Vektorraum linearer Abbildungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

Wir betrachten den Vektorraum der linearen Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen.

Der Vektorraum der linearen Abbildungen

To-Do:

Im Bild heißt Hom_K(V, W) noch L(V,W)

Bildung des Vektorraums $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)\quad$

Seien $K$ ein Körper und $V,W$ zwei $K$-Vektorräume. Wir wollen nun die Menge aller $K$-linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ betrachten. Diese Menge nennen wir $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$. Also:

$\operatorname {Hom} _{K}(V,W):=\{\,L:V\to W\,|\,L{\text{ ist }}K{\text{-linear}}\,\}.$

Wir vermuten, dass diese Menge einen $K$-Vektorraum bildet, genauer gesagt einen Unterraum von $\operatorname {Abb} (V,W)$. Von dieser Menge wissen wir bereits, dass sie ein $K$-Vektorraum ist.

Satz

Sei $K$ ein Körper und $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume. Dann ist die Menge der linearen Abbildungen $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ von $V$ nach $W$ ein $K$-Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis?

Es reicht zu zeigen, dass $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ ein $K$-Untervektorraum von $\operatorname {Abb} (V,W)$ ist. Dazu müssen wir zeigen:

1. $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)\neq \emptyset$
2. Für alle $L_{1},L_{2}\in \operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ gilt $L_{1}+L_{2}\in \operatorname {Hom} _{K}(V,W)$.
3. Für alle $L\in \operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ und alle $\lambda \in K$ gilt $\lambda \cdot L\in \operatorname {Hom} _{K}(V,W)$.

Beweis

Wir zeigen, dass $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ ein Untervektorraum von $\operatorname {Abb} (V,W)$ ist.

Beweisschritt: $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)\neq \emptyset$

Die Abbildung $L\colon V\to W,\quad v\mapsto 0_{W}$ ist eine $K$-lineare Abbildung. Also ist $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)\neq \emptyset$.

Beweisschritt: Für alle $L_{1},L_{2}\in \operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ gilt $L_{1}+L_{2}\in \operatorname {Hom} _{K}(V,W)$.

Wir müssen zeigen, dass die Abbildung

$(L_{1}+L_{2})\colon V\to W$

eine $K$-lineare Abbildung ist.

Beweisschritt: Additivität von $(L_{1}+L_{2})$

Seien $v_{1},v_{2}\in V$. Dann gilt

${\begin{aligned}&(L_{1}+L_{2})(v_{1}+v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L_{1}+L_{2}\right.}\\[0.3em]=\ &L_{1}(v_{1}+v_{2})+L_{2}(v_{1}+v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}L_{1}{\text{ und }}L_{2}\right.}\\[0.3em]=\ &L_{1}(v_{1})+L_{1}(v_{2})+L_{2}(v_{1})+L_{2}(v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition in }}W\right.}\\[0.3em]=\ &L_{1}(v_{1})+L_{2}(v_{1})+L_{1}(v_{2})+L_{2}(v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L_{1}+L_{2}\right.}\\[0.3em]=\ &(L_{1}+L_{2})(v_{1})+(L_{1}+L_{2})(v_{2}).\end{aligned}}$

Beweisschritt: Homogenität von $(L_{1}+L_{2})$

Sei $v\in V$ und $\lambda \in K$. Dann gilt

${\begin{aligned}&(L_{1}+L_{2})(\lambda \cdot v)=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L_{1}+L_{2}\right.}\\[0.3em]=\ &L_{1}(\lambda v)+L_{2}(\lambda v)=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}L_{1}{\text{ und }}L_{2}\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot L_{1}(v)+\lambda \cdot L_{2}(v)=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität der Skalarmultiplikation}}\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot (L_{1}(v)+L_{2}(v))=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L_{1}+L_{2}\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot (L_{1}+L_{2})(v).\end{aligned}}$

Beweisschritt: Für alle $L\in \operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ und alle $\mu \in K$ gilt $\mu \cdot L\in \operatorname {Hom} _{K}(V,W)$.

Sei $L:V\to W$ eine lineare Abbildung und $\mu \in K$. Wir müssen zeigen, dass die Abbildung

$\mu \cdot L\colon V\to W,\,v\mapsto \mu \cdot L(v)$

eine $K$-lineare Abbildung ist.

