Ing: Grundlagen der Elektrotechnik/ Druckversion/ Transformator

Einphasentransformator

Der Transformator ist eine elektrische Maschine. Er wandelt eine Wechselspannung in eine Wechselspannung anderer Höhe um, bei gleicher Frequenz.

Dabei gilt das Induktionsgesetz der Ruhe:

• Es muss sich der Magnetfluss ändern
• Der Magnetfluss wird von einer Spule umfasst

Wird an die Primärseite (Eingangsseite) des Transformators eine Wechselspannung angelegt, so induziert die Primärspule auf die Sekundärspule (Ausgangsseite) eine Wechselspannung.

Die Größe der Ausgangsspannung U_sek hängt von der Größe der Eingangsspannung U_prim und dem Spulen-Windungsverhältnis ab.

${\frac {U1}{U2}}={\frac {N1}{N2}}$

U = Spannung

N = Windungszahl

Beispiel: U_prim = 230V /100N U_sek 10N = 23V >>>> Übersetzungverhältnis: 10/1

2. Beispiel

Gegeben sei ein Einphasentransformator mit 230V/25V, 50 Hz. Die Sekundärwicklung besitzt 80 Windungen.

a) Wieviele Windungen besitzt die Primärwicklung?

$Gegeben\ {\text{:}}$

$U_{1}=230\ {\text{V}}$

$U_{2}=25\ {\text{V}}$

$N_{2}=\ {\text{80}}$

$Gesucht\ {\text{:}}$

$N_{1}=\ {\text{?}}$

$Loesung\ {\text{:}}$

${\frac {N_{1}}{N_{2}}}={\frac {U_{1}}{U_{2}}}$

$N_{1}=N_{2}\cdot {\frac {U_{1}}{U_{2}}}$

$N_{1}=80\cdot {\frac {230{\text{V}}}{25{\text{V}}}}$

$N_{1}=\ {\text{736}}$

Antwort: Die Primärwicklung besitzt 736 Windungen.

b) Wie groß ist der Wert des magnetischen Flusses im Eisenkern?

$Gegeben\ {\text{:}}$

$U_{2}=25\ {\text{V}}$

$N_{2}=\ {\text{80}}$

$f=50\ {\text{Hz}}$

$Gesucht\ {\text{:}}$

$magnetischerFluss\ {\text{= }}\Phi$

$Loesung\ {\text{:}}$

$\Phi =\int {\vec {B}}\cdot {\rm {{}d{\vec {A}}}}$

$Transformatorenhauptgleichung\ {\text{: }}U_{eff}\approx 4{,}44\cdot {\widehat {B}}\cdot A\cdot f\cdot N$

$Beispiel\ {\text{: }}U_{2}\approx 4{,}44\cdot {\widehat {B}}\cdot A\cdot f\cdot N_{2}$

${\widehat {B}}\cdot A{\text{ ersetzen durch }}\Phi$

$U_{2}\approx 4{,}44\cdot \Phi \cdot f\cdot N_{2}$

${\text{umstellen nach }}\Phi$

$\Phi \approx {\frac {U_{2}}{4{,}44\cdot f\cdot N}}$

$\Phi \approx {\frac {25{\text{V}}}{4,44\cdot 50{\text{Hz}}\cdot 80}}$

$1{\text{Hz}}={\frac {1}{s}}$

$\Phi \approx {\frac {25{\text{V}}}{4,44\cdot 50{\frac {1}{s}}\cdot 80}}$

$\Phi \approx {\frac {25{\text{V}}\cdot {\text{s}}}{4,44\cdot 50\cdot 80}}$

$\Phi \approx 0,0014\ {\text{Vs}}\approx 1,4{\text{mVs}}$

Antwort: Der magnetische Fluss im Eisenkern beträgt 1,4 mVs.

c) Mit welchem Strom wird das 230V-Netz belastet, wenn der Transformator verlustfrei 4,2 A abgibt?

$Gegeben\ {\text{:}}$

$I_{2}=\ {\text{4,2 A}}$

$U_{1}=\ {\text{230 V}}$

$U_{2}=\ {\text{25 V}}$

$Gesucht\ {\text{:}}$

$I_{1}=\ {\text{?}}$

$Loesung\ {\text{:}}$

${\text{Es gilt: }}{U_{1}\cdot I_{1}}={U_{2}\cdot I_{2}}$

$I_{1}=I_{2}\cdot {\frac {U_{2}}{U_{1}}}$

$I_{1}={\text{4,2 A}}\cdot {\frac {\text{25 V}}{\text{230 V}}}$

$I_{1}=\ {\text{0,46 A}}$

Antwort: Das 230V-Netz wird mit 0,46 A oder 460mA belastet, wenn der Transformator verlustfrei 4,2 A abgibt.

