Ing Mathematik: Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen

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Grundbegriffe

Monotone Funktionen

Eine Funktion y=f(x) ist genau dann monoton, wenn es für jedes y genau ein x gibt (eineindeutige Funktion). x liege in dem Intervall [a, b] und y in dem Intervall [A,B].

Monoton steigende Funktion

Wird x größer, so wird auch y=f(x) größer.

Beispiel:

Monoton fallende Funktion

Wird x größer, so wird y=f(x) kleiner.

Beispiel:

Beschränkte Funktionen

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es zwei Zahlen $S_{1}$ und $S_{2}$ gibt, sodass $S_{1}\le f(x)\le S_{2}$ für alle x gilt.

Beispiel: $\sin(x)$ und $\cos(x)$ sind beschränkte Funktionen mit $S_{1}=-1$ und $S_{2}=1$.

Symmetrische (gerade) Funktion

Ein Funktion heißt symmetrisch (zur Ordinate), wenn gilt f(x) = f(-x)

Beispiele: $y=\cos(x)$, $y=x^{2}$

Schiefsymmetrische (ungerade) Funktion

Ein Funktion heißt schiefsymmetrisch, wenn gilt f(-x) = -f(x)
Dies entspricht einer Spiegelung der Funktion an der Winkelhalbierenden

Beispiele: $y=\sin(x)$, $y=x^{3}$

Periodische Funktion

$f(x)=f(x\pm kT)$, wobei T als Periode der Funktion bezeichnet wird.

Beispiel: f(x)=sin(x) Periode T=Pi/2

Grenzwert und Stetigkeit

Grenzwert von Funktionen

Gegeben sei eine Funktion y=f(x). Weiters sei ein Punkt $x_0$ aus dem Definitionsbereich dieser Funktion gegeben. Nähert man sich mit x diesem Punkt beliebig weit an, so gibt es zwei Möglichkeiten:

1. f(x) nähert sich einem einem Wert $y_0=f\left( x_0\right)$
2. f(x) entspricht nicht $y_0=f\left( x_0\right)$.

Nur im ersten Fall existiert für y=f(x) ein Grenzwert (Limes) an der Stelle $x_0$

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)= y_0$

Beispiel: Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$. Gesucht ist der Grenzwert für $x_0=0$.

Nähert man sich $x_0$ von der linken Seite, so wird der linksseitige Grenzwert $f(x_0) = -\infty$. Nähert man sich von rechts, so wird der rechtsseitige Grenzwert $f(x_0) = +\infty$. Diese Funktion besitzt also für $x_0$ keinen Grenzwert.

Stetigkeit

Die Funktion y=f(x) heißt stetig an der Stelle $x_0$, wenn an dieser Stelle

1. ein endlicher Grenzwert existiert, und
2. dieser Grenzwert gleich dem Funktionswert ist.

Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, so heißt die Funktion unstetig an der Stelle $x_0$. Dies ist dann der Fall, wenn

• die Funktion keinen Grenzwert besitzt.

oder

• die Funktion einen Grenzwert besitzt, aber $y_0\ne f(x_0)$ oder $f(x_0)$ ist nicht definiert. Man spricht hierbei auch von einer hebbaren Unstetigkeitsstelle $x_0$. Durch die Definition von $f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)$ kann die Funktion in $x_0$ stetig gemacht werden.

Einseitiger Grenzwert

Schränkt man die Funktion ein auf Werte, die nur links von einer Stelle $x_0$ liegen und besitzt diese Teilfunktion dann an dieser Stelle einen Grenzwert, so besitzt die Funktion an dieser Stelle einen linksseitigen Grenzwert

$\lim_{x\rightarrow x_{o}-}f(x)$

Schränkt man die Funktion ein auf Werte, die nur rechts von einer Stelle $x_0$ liegen und besitzt diese Teilfunktion dann an dieser Stelle einen Grenzwert, so besitzt die Funktion an dieser Stelle einen rechtsseitigen Grenzwert.

$\lim_{x\rightarrow x_{o}+}f(x)$

Beispiel: Funktionen mit einer Sprungstelle besitzen dort zwar links- und rechtsseitige Grenzwerte, aber keinen Grenzwert.

Uneigentlicher Grenzwert

Ersetzt man $x_0$ durch $\infty$ oder $-\infty$ und existiert dort ein Grenzwert

$\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)$ oder $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)$

so spricht man von uneigentlichen Grenzwerten.

Beispiel: $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0$

Stückweise stetige Funktionen

Zwischenwertsatz für stetige Funktionen

Eine in einem Intervall [a,b] stetige Funktion f(x) nimmt jeden zwischen f(a) und f(b) gelegenen Wert mindestens einmal an.

Satz vom Minimum und Maximum

Eine in einem Intervall [a,b] stetige Funktion f(x) nimmt in diesem Intervall immer einen größten und einen kleinsten Wert an.

Infimum (Minimum): $f(x_{1})=\inf_{ a\le x\le b}f(x)$

Supremum (Maximum): $f(x_{2})=\sup_{ a\le x\le b}f(x)$

Übungen

Berechnen sie

• $\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\sqrt{x}-1}{5-x^{2}}$
• $\lim_{ x\rightarrow -\infty}\frac{x}{1+x}$

Exponentialfunktionen

Es sei $a\ >\ 0$, sowie $n\in \mathbb{N}$. Dann ist

$a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\;mal}$

a nennt man Basis und n den Exponenten der Potenz $a^n$ (Exponentialfunktion zur Basis a). Es gilt auch, daß $a^n$ für jedes $0<a<\infty$ und $n\in \mathbb{R}$ definiert ist.

Eine Exponentialfunktion ist stetig und für $a>1$ monoton steigend, für $0<a<1$ monoton fallend.

