}}\\{\text{(Korollar 1)}}&\quad \Diamond \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{„Es ist möglich, dass es einen GOTT gibt“}}\\{\text{(Theorem 2)}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\ G_{ess}\ x\ &\ &{\text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“}}\\{\text{(Korollar 2)}}&\quad \ G\ x\;\Longrightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ (x=y))\ &\ &{\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“}}\\{\text{(Theorem 3)}}&\quad \Diamond \;\exists x\ G\ x\;\Longrightarrow \;\Box \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{( :: ANSELMS Prinzip)}}\\{\text{ }}&{\text{„Wenn GOTT möglich ist, dann gibt es GOTT notwendig“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen ist !}}\\{\text{01}}&\quad \ G\ y\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, y ist GOTT“}}\\{\text{02}}&\quad \ G\ y\;\Leftrightarrow \;\forall X(\ P\ X\Rightarrow \ X\ y)\ &\ &{\text{(D1):FUB(x:=y) :: (Freie-Um-Benennung der Variablen)}}\\{\text{03}}&\quad \forall X(\ P\ X\Rightarrow \ X\ y)\ &\ &{\text{:01:02:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)}}\\{\text{04}}&\quad \ P\ X\Rightarrow \ X\ y\ &\ &{\text{:03:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)}}\\{\text{05}}&\quad \ P\ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ y\ &\ &{\text{:04:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)}}\\{\text{06}}&\quad \ E_{not}\ y\ &\ &{\text{(A5):05:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B]}}\\{\text{07}}&\quad \ E_{not}\ y\;\Leftrightarrow \;\ \forall X\left(\ X_{ess}\ y\Rightarrow \Box \;\exists x\ X\ x\right)&\ &{\text{(D3):FUB(x:=y):FUB(y:=x)}}\\{\text{08}}&\quad \forall X\left(\ X_{ess}\ y\Rightarrow \Box \;\exists x\ X\ x\right)&\ &{\text{:06:07:[Modus ponens]}}\\{\text{09}}&\quad \ X_{ess}\ y\Rightarrow \Box \;\exists x\ X\ x&\ &{\text{:08:[ⱯXA(X) ├ A(X)]}}\\{\text{10}}&\quad \ G_{ess}\ y\Rightarrow \Box \;\exists x\ G\ x&\ &{\text{:09:Instanz(X:= G)}}\\{\text{11}}&\quad \ G\ y\;\Rightarrow \;\ G_{ess}\ y\ &\ &{\text{(Th2):FUB(x:=y):BIKONDITIONAL:[Vereinfachung] :: [A˄B ├ A]}}\\{\text{12}}&\quad \ G_{ess}\ y\ &\ &{\text{:01:11:[Modus ponens]}}\\{\text{13}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\exists x\ G\ x&\ &{\text{:10:12:[Modus ponens]}}\\{\text{14}}&\quad \Diamond \exists x\ G\ x\;\Longrightarrow \;\Box \;\exists x\ G\ x&\ &{\text{(K1):13:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}}\\{\text{(Theorem 3)}}&\;{\text{„Wenn GOTT möglich ist, dann gibt es GOTT notwendig“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen war !}}\\{\text{15}}&\quad \ G\ x\ &\ &{\text{:01:FUB(y:=x)}}\\{\text{16}}&\quad \Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ (x=y))\ &\ &{\text{(K2):15:[Modus ponens]}}\\{\text{17}}&\quad \Box \;(\exists x\ G\ x\wedge \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ (x=y)))\ &\ &{\text{:13:16:[Konjunktion] :: [A, B ├ A˄B] :DIST(□˄)}}\\{\text{(Korollar 3)}}&\;{\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“}}&\ &{\text{„Es gibt für alle mögliche Welten nur einen GOTT“}}\\\end{aligned}}$

Anmerkung 1 : GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘ die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten Annahmen (Axiome, Definitionen, Prämissen) etwas anderes als das Vorausgesetzte auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der Voraussetzungen, (wahr, bzw. wahrscheinlich), ist auch der ,Schlusssatz‘ wahr, bzw. wahrscheinlich ! Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,mathematisch evident‘, d.h. ,ist gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht vom Kalkül abhängen, wie hier : »(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr«, wie GÖDEL selbst hinzufügt.

Anmerkung 2 : Das schon bewiesene Theorem-2, d.h. die Gleichsetzung von „Sein“ und „Wesen“ in GOTT, (‚Existenz‘ und ‚Essenz‘), rechtfertigt sowohl Axiom-5 als auch die Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung im GÖDEL-Kalkül korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist.

Anmerkung 3 : Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül : „positive Eigenschaft“, bzw. „Perfektion“|„Vollkommenheit“, — ‚P‘ — , dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne näher ‚bestimmt‘ worden zu sein. In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist er verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, — ‚G‘ —, die Rede : Korollar-1, „Es ist denkbar, das es GOTT gibt“, Theorem-2, „Dasein ist das Wesen GOTTES“, Theorem-3, „Wenn GOTT denkbar, d.h. möglich ist, dann gibt es GOTT wirklich“, (wie ANSELM von Canterbury sagt, und was das ‚Privilegium der Gottheit allein‘ ist, nach LEIBNIZ), und Korollar-3, „Es gibt für alle möglichen Welten nur einen GOTT“. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Ergebnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheit‘ GOTTES näher bestimmen zu müssen; außer im Theorem-2, in dem das „Dasein“ GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste „Wesenseigenschaft“ in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT.

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Fußnote