3. Beispiel

Gegeben sei ein Transformator mit einer Primärspannung von 230 Volt und einer Primärwicklung von 920.

a) Wie groß ist die Sekundärspannung in einer Windung der Sekundärwicklung?

$Gegeben\ {\text{:}}$

$U_{1}=230\ {\text{V}}$

$N_{1}=\ {\text{920}}$

$N_{2}=\ {\text{1}}$

$Gesucht\ {\text{:}}$

$U_{2}=\ {\text{?}}$

$Loesung\ {\text{:}}$

${\frac {N_{1}}{N_{2}}}={\frac {U_{1}}{U_{2}}}$

$U_{2}={\frac {U_{1}\cdot N_{2}}{N_{1}}}$

$U_{2}={\frac {{\text{230 V}}\cdot {\text{1}}}{\text{920}}}$

$U_{2}={\frac {\text{23}}{\text{92}}}={\frac {1}{4}}={\text{0,25 V}}$

Antwort: In einer Windung der Sekundärwicklung werden 0,25 Volt induziert.

4. Beispiel

Gegeben sei ein Einphasentransformator. Die maximale Flussdichte beträgt 1,2 T. Die wirksame Eisenquerschnittsfläche betrage 200 cm². Primärseitig ist der Trafo an 6 kV/50 Hz angeschlossen. 400 V sei die Sekundär-Leerlauf-Spannung.

a) Wie viele Windungen besitzt die Primärwicklung?

$Gegeben\ {\text{:}}$

$B=1,2\ {\text{T (Tesla)}}={\text{1,2 }}{\frac {V\cdot s}{m\cdot m}}$

$A=200cm\cdot cm=0,02m\cdot m$

$U_{1}=\ {\text{6 kV = 6000 V}}$

$f=\ {\text{50 Hz = 50}}{\frac {1}{s}}$

$U_{2}=\ {\text{400 V}}$

$Gesucht\ {\text{:}}$

$N_{1}=\ {\text{?}}$

$Loesung\ {\text{:}}$

$Transformatorenhauptgleichung\ {\text{: }}U_{eff}\approx 4{,}44\cdot {\widehat {B}}\cdot A\cdot f\cdot N$

$N_{1}={\frac {U_{1}}{4,44\cdot f\cdot B\cdot A}}$

$N_{1}={\frac {6000V}{4,44\cdot 50Hz\cdot 1,2T\cdot 0,02m\cdot m}}$

$N_{1}={\frac {6000V}{4,44\cdot 50{\frac {1}{s}}\cdot 1,2{\frac {Vs}{m\cdot m}}\cdot 0,02m\cdot m}}$

$N_{1}={\frac {6000}{4,44\cdot 50\cdot 1,2\cdot 0,02}}\cdot {\frac {V\cdot s\cdot m\cdot m}{V\cdot s\cdot m\cdot m}}$

$N_{1}=\ {\text{1126}}$

Antwort: Die Primärwicklung besitzt 1126 Windungen.

Grundlage: Transformator-Hauptgleichung

U₀ = 4,44 * B_dach *A* f_fe * f * N

U₀ = induzierte Spannung,

B_dach = max. magnetische Flussdichte

A = Fläche des Eisenkerns

f = Netzfrequenz

N = Windungszahl

f_fe= Eisenfüllfaktor z.B. 0,95

Dreiphasentransformator

Ein Dreiphasentransformator funktioniert nach dem gleichen Prinzip wie ein Einphasentransformator.

Wird an die Primärseite (Eingangsseite) des Transformators eine Wechselspannung angelegt, so induziert das sich ändernde Magnetfeld der Primärspule in der Sekundärspule (Ausgangsseite) eine Wechselspannung.

Beim Dreiphasenwechselstrom (man spricht auch von Drehstrom) liegen drei gleich hohe Wechselspannungen an drei galvanisch getrennten primärseitigen Spulen an. Diese Spannungen sind jedoch in der Phasenlage (also dem Zeitpunkt des Nulldurchgangs) um 120° verschoben. Dadurch wird in den drei Spulen der Sekundärseite ebenfalls eine um jeweils 120° verschobene Wechselspannung induziert. Man erhält damit wieder Drehstrom.

Die Größe der Sekundärspannung U₂ hängt von der Größe der Primärspannung U₁ und dem Windungsverhältnis ab. Damit ist es möglich, Spannungen hoch- oder herunterzutransformieren.

