Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme: Der Gaußsche Algorithmus

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Lösung eines Gleichungssystems mit dem Gaußschen Algorithmus am Beispiel 3.1.1. :

Wenn im genannten Beispiel für das Lösungstripel x₁, x₂, x₃ die erste Gleichung 1 ergeben soll und für die zweite 4, so muß die Summe der beiden linken Seiten dieser Gleichungen 5 ( = Summe der rechten Seiten) ergeben. Falls man also zwei Gleichungen addiert, erfüllen die Lösungswerte x₁, x₂ und x₃ auch die durch Addieren von Gleichung 1 und Gleichung 2 entstandene "Summengleichung". Genauso schnell überlegt man sich, daß auch das Vielfache einer Gleichung immernoch durch die ursprünglichen Lösungswerte x_i erfüllt wird. Darauf beruht das bekannte "Additionsverfahren" für Gleichungssysteme.
Besonders übersichtlich gestaltet sich dasselbe, wenn die Gleichungen des vorgelegten Gleichungssystems so manipuliert werden, daß bei der letzten Gleichung eine Unbekannte, bei der zweitletzten zwei Unbekannte, ... stehen bleiben. Denn dann liefert (im Beispiel) die letzte Gleichung x₃ und damit kann aus der vorletzten, die x₃ und x₂ enthält, sofort x₂ berechnet werden. Wir können dies an unserem Beispiel zeigen und schreiben die einzelnen Schritte mit obiger Kurzfassung darunter auf:

Ausgangssituation:

1x₁+1x₂+2x₃=1 |-2 | -4

2x₁+3x₂+3x₃=4 | 1

4x₁+6x₂+5x₃=2,| 1

in Kurzform also

$\mathbf {(A|b)} ={\begin{pmatrix}1&1&2&|&1\\2&3&3&|&4\\4&6&5&|&2\\\end{pmatrix}}$

1. Schritt:

Gleichung 1 wird mit -2 multipliziert und zur zweiten Gleichung addiert (siehe Angaben in der Ausgangssituation). Das ergibt eine neue zweite Gleichung. Ebenso addiert man das -4-fache der ersten zur dritten Gleichung und erhält so eine neue dritte Gleichung. In unserer Kurzschreibweise bekommt man somit:

$\mathbf {({\tilde {A}}|{\tilde {b}})} ={\begin{pmatrix}1&1&2&|&1\\0&1&-1&|&2\\0&2&-3&|&-2\\\end{pmatrix}}$

Wir haben somit erreicht, daß Gleichung (2) und (3) die Unbekannte x₁ nicht mehr enthält. Wenn wir dann weiter die neue zweite Gleichung mit -2 multipliziert zur dritten Gleichung addieren, erhalten wir:

2. Schritt:

$\mathbf {({\tilde {\tilde {A}}}|{\tilde {\tilde {b}}})} ={\begin{pmatrix}1&1&2&|&1\\0&1&-1&|&2\\0&0&-1&|&-6\\\end{pmatrix}}$

Wir wissen also jetzt: x₃ hat den Wert x₃ = 6.

Durch Rückwärtseinsetzen von unten nach oben erhalten wir:

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-19\\8\\6\\\end{pmatrix}}$

d.h. x₁ = -19, x₂ = 8 und x₃ = 6 sind die gesuchten Werte des vorgegebenen Gleichungssystems.

Siehe auch Gaußsches Eliminationsverfahren bei Wikipedia.