Vektorielle Operationen für Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Herleitung

Seien $m,n\in \mathbb {N}$ und $V$ ein $n$-dimensionaler und $W$ ein $m$-dimensionaler $K$-Vektorraum. Wir haben schon gesehen, dass wir nach Wahl geordneter Basen lineare Abbildungen von $V$ nach $W$ als Matrizen darstellen können. Seien also $B$ eine geordnete Basis von $V$ und $C$ eine geordnete Basis von $W$.

Der Raum $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ der linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ ist ebenfalls ein $K$-Vektorraum. Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung $f\in \operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ bzgl. der Basen $B$ und $C$ ist eine $(m\times n)$-Matrix $M_{C}^{B}(f)\in K^{m\times n}$. Wir werden versuchen, die Vektorraumstruktur von $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ auf den Raum $K^{m\times n}$ der $(m\times n)$-Matrizen über $K$ zu übertragen.

Wir stellen also die Frage: Können wir eine Addition und skalare Multiplikation auf $K^{m\times n}$ finden, sodass $M_{C}^{B}(f+g)=M_{C}^{B}(f)+M_{C}^{B}(g)$ und $M_{C}^{B}(\lambda f)=\lambda M_{C}^{B}(f)$ für alle linearen Abbildungen $f,g\colon V\to W$ und alle $\lambda \in K$ gilt?

Gibt es auf $K^{m\times n}$ vielleicht sogar eine Vektorraumstruktur, sodass für alle endlich dimensionalen Vektorräume $V$ und $W$ und alle geordneten Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$ die Abbildung $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)\to K^{m\times n};f\mapsto M_{C}^{B}(f)$ linear ist?

Denk am besten einmal selber über diese Frage nach. Es gibt eine Aufgabe zur Matrizenaddition und eine zur Skalarmultiplikation, die dir dabei helfen können.

Ein erster Schritt ist zur Beantwortung dieser Frage ist der folgende Satz:

Satz (Bijektive Abbildungen induzieren Vektorraumstrukturen)

Sei $V$ ein Vektorraum mit Addition $+$ und skalarer Multiplikation $\cdot$ und $W$ eine Menge. Sei $f:V\to W$ eine bijektive Abbildung. Dann gibt es genau eine Vektorraumstruktur $(\oplus ,\odot )$, auf $W$, sodass $f$ linear wird.

Beweis (Bijektive Abbildungen induzieren Vektorraumstrukturen)

Beweisschritt: Existenz

Für $w,w'\in W$ und $\lambda \in K$ definieren wir $w\oplus w':=f(f^{-1}(w)+f^{-1}(w'))$, $\lambda \odot w:=f(\lambda \cdot f^{-1}(w))$.

$W$ ist unter diesen Operationen abgeschlossen, da $f$ uns nach Voraussetzung immer nach $W$ zurückbringt. Dass $W$ mit diesen Operationen einen Vektorraum bildet folgt unmittelbar aus der Vektorraumstruktur von $V$. Man kann $f$ einfach als Umbenennung der Elemente von $V$ betrachten.

Beispielsweise folgt Kommutativität der Addition auf $W$ aus der Kommutativität der Addition auf $V$ wie folgt: $w\oplus w'=f(f^{-1}(w)+f^{-1}(w'))=f(f^{-1}(w')+f^{-1}(w))=w'\oplus w$.

Assoziativität der Addition auf $W$ folgt ebenfalls aus der Assoziativität der Addition auf $V$:

${\begin{aligned}&w_{1}\oplus (w_{2}\oplus w_{3})\\&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Definition der Addition auf }}{W}}\\&=f(f^{-1}(w_{1})+f^{-1}(w_{2}\oplus w_{3}))\\&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Definition der Addition auf }}{W}}\\&=f(f^{-1}(w_{1})+f^{-1}(f(f^{-1}(w_{2})+f^{-1}(w_{3}))))\\&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {f^{-1}\circ f}{\text{ ist die Identität}}}\\&=f(f^{-1}(w_{1})+(f^{-1}(w_{2})+f^{-1}(w_{3})))\\&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Assoziativität der Addition auf }}{V}}\\&=f((f^{-1}(w_{1})+f^{-1}(w_{2}))+f^{-1}(w_{3}))\\&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {f^{-1}\circ f}{\text{ ist die Identität}}}\\&=f(f^{-1}(f((f^{-1}(w_{1})+f^{-1}(w_{2}))+f^{-1}(w_{3}))))\\&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Definition der Addition auf }}{W}}\\&=f(f^{-1}(w_{1}\oplus w_{2})+f^{-1}(w_{3}))\\&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Definition der Addition auf }}{W}}\\&=(w_{1}\oplus w_{2})\oplus w_{3}.\end{aligned}}$

