Ing Mathematik: Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen

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Inhaltsverzeichnis

1 Grundbegriffe
2 Grenzwert und Stetigkeit
3 Exponentialfunktionen
- 3.1 Rechenregeln
- 3.2 Natürliche Exponentialfunktion
4 Logarithmen
5 Trigonometrische Funktionen (Winkel-, Kreisfunktionen)
6 Hyperbelfunktionen
7 Polynome
8 Rationale Funktionen
9 Parameterdarstellung

[Bearbeiten] Grundbegriffe

Monotone Funktionen: Eine Funktion y=f(x) ist genau dann monoton, wenn es für jedes y genau ein x gibt (eineindeutige Funktion). x liege in dem Intervall [a, b] und y in dem Intervall [A,B].

Monoton steigende Funktion: Wird x größer, so wird auch y=f(x) größer.

Beispiel:

Monoton fallende Funktion: Wird x größer, so wird y=f(x) kleiner.

Beispiel:

Beschränkte Funktionen: Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es zwei Zahlen $S 1$ und $S 2$ gibt, sodass $S_{1}\le f(x)\le S_{2}$ für alle x gilt.

Beispiel: $sin(x)$ und $cos(x)$ sind beschränkte Funktionen mit $S 1 = - 1$ und $S 2 = 1$ .

Symmetrische (gerade) Funktion: Ein Funktion heißt symmetrisch (zur Ordinate), wenn gilt f(x) = f(-x)

Beispiele: $y = cos(x)$ , $y = x 2$

Schiefsymmetrische (ungerade) Funktion: Ein Funktion heißt schiefsymmetrisch, wenn gilt f(-x) = -f(x)
Dies entspricht einer Spiegelung der Funktion an der Winkelhalbierenden

Beispiele: $y = sin(x)$ , $y = x 3$

Periodische Funktion: $f(x)=f(x\pm kT)$ , wobei T als Periode der Funktion bezeichnet wird.

Beispiel: f(x)=sin(x) Periode T=Pi/2

[Bearbeiten] Grenzwert und Stetigkeit

[Bearbeiten] Grenzwert von Funktionen

Gegeben sei ein Funktion y=f(x). Weiters sei ein Punkt $x 0$ aus dem Definitionsbereich dieser Funktion gegeben. Nähert man sich mit x diesem Punkt beliebig weit an, so gibt es zwei Möglichkeiten:

f(x) nähert sich einem einem Wert $y_0=f\left( x_0\right)$
f(x) entspricht nicht $y_0=f\left( x_0\right)$ .

Nur im ersten Fall existiert für y=f(x) ein Grenzwert (Limes) an der Stelle $x 0$

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)= y_0$

Beispiel: Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ . Gesucht ist der Grenzwert für $x 0 = 0$ .

Nähert man sich $x 0$ von der linken Seite, so wird der linksseitige Grenzwert $f(x_0) = -\infty$ . Nähert man sich von rechts, so wird der rechtsseitige Grenzwert $f(x_0) = +\infty$ . Diese Funktion besitzt also für $x 0$ keinen Grenzwert.

[Bearbeiten] Stetigkeit

Die Funktion y=f(x) heißt stetig an der Stelle $x 0$ , wenn an dieser Stelle

ein endlicher Grenzwert existiert, und
dieser Grenzwert gleich dem Funktionswert ist.

Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, so heißt die Funktion unstetig an der Stelle $x 0$ . Dies ist dann der Fall, wenn

die Funktion keinen Grenzwert besitzt.

oder

die Funktion einen Grenzwert besitzt, aber $y_0\ne f(x_0)$ oder $f (x 0)$ ist nicht definiert. Man spricht hierbei auch von einer hebbaren Unstetigkeitsstelle $x 0$ . Durch die Definition von $f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)$ kann die Funktion in $x 0$ stetig gemacht werden.

[Bearbeiten] Einseitiger Grenzwert

Schränkt man die Funktion ein auf Werte, die nur links von einer Stelle $x 0$ liegen und besitzt diese Teilfunktion dann an dieser Stelle einen Grenzwert, so besitzt die Funktion an dieser Stelle einen linksseitigen Grenzwert

$\lim_{x\rightarrow x_{o}-}f(x)$

Schränkt man die Funktion ein auf Werte, die nur rechts von einer Stelle $x 0$ liegen und besitzt diese Teilfunktion dann an dieser Stelle einen Grenzwert, so besitzt die Funktion an dieser Stelle einen rechtsseitigen Grenzwert.

$\lim_{x\rightarrow x_{o}+}f(x)$

Beispiel: Funktionen mit einer Sprungstelle besitzen dort zwar links- und rechtsseitige Grenzwerte, aber keinen Grenzwert.

[Bearbeiten] Uneigentlicher Grenzwert

Ersetzt man $x 0$ durch $\infty$ oder $-\infty$ und existiert dort ein Grenzwert

$\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)$ oder $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)$

so spricht man von uneigentlichen Grenzwerten.