${\frac {U_{1}}{U_{2}}}={\frac {N_{1}}{N_{2}}}$

mit U= Spannung; N= Windungszahl

Beispiel:

$U_{1}=10\,kV$,

$N_{1}=100\,$,

$N_{2}=10\,$,

$U_{2}=U_{1}\cdot N_{2}/N_{1}$

$U_{2}=10\,kV\cdot 10/100=1\,kV$

Übersetzungverhältnis: 10/1

 

Modelle des Transformators

Das Kapitel Modelle des Transformators beschreibt mittels verschieden komplexer Modelle die elektrischen und magnetischen Verhältnisse eines Transformators. Das Ziel ist, durch die im Modell vorgenommen Vereinfachungen und Beschränkungen auf wesentliche Einflussfaktoren Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten einfacher bilden und beschreiben zu können.

Zunächst werden anhand des vereinfachten Modelles des idealen Transformators die grundlegenden Gesetzmäßigkeiten dargestellt, um diese dann durch eine detaillierte Darstellung im Rahmen des realen Transformators zu erweitern.

Idealer Transformator

Idealer Transformator

Der ideale Transformator ist durch einen Übersetzungsfaktor γ zwischen elektrischen Strömen i(t) und zwischen elektrischen Spannungen u(t) gekennzeichnet. Die Relation zwischen den Strömen und Spannungen stellt die Impedanz Z her. Er enthält keine frequenzabhängigen Glieder und arbeitet verlustfrei und ohne Verzögerung.

Der ideale Transformator kann damit als elektrischer Vierpol mit den Eingangsgrößen u₁(t) und i₁(t), den Ausgangsgrößen u₂(t) und i₂(t) sowie dem Übertragungsfaktor γ ≠ 0 beschrieben werden als:

$u_{2}(t)={\frac {1}{\gamma }}\cdot u_{1}(t)\,$

$i_{2}(t)=-\gamma \cdot i_{1}(t)\,$

Die Größen u₁(t) und i₁(t) heißen Primärgrößen des Transformators. Die Größen u₂(t) und i₂(t) heißen Sekundärgrößen des Transformators. Für einen Übertragungsfaktor γ größer als 0 heißt der Transformator „gleichsinnig gewickelt“, für γ kleiner als 0 heißt er „gegensinnig gewickelt“.

Primär- und Sekundärseite sind galvanisch getrennt. Für die Richtungen von Strömen und Spannungen gelten im Zusammenhang mit den Formeln die rechts in der Abbildung dargestellten Zählpfeile.

In der komplexen Wechselstromrechnung, welche nur bei harmonischen Verlauf anwendbar ist, lauten die Vierpolgleichungen:

${\underline {U}}_{2}={1 \over \gamma }\cdot {\underline {U}}_{1}\,$

${\underline {I}}_{2}=-\gamma \cdot {\underline {I}}_{1}\,$

Dabei sind komplexe Größen zur Unterscheidung unterstrichen dargestellt.

Der Übertragungsfaktor γ entspricht dem Wicklungsverhältnis der Wicklungszahlen auf Primärseite mit n₁ und der Sekundärseite mit n₂. Der Übertragungsfaktor ist gleich dem Verhältnis der Eigeninduktivität L₁ der Primärseite und L₂ der Sekundärseite:

$\gamma ={\frac {n_{1}}{n_{2}}}={\sqrt {\frac {L_{1}}{L_{2}}}}$

In der deutschsprachigen Literatur wird anstelle des Symbols γ häufig auch der Buchstabe ü für die Bezeichnung des Übertragungsfaktors verwendet.

Das Modell des idealen Transformators vernachlässigt alle weiteren Randeffekte und wird als ein Teil zur Modellierung realer Transformatoren in einem Ersatzschaltbild verwendet. Insofern stellt das Modell ein effektives Mittel zur Analyse und Synthese elektrischer Transformatorschaltungen dar.

Das Modell erlaubt in dieser Form auch die Wandlung von Gleichgrößen wie Gleichspannungen und Gleichströme, da keinerlei Zeitbezüge vorhanden sind. Dieser Umstand stellt nur einen Grenzfall dar, da eine Gleichgröße eine periodische Wechselgröße mit einer gegen unendlich strebenden Periodendauer darstellt.

Energiewandlung

Der ideale Transformator ist ein reiner Energiewandler ohne Energiespeicher. Die angenommen primärseitig in den Transformator eingespeiste Leistung P₁ ist zu jedem Zeitpunkt identisch mit der dem Transformator sekundärseitig entnommenen Leistung -P₂:

$P_{1}=-P_{2}=u_{1}(t)\cdot i_{1}(t)=-u_{2}(t)\cdot i_{2}(t)$

Das negative Vorzeichen ergibt sich durch die übliche Konvention des Verbraucherzählpfeilsystems. Diese Leistungsbilanzgleichung ist die Grundlage für die Strom-, Spannungs- und Widerstandstransformation eines Transformators.