Rechenregeln

• $a^0\ = 1$
• $a^1\ = a$
• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
• $r=\frac{p}{q}:\; a^r=\sqrt[q]{a^p}$
• $a^{n+m}=a^n \cdot a^m$
• $a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m}$
• $a^{n\cdot m}=(a^{n})^{m}$
• $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

Natürliche Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion zur Basis e (e = 2,718..., Eulersche Zahl) kann für alle $z \in \mathbb{C}$folgendermaßen definiert werden

• $e^z = \sum_{i=0}^\infty \frac{z^i}{i!}$

oder

• $e^z = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {\frac{z}{n}}\right)^n$

Logarithmen

Den Logarithmus zur Basis a schreibt man $\,\log_{a}x$. Manchmal ist das auch in dieser Schreibweise $\,_{a}\log x$ zu sehen.

Logarithmen sind Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen.

$y=a^{x}$

$x=\log_{a}y$

Rechenregeln

• $a^{\log_{a}x}=x$
• $\log_{a}\left(a^{x}\right)=x$
• $\log_{a}\left(1\right)=0$
• $\log_{a}\left(a\right)=1$
• $\log_{a}\left(xy\right)=\log_{a}x+\log_{a}y$
• $\log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{a}x-\log_{a}y$
• $\log_{a}\left(\frac{1}{x}\right)=-\log_{a}x$
• $\log_{a}\left(x^{y}\right)=y\log_{a}x$
• $\frac{\log_{a}x}{\log_{a}y}=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}y}$

Wichtige Basen

Basis 2

Zweierlogarithmus, Duallogarithmus oder binärer Logarithmus

$\log_{2}x\ =\ \mbox{lb}\ x$

oder

$\log_{2}x\ =\ \mbox{ld}\ x$

Basis 10

Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus

$\log_{10}x\ =\ \lg x$

Basis e

natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis

$\log_{e}x\ =\ \ln x$

oder

$\log_{e}x\ =\ \log x$

Umrechnung zwischen verschiedenen Basen

$x=a^{\log_{a}x}=b^{\log_{b}x}$

$b=a^{\log_{a}b}$

eingesetzt

$a^{\log_{a}x}=a^{\log_{a}b^{\log_{b}x}}=a^{\log_{b}x\cdot\log_{a}b}$

daraus folgt, dass

$\log_{a}x=\log_{b}x\cdot\log_{a}b$

sein muss.

Alternativ kann man diese Beziehung auch aus der Rechenregel

$\frac{\log_{a}x}{\log_{a}y}=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}y}$

ableiten.

$\frac{\log_{a}x}{\log_{a}b}=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}b}$

$\log_{a}x=\log_{b}x\cdot\log_{a}b$

Trigonometrische Funktionen (Winkel-, Kreisfunktionen)

Das Bogenmaß

Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe

$\phi\ =\frac{s}{r}$

Bekannt ist der Umfang eines Kreises

$U=2\pi r = \phi_{V}\cdot r$.

Somit gilt für den Vollkreis

$\phi_{V}\ =\ 2\pi$

Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen $2\ \pi$ im Bogenmaß. Das Bogenmaß ist eigentlich dimensionslos, wird aber oft mit der Einheit Radiant [rad] versehen.

Winkel in [°]	Bogenmaß in [1] oder in [rad]
1	$\frac{2\pi}{360}=\frac{\pi}{180}$
45	$\frac{\pi}{4}$
~57,3	1
90	$\frac{\pi}{2}$
180	$\pi\$
360	$2\pi\$

Umrechnung von Graden in das Bogenmaß:

$\phi = \frac{\pi}{180}\varphi$

mit $\phi\$ in [rad] und $\varphi$ in [°].

Sind Kreisbogenlänge und Radius gleich lang, dann wird $\phi\ =\ 1$. Am Einheitskreis enspricht das Bogenmaß der Kreisbogenlänge.

Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis

Sinus und Cosinus

sin x ist eine schiefsymmetrische Funktion, während cos x eine symmetrische Funktion repräsentiert, d.h.

• $\sin(-x)\ =\ -\sin x$
• $\cos(-x)\ =\ \cos x$

Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen, es gilt:

• $\sin(x+2k\pi)\ =\ \sin x$
• $\cos(x+2k\pi)\ =\ \cos x$

Desweiteren gilt:

• $\cos(x)\ =\ \sin(x-\frac{\pi}{2})$

Definition:

• $\sin x= \Im \left(e^{ix} \right) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
• $\cos x= \Re \left(e^{ix} \right) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

Daraus folgt unmittelbar die Eulerformel:

$e^{ix} = \Re \left(e^{ix} \right) + \Im \left(e^{ix} \right) = \cos x + i \sin x$

Direkt aus den Verhältnissen am Einheitskreis läßt sich mittels des Satzes von Pythagoras die Beziehung

$\sin^2x+\cos^2 x \ = \ 1$

ableiten.

Alternativ muss sich natürlich auch aus der obigen Definiton selbiges Ergebnis ableiten lassen:

$e^{ix}e^{-ix}\ =\ e^{ix-ix}\ =\ 1$

$e^{ix}\ =\ \cos x + i \sin x$ $e^{-ix}\ =\ \cos x - i \sin x$

$e^{ix}e^{-ix}\ =\ \sin^2x+\cos^2x\ =\ 1$

Am Einheitskreis läßt sich auch leicht erkennen, dass

• $|\sin x|\ \le 1$
• $|\cos x|\ \le 1$

sein muss.

Additionstheoreme

• $\sin\left(x\pm y\right)= \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$
• $\cos\left(x\pm y\right)= \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$
• $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$
• $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$
• $\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$
• $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$

Parameterdarstellung

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