MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Winkel

Winkel zwischen zwei Vektoren

Im Abschnitt über das Skalarprodukt wurden bereits eine Möglichkeit angegeben, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen.

Satz

Ist $\varphi$ der Winkel zwischen den Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ , so gilt:

\varphi =\arccos {\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|}}

Zu beachten ist hierbei, dass das Produkt im Zähler ein Skalarprodukt ist, also ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$ , während das Produkt im Nenner ein Produkt zweier Beträge $\left|{\vec {a}}\right|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}$ und $\left|{\vec {b}}\right|={\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$ und damit das Produkt zweier Zahlen ist.

Winkel zwischen sich schneidenden Geraden

Der Winkel $\left.\alpha \right.$ zwischen zwei sich schneidenden Geraden

g_{1}:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+s\cdot {\vec {u}}\qquad \left(s\in \mathbb {R} \right)

und

g_{2}:\;{\vec {x}}={\vec {q}}+t\cdot {\vec {v}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)

ist der kleinere der beiden Winkel zwischen den Geraden. Dieser hängt eng mit dem Winkel $\varphi$ zwischen den Richtungsvektoren der Geraden ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ zusammen.

Ist $\varphi \leq 90^{\circ }$ , dann ist $\alpha =\varphi$ .
Ist $\varphi >90^{\circ }$ (wie in der Abb.), dann ist $\alpha =180^{\circ }-\varphi$ .

Weil $\arccos \left(\left|x\right|\right)={\begin{cases}\arccos(x),&{\mbox{wenn }}\arccos(x)\leq 90^{\circ }\\180^{\circ }-\arccos(x),&{\mbox{wenn }}\arccos(x)>90^{\circ }\end{cases}}$ ist gilt:

Satz

Der Winkel zwischen zwei sich schneiden Geraden mit Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ ist

\alpha =\arccos {\frac {\left|{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right|}{\left|{\vec {u}}\right|\cdot \left|{\vec {v}}\right|}}

Beachte: Die Betragszeichen im Zähler beziehen sich auf den Betrag einer Zahl, nämlich des Skalarproduktes ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ , während die Betragszeichen im Nenner sich auf den Betrag von Vektoren, nämlich ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ beziehen.

Beispiele

Die Geraden

g_{1}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\-3\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}\;\left(s\in \mathbb {R} \right)

und

g_{2}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\7\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\-3\\\end{pmatrix}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)

schneiden sich im Punkt $P\left(-3|3|6\right)$ .

\alpha =\arccos {\frac {\left|{\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\-3\\\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}\right|\cdot \left|{\begin{pmatrix}2\\2\\-3\\\end{pmatrix}}\right|}}=\arccos {\frac {6}{{\sqrt {12}}\cdot {\sqrt {17}}}}\approx \arccos(0,42)\approx 65,2^{\circ }

Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene, die sich schneiden

Der Winkel $\left.\alpha \right.$ zwischen einer Ebene

E:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}=c

und einer Geraden, die selbige schneidet

g:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+t\cdot {\vec {v}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)

hängt eng mit dem Winkel $\varphi$ zwischen dem Normalenvektor ${\vec {n}}$ und dem Richtungsvektor der Geraden ${\vec {v}}$ zusammen.

Ist $\varphi <90^{\circ }$ (wie in der Abb.), dann ist $\alpha =90^{\circ }-\varphi$ .
Ist $\varphi >90^{\circ }$ , dann ist $\alpha =\varphi -90^{\circ }$ .

Also gilt

Satz

Der Winkel zwischene einer Gerade mit Richtungsvektor ${\vec {v}}$ und einer Ebene mit Normalenvektor ${\vec {n}}$ ist

\alpha =90^{\circ }-\arccos {\frac {\left|{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}\right|}{\left|{\vec {n}}\right|\cdot \left|{\vec {v}}\right|}}=\arcsin {\frac {\left|{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}\right|}{\left|{\vec {n}}\right|\cdot \left|{\vec {v}}\right|}}

Beweis

${\begin{array}{lrcl}&\alpha &=&90^{\circ }-\arccos(x)\\\Rightarrow &\arccos(x)&=&90^{\circ }-\alpha \\\Rightarrow &x&=&\cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\sin(\alpha )\\\Rightarrow &\alpha &=&\arcsin(x)\end{array}}$