In der komplexen Wechselstromrechnung lautet die Leistungsbilanz äquivalent:

${\underline {U}}_{1}\cdot {\underline {I}}_{1}^{*}=-{\underline {U}}_{2}\cdot {\underline {I}}_{2}^{*}={\underline {U}}_{1}\cdot {\underline {I}}_{1}=-{\underline {U}}_{2}\cdot {\underline {I}}_{2}$

Der Stern * deutet an, dass die konjugiert-komplexen Größen verwendet sind.

Die Gleichsetzung der komplexen Ströme mit ihren Konjugierten ergibt sich aus dem Umstand, dass der Übertragungsfaktor γ reell ist und damit keine Phasendifferenz zwischen Primär- und Sekundärseite vorliegt.

Spannungs- und Stromtransformation

Aus den Definitionsgleichungen ergibt sich im Rahmen der komplexen Wechselstromrechnung unmittelbar:

${{\underline {U}}_{1} \over {\underline {U}}_{2}}=-{{\underline {I}}_{2} \over {\underline {I}}_{1}}=\gamma ={n_{1} \over n_{2}}\,$

Als einfacher Gedankenstütze kann dabei dienen: Auf der Seite mit dem höheren Strom stellt sich die geringere Spannung ein und umgekehrt.

Widerstandstransformation

Beschaltet man eine Seite des Transformators mit einer Impedanz Z, so legt diese auf der betreffenden Seite das Verhältnis von Spannung zu Strom fest. Für einer beliebig gewählte Seite x gilt:

${{\underline {U}}_{x} \over {-{\underline {I}}_{x}}}={\underline {Z}}\,$

Mithilfe der Transformationsgleichungen ergibt sich für das Verhältnis von Spannung zu Strom auf der anderen Seite y des Transformators:

${{\underline {U}}_{y} \over {\underline {I}}_{y}}=\gamma ^{2}\cdot {{\underline {U}}_{x} \over {-{\underline {I}}_{x}}}=\gamma ^{2}\cdot {\underline {Z}}\,$

Das heißt, eine beliebige Impedanz wird mit dem Faktor γ² auf die jeweils andere Seite des Transformators übertragen.

Beispiel 1

Beispiel 1 zur Spannungs-, Strom- und Widerstandstransformation

Eine Wechselspannungsquelle U₁ mit einem Innenwiderstand von 0 Ω treibt primärseitig einen Transformator mit dem Übertragungsfaktor γ = ¹/₃ und dem sekundärseitigen Widerstand R = 50 Ω.

Dem Übertragungsverhältnis entsprechend gilt U₂ = 3 · U₁. Mit der Elementgleichung für ohmsche Widerstände, dem ohmschen Gesetz, ergeben sich die beiden Ströme:

${{\underline {I}}_{2}}=-{{\underline {U}}_{2} \over R}=-{{3\cdot {\underline {U}}_{1}} \over R}$

${{\underline {I}}_{1}}=3\cdot -I_{2}=9\cdot {{{\underline {U}}_{1}} \over R}={{{\underline {U}}_{1}} \over {R \over 9}}={{{\underline {U}}_{1}} \over {5{,}55\Omega }}$

Die Spannung erhöht sich bei der Transformation auf die Sekundärseite um den Faktor 3, der Strom vermindert sich um den Faktor 3. Die Impedanz auf der Primärseite stellt nur ¹/₉ der auf der Sekundärseite anliegenden Impedanz dar.

Beispiel 2

Beispiel 2 zur Spannungs-, Strom- und Widerstandstransformation

Eine Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand von 50 Ω treibt über einen Transformator mit dem Wicklungsverhältnis 1:3 eine Last R. Wie groß ist die Last zu wählen, damit eine maximale Leistung übertragen wird?

Die Last R beträgt auf der Primärseite nur R/9. Für Leistungsanpassung ergibt sich somit für den Lastwiderstand R:

$R=50\cdot 9\ \Omega =450\ \Omega$.

Verlustloser Transformator

Ausgehend vom idealen Transformator wird der verlustlose Transformator durch einen magnetischen Kreis beschrieben, in welchem magnetische Flüsse, mit dem Symbol Φ bezeichnet, auftreten. Elektrisch wird dieses Verhalten durch Induktivitäten beschrieben. Das Kernmaterial des magnetischen Kreises ist dabei frei von Sättigungseffekten und mit konstanten Leitfähigkeiten angenommen.

Die ideale Voraussetzung, dass die magnetische Flussdichte in den beiden Spulen auf Primär- und Sekundärseite identisch ist, wird wegen des endlich großen magnetischen Widerstandes des Kernmaterials und durch die räumliche Anordnung und Größe der Wicklungen nur näherungsweise erreicht. Die Folge davon sind Streuflüsse welche in Form von Streuinduktivitäten modelliert werden.