Beweisschritt: Additivität von $\mu \cdot L$

Seien $v_{1},v_{2}\in V$. Dann gilt

${\begin{aligned}&(\mu \cdot L)(v_{1}+v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\mu \cdot L\right.}\\[0.3em]=\ &\mu \cdot L(v_{1}+v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}L\right.}\\[0.3em]=\ &\mu (L(v_{1})+L(v_{2}))=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität der Skalarmultiplikation}}\right.}\\[0.3em]=\ &\mu \cdot L(v_{1})+\mu \cdot L(v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\mu \cdot L\right.}\\[0.3em]=\ &(\mu \cdot L)(v_{1})+(\mu \cdot L)(v_{2}).\end{aligned}}$

Beweisschritt: Homogenität von $\mu \cdot L$

Sei $v\in V$ und $\lambda \in K$. Dann gilt

${\begin{aligned}&(\mu \cdot L)(\lambda \cdot v)=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\mu \cdot L\right.}\\[0.3em]=\ &\mu \cdot L(\lambda v)=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Linearität von }}L\right.}\\[0.3em]=\ &\mu \cdot (\lambda \cdot L(v))=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Skalarmultiplikation}}\right.}\\[0.3em]=\ &(\mu \cdot \lambda )\cdot L(v)=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Multiplikation in }}K\right.}\\[0.3em]=\ &(\lambda \cdot \mu )\cdot L(v)=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\mu \cdot L\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot (\mu \cdot L)(v).\end{aligned}}$

Damit ist $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ ein Unterraum von $\operatorname {Abb} (V,W)$.

Die Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen

Wir wollen im Folgenden die Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen zwischen zwei endlich-dimensionalen Vektorräumen berechnen.

Satz (Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen)

Sei $K$ ein Körper, $V,W$ zwei $K$-Vektorräume mit $n=\dim _{K}(V)<\infty ,m=\dim _{K}(W)<\infty$.

Dann gilt $\dim _{K}(\operatorname {Hom} _{K}(V,W))=n\cdot m$.

Wie kommt man auf den Beweis? (Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen)

Um die Dimension von $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ zu finden, müssen wir eine Basis dieses Raumes konstruieren.

Wollen wir eine Abbildung von $V$ nach $W$ definieren, so müssen wir für $n$ verschiedene Basisvektoren von $V$ ihr Bild in $W$ festlegen. Dieses lässt sich wieder als Linearkombination der $m$ verschiedenen Basisvektoren von $W$ darstellen.

Beweis (Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen)

Wir wählen zunächst zwei Basen:

Es sei ${\mathcal {B}}_{V}=\{\,v_{1},\dots ,v_{n}\,\}\subset V$ eine Basis von $V$,

Es sei ${\mathcal {B}}_{W}=\{\,w_{1},\dots ,w_{m}\,\}\subset W$ eine Basis von $W$.

Wir wollen für jedes $i\in \{\,1,\dots ,n\,\},j\in \{\,1,\dots ,m\,\}$ eine lineare Abbildung $f_{i,j}\colon V\to W$ definieren. Aufgrund des Prinzips der linearen Fortsetzung können wir diese eindeutig durch ihre Werte auf der Basis ${\mathcal {B}}_{V}$ festgelegen:

${\begin{aligned}f_{i,j}\colon V&\to W\\v_{k}&\mapsto {\begin{cases}0&{\text{falls }}k\neq i,\\w_{j}&{\text{falls }}k=i.\end{cases}}\end{aligned}}$

Sei ${\mathcal {B}}:=\{\,f_{i,j}\,|\,i\in \{\,1,\dots ,n\,\},j\in \{\,1,\dots ,m\,\}\,\}\subset \operatorname {Hom} _{K}(V,W)$.

Diese Menge hat $|{\mathcal {B}}|=m\cdot n$ Elemente.

Um die Aussage des Satzes zu beweisen, müssen wir also begründen, dass ${\mathcal {B}}$ eine Basis von $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ ist.

Dazu müssen wir zeigen, dass ${\mathcal {B}}$ linear unabhängig und ein Erzeugendensystem ist.