Die Beweise für die anderen Vektorraumaxiome funktionieren analog. Damit haben wir eine Vektorraumstruktur auf $W$ gefunden. Zeigen wir jetzt, dass $f$ bezüglich $(\oplus ,\odot )$ linear ist. Da $f$ bijektiv ist, reicht es zu zeigen, dass die Umkehrfunktion von $f$ linear ist (siehe Isomorphismus ). Es ist $f^{-1}(w\oplus w')=f^{-1}(f(f^{-1}(w)+f^{-1}(w')))=f^{-1}(w)+f^{-1}(w')$ und $f^{-1}(\lambda \odot w)=f^{1}(f(\lambda \cdot f^{-1}(w')))=\lambda \cdot f^{-1}(w')$. Damit ist $f^{-1}:(W,\oplus ,\odot )\to (V,+,\cdot )$ linear und somit ist auch $f:(V,+,\cdot )\to (W,\oplus ,\odot )$ linear.

Beweisschritt: Eindeutigkeit

Eindeutigkeit: Angenommen wir haben eine Vektorraumstruktur $(\oplus ,\odot )$, sodass $f:(V,+,\cdot )\to (W,\oplus ,\odot )$ linear ist. Dann ist $f^{-1}:(W,\oplus ,\odot )\to (V,+,\cdot )$ als Umkehrfunktion einer bijektiven, linearen Funktion ebenfalls linear. Es gilt deshalb

$w\oplus w'=f(f^{-1}(w\oplus w'))=f(f^{-1}(w)+f^{-1}(w'))$,

$\lambda \odot w=f(f^{-1}(\lambda \odot w))=f(\lambda \cdot f^{-1}(w))$.

Das heißt jede Vektorraumstruktur auf $W$, bezüglich der $f$ linear ist, muss bereits mit unserer zuvor definierten Vektorraumstruktur übereinstimmen.

Wir wollen die Vektorraumstruktur von $K^{m\times n}$ jetzt konkret bestimmen. Sei dazu $B=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ eine Basis von $V$ und $C=\{w_{1},\dots ,w_{m}\}$ eine Basis von $W$. Wir definieren die von $M_{C}^{B}$ induzierte Addition auf dem Raum der Matrizen wie im letzten Satz: $A+A'=M_{C}^{B}((M_{C}^{B})^{-1}(A)+(M_{C}^{B})^{-1}(A'))$. Seien nun $A=(a_{ij}),A'=(a'_{ij})\in K^{m\times n}$ beliebig und $f,g:V\to W$ die zu $A$ und $A'$ zugehörigen linearen Abbildungen mit $M_{C}^{B}(f)=A,M_{C}^{B}(g)=A'$. Dann gilt

$(b_{ij})=A+A'=M_{C}^{B}((M_{C}^{B})^{-1}(A)+(M_{C}^{B})^{-1}(A'))=M_{C}^{B}(f+g).$

Diese $b_{ij}$ rechnen wir jetzt aus: In der $j$-ten Spalte muss $(f+g)(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}b_{ij}w_{i}$ gelten. Laut Definition von $f+g$ ist aber auch

$(f+g)(v_{j})=f(v_{j})+g(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}+\sum _{i=1}^{m}a'_{ij}w_{i}=\sum _{i=1}^{m}(a_{ij}+a'_{ij})w_{j}.$

Da die Darstellung von $f(v_{j})$ bzgl. $C$ eindeutig ist, folgt $b_{ij}=a_{ij}+a'_{ij}$. Das heißt bei der von $M_{C}^{B}$ auf $K^{m\times n}$ induzierten Addition handelt es sich um komponentenweise Addition.