Beispiel: $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0$

[Bearbeiten] Stückweise stetige Funktionen

[Bearbeiten] Zwischenwertsatz für stetige Funktionen

Eine in einem Intervall [a,b] stetige Funktion f(x) nimmt jeden zwischen f(a) und f(b) gelegenen Wert mindestens einmal an.

[Bearbeiten] Satz vom Minimum und Maximum

Eine in einem Intervall [a,b] stetige Funktion f(x) nimmt in diesem Intervall immer einen größten und einen kleinsten Wert an.

Infimum (Minimum): $f(x_{1})=\inf_{ a\le x\le b}f(x)$

Supremum (Maximum): $f(x_{2})=\sup_{ a\le x\le b}f(x)$

[Bearbeiten] Übungen

Berechnen sie

$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\sqrt{x}-1}{5-x^{2}}$
$\lim_{ x\rightarrow -\infty}\frac{x}{1+x}$

[Bearbeiten] Exponentialfunktionen

Es sei $a\ >\ 0$ , sowie $n\in \mathbb{N}$ . Dann ist

$a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\;mal}$

a nennt man Basis und n den Exponenten der Potenz $a n$ (Exponentialfunktion zur Basis a). Es gilt auch, daß $a n$ für jedes $0<a<\infty$ und $n\in \mathbb{R}$ definiert ist.

Eine Exponentialfunktion ist stetig und für $a > 1$ monoton steigend, für $0 < a < 1$ monoton fallend.

[Bearbeiten] Rechenregeln

$a^0\ = 1$
$a^1\ = a$
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
$r=\frac{p}{q}:\; a^r=\sqrt[q]{a^p}$
$a^{n+m}=a^n \cdot a^m$
$a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m}$
$a^{n\cdot m}=(a^{n})^{m}$
$a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

[Bearbeiten] Natürliche Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion zur Basis e (e = 2,718..., Eulersche Zahl) kann für alle $z \in \mathbb{C}$ folgendermaßen definiert werden

$e^z = \sum_{i=0}^\infty \frac{z^i}{i!}$

oder

$e^z = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {\frac{z}{n}}\right)^n$

[Bearbeiten] Logarithmen

Den Logarithmus zur Basis a schreibt man $\,\log_{a}x$ . Manchmal ist das auch in dieser Schreibweise $\,_{a}\log x$ zu sehen.

Logarithmen sind Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen.

$y = a x$

$x = log a y$

[Bearbeiten] Rechenregeln

$a^{\log_{a}x}=x$
$\log_{a}\left(a^{x}\right)=x$
$\log_{a}\left(1\right)=0$
$\log_{a}\left(a\right)=1$
$\log_{a}\left(xy\right)=\log_{a}x+\log_{a}y$
$\log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{a}x-\log_{a}y$
$\log_{a}\left(\frac{1}{x}\right)=-\log_{a}x$
$\log_{a}\left(x^{y}\right)=y\log_{a}x$
$\frac{\log_{a}x}{\log_{a}y}=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}y}$

[Bearbeiten] Wichtige Basen

[Bearbeiten] Basis 2

Zweierlogarithmus, Duallogarithmus oder binärer Logarithmus

$\log_{2}x\ =\ \mbox{lb}\ x$

oder

$\log_{2}x\ =\ \mbox{ld}\ x$

[Bearbeiten] Basis 10

Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus

$\log_{10}x\ =\ \lg x$

[Bearbeiten] Basis e

natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis

$\log_{e}x\ =\ \ln x$

oder

$\log_{e}x\ =\ \log x$

[Bearbeiten] Umrechnung zwischen verschiedenen Basen

$x=a^{\log_{a}x}=b^{\log_{b}x}$

$b=a^{\log_{a}b}$

eingesetzt

$a^{\log_{a}x}=a^{\log_{a}b^{\log_{b}x}}=a^{\log_{b}x\cdot\log_{a}b}$

daraus folgt, dass

$\log_{a}x=\log_{b}x\cdot\log_{a}b$

sein muss.

Alternativ kann man diese Beziehung auch aus der Rechenregel

$\frac{\log_{a}x}{\log_{a}y}=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}y}$

ableiten.

$\frac{\log_{a}x}{\log_{a}b}=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}b}$

$\log_{a}x=\log_{b}x\cdot\log_{a}b$

[Bearbeiten] Trigonometrische Funktionen (Winkel-, Kreisfunktionen)

[Bearbeiten] Das Bogenmaß

Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe

$\phi\ =\frac{s}{r}$

Bekannt ist der Umfang eines Kreises

$U=2\pi r = \phi_{V}\cdot r$ .

Somit gilt für den Vollkreis

$\phi_{V}\ =\ 2\pi$

Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen $2\ \pi$ im Bogenmaß. Das Bogenmaß ist eigentlich dimensionslos, wird aber oft mit der Einheit Radiant [rad] versehen.