Magnetisch gekoppeltes Spulenpaar

Kopplungskoeffizient oder Kopplungsfaktor

Das nebenstehende Bild zeigt die verwendeten Größen und den Richtungssinn der Spulenwicklungen. Der magnetische Fluss Φ ist definitionsgemäß rechtshändig mit den entsprechenden Strömen gekoppelt.

Nimmt man gleichsinnig gewickelte Spulen an und bezeichnet mit

1. Φ₁ den Fluss, den die Primärspule erzeugt
2. Φ_σ1 den Streufluss der Primärspule, d. h. der Fluss der Primärspule, der nicht in die Sekundärspule gelangt
3. Φ₁₂ den Fluss, der von der Primärspule in die Sekundärspule gelangt
4. Φ₂ den Fluss, den die Sekundärspule selbst erzeugt
5. Φ_σ2 den Streufluss der Sekundärspule, d. h. den Fluss der Sekundärspule, der nicht in die Primärspule gelangt
6. Φ₂₁ den Fluss, der von der Sekundärspule in die Primärspule gelangt

Damit ergeben sich in der Primär- und Sekundärspule die Flüsse:

$\Phi _{1}=\Phi _{\sigma 1}+\Phi _{12}$

$\Phi _{2}=\Phi _{\sigma 2}+\Phi _{21}$

Die primäre Gesamtinduktivität L₁ bzw. sekundäre Gesamtinduktivität L₂ ist dann:

$L_{1}={\frac {n_{1}\Phi _{1}}{i_{1}}},\qquad L_{2}={\frac {n_{2}\Phi _{2}}{i_{2}}}$

mit der Windungsanzahl n₁ der Primärseite und n₂ der Sekundärseite. Die primäre Hauptinduktivität L_h1 und sekundäre Hauptinduktivität L_h2 ist:

$L_{h1}=L_{1}-L_{\sigma 1}={\frac {n_{1}\Phi _{12}}{i_{1}}},\qquad L_{h2}=L_{2}-L_{\sigma 2}={\frac {n_{2}\Phi _{21}}{i_{2}}}$

Die symmetrische Gegeninduktivität M = M₁₂ = M₂₁ ist:

$M={\frac {n_{2}\Phi _{12}}{i_{1}}}=L_{h1}\cdot {\frac {n_{2}}{n_{1}}}=(L_{1}-L_{\sigma 1})\cdot {\frac {n_{2}}{n_{1}}}=L_{h2}\cdot {\frac {n_{1}}{n_{2}}}=(L_{2}-L_{\sigma 2})\cdot {\frac {n_{1}}{n_{2}}}={\sqrt {L_{h1}\cdot L_{h2}}}$

Aus dem Induktionsgesetz folgen die Spannungen an der Primär- und Sekundärspule zu:

$u_{1}(t)=L_{1}\cdot {\frac {di_{1}(t)}{dt}}+M\cdot {\frac {di_{2}(t)}{dt}}$

$u_{2}(t)=L_{2}\cdot {\frac {di_{2}(t)}{dt}}+M\cdot {\frac {di_{1}(t)}{dt}}$

Durch die Gegeninduktivität M fließt der sogenannte „Magnetisierungsstrom“, welcher die im magnetischen Feld gespeicherte Energie repräsentiert.

Spannungsquellenersatzschaltbild eines verlustlosen Transformators

Bei rein sinusförmigen (harmonischen) Verläufen reduziert sich die zeitliche Ableitung zu einer Multiplikation mit j·ω, wobei ω für die Kreisfrequenz steht, und sie kann in komplexer Schreibweise ausgedrückt werden als:

${\underline {U}}_{1}=j\omega L_{1}\cdot {\underline {I}}_{1}+j\omega M\cdot {\underline {I}}_{2}\,$

${\underline {U}}_{2}=j\omega L_{2}\cdot {\underline {I}}_{2}+j\omega M\cdot {\underline {I}}_{1}\,$

Diese Gleichungen bilden die Grundlage für das (nur bei sinusförmigem Verlauf geltende) nebenstehende Ersatzschaltbild mit stromgesteuerten Spannungsquellen. Dieses Ersatzschaltbild mit gesteuerten Spannungsquellen kann in ein Ersatzschaltbild mit einem idealen Transformator überführt werden.

Ersatzschaltbild

Modellierung eines verlustlosen Transformators mithilfe des Modells des idealen Transformators

Das Ersatzschaltbild wird durch zwei Streuinduktivitäten, L_σ1 auf der Primärseite und L_σ2 auf der Sekundärseite, und der Gegeninduktivität M gebildet. Die Verbindung der beiden Seiten erfolgt über einen idealen Transformator, wie in nebenstehender Abbildung dargestellt.