Untersuchen wir jetzt die von $M_{C}^{B}$ induzierte skalare Multiplikation $\lambda \cdot A=M_{C}^{B}(\lambda (M_{C}^{B})^{-1}(A))$. Sei wieder $f=(M_{C}^{B})^{-1}(A)$. Betrachte $(a'_{ij})=A'=\lambda \cdot A$. Es gilt

$(\lambda \cdot f)(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a'_{ij}w_{i}.$

Des Weiteren haben wir

$\lambda f(v_{j})=\lambda \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}=\sum _{i=1}^{m}\lambda a_{ij}w_{i}.$

Wegen $(\lambda \cdot f)(v_{j})=\lambda f(v_{j})$ folgt

$\sum _{i=1}^{m}a'_{ij}w_{i}=\sum _{i=1}^{m}\lambda a_{ij}w_{i}.$

Aus der Eindeutigkeit der Darstellung folgt somit $a'_{ij}=\lambda a_{ij}$. Wir sehen, die von $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ durch $M_{C}^{B}$ auf $K^{m\times n}$ induzierte Skalarmultiplikation ist die komponentenweise Skalarmultiplikation.

Wir sehen hier auch, dass die induzierte Vektorraumstruktur unabhängig von unserer Wahl von $V,W,B$ und $C$ ist.

Definition

Wir haben gerade gesehen: Um auf den Matrizen eine sinnvolle Vektorraumstruktur zu definieren, müssen wir die Operationen komponentenweise ausführen. Wir definieren also Addition und skalare Multiplikation wie folgt:

Definition (Addition von Matrizen)

Sei $K$ ein Körper und seien $A=(a_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$ und $B=(b_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$ Matrizen vom gleichen Typ $(m\times n)$ über $K$. Dann ist

$A+B:=(a_{ij}+b_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$

Wenn man diese Definition in großen Matrizen ausschreibt, sieht das wie folgt aus.

$A+B={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&\ldots &b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&\ldots &b_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&\ldots &a_{1n}+b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&\ldots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}}$

Definition (Skalarmultiplikation von Matrizen)

Sei $K$ ein Körper und $A=(a_{ij})$ eine Matrix über $K$. Dann ist für $\lambda \in K$

$\lambda \cdot A=\lambda \cdot (a_{ij}):=(\lambda a_{ij})$

In Matrizen groß ausgeschrieben, sieht das wie folgt aus:

$\lambda \cdot A=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda a_{11}&\ldots &\lambda a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda a_{m1}&\ldots &\lambda a_{mn}\end{pmatrix}}$

Beispiel (Addition von Matrizen)

Wir befinden uns in $\mathbb {R} ^{2\times 3}$.

${\begin{pmatrix}2&4&6\\1&3&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1&2&-2\\3&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+(-1)&4+2&6+(-2)\\1+3&3+2&5+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&6&4\\4&5&6\end{pmatrix}}$

Beispiel (Multiplikation mit einem Körperelement)

Als Beispiel nehmen wir die Matrix ${\begin{pmatrix}1&-2&0\\2&-3&-1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 3}$ und als Körperelement die reelle Zahl $(-3)$, dann gilt:

$(-3)\cdot {\begin{pmatrix}1&-2&0\\2&-3&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-3)\cdot 1&(-3)\cdot (-2)&(-3)\cdot 0\\(-3)\cdot 2&(-3)\cdot (-3)&(-3)\cdot (-1)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&0\\-6&9&3\end{pmatrix}}$

Satz (Matrizen bilden einen Vektorraum)

Die Menge der $(m\times n)$-Matrizen $K^{m\times n}$ bildet mit der oben definierten Addition und skalaren Multiplikation einen $K$-Vektorraum. Dieser Vektorraum hat als neutrales Element der Addition die Nullmatrix $(0)\in K^{m\times n}$ und die additive Inverse einer Matrix $A=(a_{ij})\in K^{m\times n}$ ist $-A:=(-a_{ij})$.

Beweis (Matrizen bilden einen Vektorraum)

Beweisschritt: Komponentenweise Addition und skalare Mulitplikation bilden eine Vektorraumstruktur auf $K^{m\times n}$

Sei $B$ eine Basis von $K^{n}$ und $C$ eine Basis von $K^{m}$; wir können zum Beispiel die Standardbasen wählen. Mit dem obigen Satz sehen wir, dass die bijektive Abbildung $M_{C}^{B}:\operatorname {Hom} _{K}(K^{n},K^{m})\to K^{m\times n}$ auf dem Raum der Matrizen eine Vektorraumsstruktur induziert. Wir haben uns am Ende der Herleitung schon überlegt, dass in dieser Vektorraumsstruktur durch komponentenweise Addition und skalare Multiplikation gegeben ist. Also bilden die komponentenweise Addition und skalare Multiplikation eine Vektorraumsstruktur auf $K^{m\times n}$.