Beweisschritt: ${\mathcal {B}}$ ist linear unabhängig

Seien $\lambda _{i,j}\in K$, sodass $\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\lambda _{i,j}\cdot f_{i,j}=0_{\operatorname {Hom} _{K}(V,W)}$.

Wir müssen nun zeigen, dass bereits $\lambda _{i,j}=0_{K}$ für alle $i,j$.

Sei $k\in \{\,1,\dots ,n\,\}$.

Dann ist:

${\begin{aligned}0_{W}&=0_{\operatorname {Hom} _{K}(V,W)}(v_{k})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\lambda _{i,j}\right.}\\[0.3em]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\lambda _{i,j}\cdot f_{i,j}\right)(v_{k})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Summe und Skalarmultiplikation linearer Abbildungen}}\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\lambda _{i,j}\cdot f_{i,j}(v_{k})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Aufspalten der Summe}}\right.}\\[0.3em]&=\sum _{j=1}^{m}\lambda _{k,j}\cdot \underbrace {f_{k,j}(v_{k})} _{=w_{j}}+\sum _{i\neq k}\sum _{j=1}^{m}\lambda _{i,j}\cdot \underbrace {f_{i,j}(v_{k})} _{=0_{W}}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der }}f_{i,j}\right.}\\[0.3em]&=\sum _{j=1}^{m}\lambda _{k,j}\cdot w_{j}.\end{aligned}}$

Da die $w_{j}$ eine Basis von $W$ bilden, sind sie linear unabhängig. Daher folgt breits $\lambda _{k,j}=0_{K}$ für alle $j$ und unser festes $k$.

Da dieses $k$ beliebig gewählt wurde, folgt nun $\lambda _{k,j}=0_{K}$ für alle $k,j$.

Also sind die $f_{i,j}$ linear unabhängig.

Beweisschritt: ${\mathcal {B}}$ ist ein Erzeugendensystem

Sei $g\in \operatorname {Hom} _{K}(V,W)$.

Für jedes $i\in \{\,1,\dots ,n\,\}$ ist $f(v_{i})\in W$. Da ${\mathcal {B}}_{W}$ eine Basis von $W$ ist, gibt es eine eindeutige Zerlegung $g(v_{i})=\sum _{j=1}^{m}\alpha _{i,j}\cdot w_{j}$ mit $\alpha _{i,j}\in K$.

Wir zeigen nun:

$g=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\alpha _{i,j}\cdot f_{i,j}.$

Wegen der Linearität lässt sich dies auf den Basisvektoren ${\mathcal {B}}_{V}$ verifizieren. Sei dazu $k\in \{\,1,\dots ,n\,\}$ beliebig.

Dann ist:

${\begin{aligned}g(v_{k})&=\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\alpha _{k,j}\right.}\\[0.3em]&=\sum _{j=1}^{m}\alpha _{k,j}\cdot w_{j}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}f_{k,j}\right.}\\[0.3em]&=\sum _{j=1}^{m}\alpha _{k,j}\cdot f_{k,j}(v_{k})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f_{i,j}(v_{k})=0_{W}{\text{ für alle }}i\neq k\right.}\\[0.3em]&=\sum _{j=1}^{m}\alpha _{k,j}\cdot f_{k,j}(v_{k})+\underbrace {\sum _{i\neq k}\sum _{j=1}^{m}\alpha _{i,j}\cdot \underbrace {f_{i,j}(v_{k})} _{=0_{W}}} _{=0_{W}}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Zusammenziehen der Summen}}\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\alpha _{i,j}\cdot f_{i,j}(v_{k})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Summe und Skalarmultiplikation linearer Abbildungen}}\right.}\\[0.3em]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\alpha _{i,j}\cdot f_{i,j}\right)(v_{k}).\end{aligned}}$

Daher ist ${\mathcal {B}}$ ein Erzeugendensystem.

Damit haben wir die Aussage des Satzes bewiesen.

Hinweis

Eine ähnliche Aussage gilt auch für unendlich-dimensionale Vektorräume:

Ist $\dim _{K}(V)=\infty$ oder $\dim _{K}(W)=\infty$, und $V\neq 0\neq W$, gilt auch $\dim _{K}(\operatorname {Hom} _{K}(V,W))=\infty$.

Ist allerdings $V=0$ und $W$ beliebig (oder andersherum), so gilt $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)=0$.