Für die Induktivitäten gilt der Zusammenhang:

$L_{\sigma 1}=(1-k)\cdot L_{1}\,$

$L_{\sigma 2}=(1-k)\cdot L_{2}\,$

$M={\sqrt {L_{h1}\cdot L_{h2}}}$

Dabei ist k der sogenannte Kopplungsgrad oder auch Kopplungsfaktor, welcher im Intervall zwischen 0 und 1 liegen kann. Der Kopplungsgrad ist nicht mit dem oben definierten Übertragungsfaktor γ zu verwechseln. Der Kopplungsgrad ist ein Maß dafür, wie gut der magnetische Fluss von einer Spule zur anderen Spule gelangt. Je besser diese Kopplung ist, je besser der magnetische Kern den magnetischen Fluss leitet, desto näher liegt dieser Faktor am Wert 1. Sind die Spulen über den magnetischen Kreis nur sehr schlecht gekoppelt, ist der Faktor nahe dem Wert 0. Der Kopplungsgrad wird über die Gleichung:

$k={\frac {M}{\sqrt {L_{1}\cdot L_{2}}}}={\sqrt {1-\sigma }}\leq 1$

definiert. σ drückt den so genannten Streugrad oder Streufaktor des Transformators aus. Ohne Streuinduktivitäten wäre die Hauptinduktivität M gleich ${\sqrt {L_{1}\cdot L_{2}}}$ und der Streugrad 0. Praktisch ist die Hauptinduktivität immer kleiner, was durch den Streufaktor σ ausgedrückt wird:

$\sigma =1-{\frac {M^{2}}{L_{1}\cdot L_{2}}}\leq 1$

Ersatzschaltbild eines verlustlosen Transformators mit gestrichenen Größen

Alternativ kann das Ersatzschaltbild um den idealen Transformator reduziert werden, wenn die Impedanzen der Sekundärseite mittels der Impedanztransformation auf die Primärseite transformiert werden, wie in nebenstehender Abbildung dargestellt. Die auf die Primärseite transformierten Größen sind zur Unterscheidung gestrichen:

${\underline {Z}}'=\gamma ^{2}\cdot {\underline {Z}}$

$L_{\sigma 2}'=\gamma ^{2}\cdot {\underline {L}}_{\sigma 2}$

$I_{2}'={1 \over \gamma }\cdot {\underline {I}}_{2}$

$U_{2}'=\gamma \cdot {\underline {U}}_{2}$

Streuinduktivität

Der Begriff der Streuinduktivität beschreibt jenen Induktivitätsanteil, welcher bei magnetisch gekoppelten Systemen durch den Streufluss gebildet wird. Die Streuinduktivität wird mit denselben Verfahren und Methoden wie jede andere Induktivität bestimmt, nur dass dabei ausschließlich der Streufluss Φ_s berücksichtigt wird.

Verlustbehafteter Transformator

Ersatzschaltbild eines verlustbehafteten Transformators (T-Ersatzschaltung)

Der verlustbehaftete Transformator weist als Erweiterung des verlustlosen Transformators Übertragungsverluste durch den elektrischen Widerstand der Windungen und Ummagnetisierungsverluste, unter anderem durch Wirbelströme im Kern, auf. Das Modell des verlustbehafteten Transformators stellt ein für viele Anwendungen ausreichend genaues Modell dar.

Die Übertragungsverluste in den Wicklungen werden, wie im nebenstehenden Ersatzschaltbild dargestellt, durch die Wicklungswiderstände R₁ und R₂ der Primär- und Sekundärspule, die sogenannten Kupferverluste, berücksichtigt.

Die Ummagnetisierungsverluste, häufig auch Eisenverluste genannt, sind Verluste, die im magnetischen Kreis wie dem Eisenkern oder dem Ferritkern, entstehen. Sie sind bei über die Luft gekoppelten Transformatoren nicht vorhanden. Es handelt sich dabei um die nichtlinearen Wirbelstromverluste und die ebenso nichtlinearen Hystereseverluste. Sie werden im Sinne einer einfachen Netzwerkberechnung näherungsweise als linearer Widerstand R_Fe modelliert.

Die Größen im Ersatzschaltbild haben die folgende Bedeutung:

M oder L_h1 ist die Hauptinduktivität. Sie ist Ursache des Magnetisierungsstromes, der etwa dem Leerlaufstrom entspricht

R_Fe repräsentiert die Hysterese- und Wirbelstromverluste, R_Fe ist meistens groß gegenüber der Lastimpedanz Z

R₁ und R₂ sind die ohmschen Widerstände der Wicklungen, sie verursachen thermische Verluste in den elektrischen Leitern. Sie sind meistens gegenüber der Last Z niederohmig.

L_s1,2 sind die Streuinduktivitäten.