Beweisschritt: $(0)\in K^{m\times n}$ ist das neutrale Element der Addition

Wir müssen zeigen, dass $A+(0)=A$ für jede Matrix $A\in K^{m\times n}$ gilt. Sei also $A=(a_{ij})\in K^{m\times n}$ beliebig. Per Definition der Addition von Matrizen gilt $(a_{ij})+(0)=(a_{ij}+0)=(a_{ij})$, wobei wir bei der letzten Gleichheit ausgenutzt haben, dass $0\in K$ das neutrale Element der Addition in $K$ ist.

Beweisschritt: Jede Matrix $A=(a_{ij})\in K^{m\times n}$ hat additive Inverse $-A:=(-a_{ij})$

Wir müssen zeigen, dass $A+(-A)=(0)$ für jede Matrix $A\in K^{m\times n}$ gilt. Sei also $A=(a_{ij})\in K^{m\times n}$ beliebig. Dann gilt per Definition von $-A=(-a_{ij})$ und der Definition der Addition von Matrizen $A+(-A)=(a_{ij})+(-a_{ij})=(a_{ij}-a_{ij})=(0)$. In der letzten Gleichheit haben wir benutzt, dass $-a_{ij}$ das additive Inverse von $a_{ij}$ in $K$ ist.

Wenn wir Matrizen ohne den Kontext als Abbildungsmatrizen betrachten, sehen wir Folgendes: Matrizen sind nichts anderes als eine ungewöhnliche Art, Elemente des $K^{m\cdot n}$ zu schreiben, da Matrizen $m\cdot n$ Einträge haben. Genau wie im $K^{m\cdot n}$ ist bei Matrizen die Vektorraumstruktur komponentenweise definiert. Wir bekommen also alternativ den folgenden bedeutend kürzeren Beweis:

Alternativer Beweis (Matrizen bilden einen Vektorraum)

Wir können den Beweis, dass $K^{m\times n}$ ein Vektorraum ist, durch obige Umordnung eins zu eins übertragen. Der Beweis funktioniert wie im Fall des Koordinatenraums. Exemplarisch zeigen wir die Assoziativität der Addition: Sind $A=(a_{ij}),B=(b_{ij}),C=(c_{ij})$ drei $(n\times m)$-Matrizen, dann gilt $(A+B)+C=((a_{ij}+b_{ij})+c_{ij})=(a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij}))=A+(B+C)$. Im zweiten Schritt haben wir die Assoziativität im Körper $K$ benutzt.

Dimension von $K^{m\times n}$

Durch die obige Identifikation von $K^{m\times n}$ mit $K^{m\cdot n}$ erhalten wir eine kanonische Basis von $K^{m\times n}$: Sei $B_{ij}$ für $i\in \{1,...,m\},j\in \{1,...,n\}$ die Matrix $B_{ij}=(b_{kl})$ mit

$b_{kl}={\begin{cases}1&{\text{falls }}k=i{\text{ und }}l=j\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}$

Beispiel

In $K^{2\times 3}$ sind die Basiselemente gegeben durch:

${\begin{aligned}B_{11}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad B_{12}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad B_{13}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}},\\B_{21}={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},\quad B_{22}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},\quad B_{23}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

$K^{m\times n}$ ist also ein $(m\cdot n)$-dimensionaler $K$-Vektorraum. Wir haben die Vektorraumstruktur auf $K^{m\times n}$ so konstruiert, dass für $n$- bzw. $m$-dimensionale Vektorräume $V$ und $W$ mit Basen $B$ bzw. $C$ die Zuordnung

$M_{C}^{B}:\operatorname {Hom} _{K}(V,W)\to K^{m\times n},\quad f\mapsto M_{C}^{B}(f)$

ein linearer Isomorphismus ist. Wir bekommen also a posteriori wieder heraus, dass $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ ein $(m\cdot n)$-dimensionaler $K$-Vektorraum ist. Das haben wir schon im Artikel Vektorraum linearer Abbildungen gesehen.