Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K7: Schwaches Gesetz der großen Zahlen

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K7: Die Chebyshev-Ungleichung

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

7.6 Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Wir werden die Chebyshev-Ungleichung anwenden, um ein wichtiges Ergebnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das sogenannte schwache Gesetz der großen Zahlen, herzuleiten. Dieses Gesetz zeigt, dass die Verteilung des Mittelwertes n unabhängiger, identisch verteilte Zufallsvariablen mit wachsendem n sich mehr und mehr um den Erwartungswert konzentriert. Das Gesetz stützt sich auf die Chebyshev-Ungleichung und die Tatsache, dass dann, wenn X₁,X₂,... unabhängig und identisch verteilt sind, gilt:

$E{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}=EX_{1}$

und

$\mathrm {var} {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}={\frac {1}{n}}\mathrm {var} X_{1}.$

Satz 7.5.2 (schwaches Gesetz der großen Zahlen)

Es sei X₁,X₂... eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen, mit Erwartung μ und endlicher Varianz σ². Es sei

${\overline {X_{n}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$,

dann gilt für jedes ε > 0:

$\lim _{n\to \infty }P(|{\overline {X_{n}}}-\mu |>\varepsilon )=0$,

Beweis

Es sei ε > 0, dann folgt:

$P(|{\overline {X_{n}}}-\mu |>\varepsilon )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}\to 0\ ,$

wenn n nach ∞ strebt.

Wir wenden das schwache Gesetz mal an in der Situation im Paragrafen 1.2. Da betrachteten wir, ob ein Ereignis A ja oder nein eingetreten war. Es sei p = P(A) und X_i = 1 falls A bei der i-ten Wiederholung eintritt und 0 andernfalls. Die Zufallsvariablen X₁, X₂,... sind dann unabhängig und identisch verteilt mit EX_i= p und Var(X_i) = p(1-p) < ∞. Die Summe der ersten n X-en ist gerade die Anzahl Malen N(A), dass das Ereignis A bei der n Wiederholungen eingetreten ist. Weiter ist

${\overline {X_{n}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}=fq(A)$,

gerade der Frequenzquotient fq(A) des Eintretens von A bei n Ausführungen des Experiments, wie wir das im Paragrafen 1.2 eingeführt haben. Das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt nun, dass für jedes ε > 0:

$\lim _{n\to \infty }P(|fq(A)-P(A)|>\varepsilon )=0.$

In Worten: der Frequenzquotiënt von A strebt mit wachsendem n im Sinne des schwachen Gesetzes nach der Wahrscheinlichkeit von A.

Mit diesem Ergebnis bekommt der intuitive Ausgangspunkt des Begriffs Wahrscheinlichkeit, wie es formuliert wurde im experimentellen Gesetz der großen Zahlen, eine solide Basis. Die Theorie schließt also, im Bezug auf das Gesetz der großen Zahlen, gut an bei der Wirklichkeit (dem Experiment). Da wir das experimentelle Gesetz der großen Zahlen als Ausgangspunkt genommen haben für den Aufbau der Theorie, erwarten wir, dass die Theorie auch sonst zu praktisch nützlichen Ergebnissen führt. Das schwache Gesetz ist natürlich kein Beweis für das experimentelle Gesetz: experimentell gefundene Ergebnisse kann man nicht mittels einer Theorie beweisen.