Die gestrichenen Größen im Ersatzschaltbild müssen analog und entsprechend dem Übertragungsfaktors γ des Transformators umgerechnet werden:

$R'_{2}=R_{2}\cdot \gamma ^{2}$

$L'_{\sigma 2}=L_{\sigma 2}\cdot \gamma ^{2}$

Verlustbestimmung

Die Verluste P_v am Trafo setzen sich aus den Leerlaufverlusten P₀ und den Stromwärmeverlusten P_k, primär Wicklungsverluste, zusammen. Die Leerlaufverluste sind immer vorhanden, wenn eine Seite des Trafos gespeist wird. Die Stromwärmeverluste sind direkt proportional zur Ausgangsscheinleistung S₂ bzw. zum Quadrat des Ausgangsstromes I₂, bezogen auf deren Nennwerte welche mit dem Index _N markiert sind:

$P_{v}=P_{0}+P_{k}\cdot {\frac {S_{2}}{S_{N}}}=P_{0}+P_{k}\cdot \left({\frac {I_{2}}{I_{2N}}}\right)^{2}$

Die Leerlaufverlustleistung P₀ wird bei offener Sekundärseite bestimmt und erlaubt direkt die näherungsweise Bestimmung des Wirkanteils in Form der Wirbel- und Hystereseverluste R_Fe und der Induktivität im Leerlauf L_offen = L₁.

Die Stromwärmeverluste können im einfachsten Fall mittels Elektrischer Kurzschluss der Sekundärseite von der Primärseite aus bestimmt werden:

$P_{k}=I_{1}^{2}(R_{1}+R'_{2})$

Daraus lassen sich die Summen der beiden Wicklungswiderstände R₁ + R′₂ als auch die Induktivität im Kurzschlussfall L_kurz bestimmen. Bei praktischen Messungen kann es notwendig sein, diese Bestimmung mit einer bekannten Impedanz Z statt einem sekundärseitigen Kurzschluss durchzuführen, um thermische Schäden am Transformator zu vermeiden. Bei großen Transformatoren muss die Verlustleistung gegebenenfalls durch geeignete Kühlung abgeführt werden.

Messung des Kopplungskoeffizienten

Der Kopplungskoeffizient k kann dann durch die beiden messtechnisch gewonnenen Induktivitätswerte L_offen und L_kurz ausgedrückt werden als:

$k={\sqrt {1-{\frac {L_{kurz}}{L_{offen}}}}}$

Der Zusammenhang mit der Hauptinduktivität L_h1 und den beiden Streuinduktivitäten L_σ1 und L_σ2 ist:

$L_{h1}=k\cdot L_{offen}$

$L_{\sigma 1}=(1-k)\cdot L_{offen}$

$L_{\sigma 2}=(1-k)\cdot {\frac {L_{offen}}{\gamma ^{2}}}$

Da für die Verlustabschätzung die Verteilung der Streuinduktivität auf Primär- und Sekundärseite häufig unerheblich ist, wird von Transformatorherstellern oft auch nur die gesamte Streuinduktivität als Kurzschlussinduktivität L_k angegeben, welche der Induktivität L_kurz entspricht.

Wirbelstromverluste

Geschichtete Bauweise des Kerns aus Trafoblech reduziert Wirbelstromverluste

Wirbelströme entstehen durch die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses im elektrisch leitenden Kern. Die durch Wirbelströme verursachten Verluste zählen zu den Leerlaufverlusten. Zur Reduktion ist es notwendig, bei Erhaltung der magnetischen Leitfähigkeit, die elektrische Leitfähigkeit des Kerns zu reduzieren.

Da Werkstoffe wie beispielsweise Weicheisen, welche über eine hohe magnetische Leitfähigkeit verfügen, auch gute elektrische Leiter sind, ist es nötig, den Kernaufbau zu schichten, das heißt, den magnetischen Kern mit einzelnen gegeneinander elektrisch isolierten Blechstreifen (Dynamoblech) aufzubauen. Die Blechdicken richten sich dabei nach der Frequenz: Je größer die Frequenz, desto dünner muss die Dicke gewählt werden. Ab Frequenzen von einigen kHz aufwärts werden, da das Schichten dann nicht mehr praktikabel ist, keramische Werkstoffe wie Ferrite mit hoher magnetischer und praktisch keiner elektrischen Leitfähigkeit eingesetzt.

Hystereseverluste

Hystereseverluste, auch sie zählen zu der Gruppe der Leerlaufverluste, entstehen durch das Magnetisieren des Magnetmaterials. Ein Teil der Energie, die zur Verschiebung der Blochwände und für das Umklappen der Molekularmagnete erforderlich ist, geht irreversibel in Wärme über.

Realer Transformator

Das Modell des verlustbehafteten Transformators muss für manche Anwendungen erweitert werden, um dem Verhalten von realen Transformatoren möglichst nahe zu kommen. Insbesondere können bei einem realen Transformator folgende, im Regelfall unerwünschte, zusätzlicher Effekte auftreten:

Kapazitive Kopplung

Zwischen Primär- und Sekundärseite kann eine kapazitive Kopplung auftreten. Modelliert wird diese durch einen zusätzlich eingebrachten Koppelkondensator. Die Größe dieser Kapazität hängt unter anderem von der Art und Weise, wie die Wicklungen am Kern angebracht werden, ab. Im Regelfall kann der Wert der Koppelkapazität als konstant angenommen werden.

Magnetische Sättigung

Die magnetische Sättigung des Kernmaterials führt zu nichtlinearen Effekten, welche im Regelfall unerwünscht sind, da der Wirkungsgrad sinkt und die Streuflüsse stark zunehmen. Einzig Transformatoren ohne magnetischen Kern und mit generell schlechtem Kopplungskoeffizient, so genannte „Lufttransformatoren“, weisen keine Sättigung auf.

Idealerweise weist das Kernmaterial, wie in den vorherigen Modellen vorausgesetzt, immer eine konstante magnetische Leitfähigkeit auf. Für kleine magnetische Flussdichten kann das auch als hinreichend genau betrachtet werden. Treten hingegen stärkere magnetische Flussdichten auf - konkrete Werte sind werkstoffabhängig und liegen im Bereich von rund 0,5 T bis 1 T - nimmt die magnetische Leitfähigkeit des Kerns ab. Im Grenzfall weist das Kernmaterial nur noch die geringe magnetische Leitfähigkeit des Vakuums auf, die Bloch-Wände sind dann alle ausgerichtet.

Die Folge ist, dass alle von der magnetischen Leitfähigkeit des Kerns abhängigen Elementgleichungen, wie die der Induktivitäten, in ihrem Momentanwerten von der magnetischen Flussdichte abhängen. Die Induktivitäten sind dann, bei zeitabhängigen Größen wie bei einem zeitlichen veränderlichen Wechselstrom, zeitlich nicht mehr konstant. Auch Faktoren wie der Kopplungskoeffizient k sind nicht mehr zeitlich konstant. Auswirkungen können das so genannte Clipping sein, einer Begrenzung der maximalen Spannungs- bzw. Stromwerte. Dabei treten durch die Sättigung Oberschwingungen auf. Auch können die Methoden der komplexen Wechselstromrechnung nicht mehr angewendet werden.

Zur Vermeidung der magnetischen Sättigungen muss der magnetische Kreis im Querschnitt für die jeweilige Betriebsspannung ausreichend groß dimensioniert sein, um so die maximale magnetische Flussdichte unter dem kritischen Wert zu halten. Von den elektrischen Parametern entscheidet nur die Höhe der primärseitigen elektrischen Spannung bei offener Sekundärseite, ob der Kern eines Transformators in Sättigung kommt und nicht die übertragene Leistung - das ist unmittelbare Folge des Induktionsgesetzes. Zeigt ein bestimmter Transformator im eingeschwungenen Leerlauffall keine Sättigungseffekte, kommt es auch im Belastungsfall, wie auch im Kurzschlussfall, zu keiner magnetischen Sättigung des Kernmaterials.

Nachwirkungsverluste

Der im Eisen enthaltene Kohlenstoff nimmt je nach Richtung des Magnetfeldes bestimmte Zwischengitterplätze ein und stabilisiert die Blochwände. Damit sind diese bei weiteren Ummagnetisierungen schwerer zu bewegen.

Skin- und Proximity-Effekt

Der Skin-Effekt tritt vorwiegend bei hohen Signalfrequenzen in Erscheinung. Er bewirkt, dass nur noch das Äußere des Leiters zum Stromfluss beiträgt. Das führt in den Windungen zu einer frequenzabhängigen Steigerung des elektrischen Widerstandes und der damit verknüpften Verluste. Der Skin-Effekt kann durch die Verwendung von Hochfrequenzlitze reduziert werden.

Der Proximity-Effekt beruht auf der Wechselwirkung des Stromes mit den elektromagnetischen Feldern benachbarter Leiter. Insbesondere dann, wenn benachbarte Leiter entgegengesetzt gerichtete Ströme aufweisen, wie zwischen den einzelnen Windungen der Spulen am Transformator, sorgt der Proximity-Effekt für eine verminderte effektive Querschnittsfläche des Leiters. Auch das führt zu einer Steigerung des elektrischen Widerstandes.

Ergänzende Literatur

• Karl Küpfmüller, Gerhard Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, Springer, 1993, 14. Auflage, ISBN 3-540-56500-0
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Springer, 2002, 6. Auflage, ISBN 3-540-42018-5