Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K7: Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Aus Wikibooks

[Bearbeiten] 7.6 Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Wir werden die Chebyshev-Ungleichung anwenden um ein wichtiges Ergebnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das sogenannte schwache Gesetz der großen Zahlen, her zu leiten. Dieses Gesetz zeigt dass die Verteilung des Mittelwertes n unabhängiger, gleichverteilter Zufallsvariablen mit wachsender n sich mehr und mehr konzentriert rund der Erwartungswert. Das Gesetz stützt auf die Chebyshev-Ungleichung, und den Fakt dass wenn X₁,X₂,... unabhängig und identisch verteilt sind:

und

[Bearbeiten] Satz 7.5.2 (schwaches Gesetz der großen Zahlen)

Es sei X₁,X₂... eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen, mit Erwartung μ und endliche Varianz σ². Es sei

,

dann gilt für jede ε > 0:

,

Beweis

Es sei ε > 0, dann folgt:

wenn n nach ∞ strebt.

Wir wenden das schwache Gesetz mal an in der Situation im Paragrafen 1.2. Da betrachteten wir ob ein Ereignis A ja oder nein eingetreten war. Es sei p = P(A) und X_i = 1 falls A bei der i-ten Wiederholung eintritt und 0 anders. Die Zufallsvariablen X₁, X₂,... sind dann unabhängig und identisch verteilt mit EX_i= p und Var(X_i) = p(1-p) < ∞. Die Summe der ersten n X-en ist gerade die Anzahl Malen N(A) dass das Ereignis A bei der n Wiederholungen eingetreten ist. Weiter ist

,

gerade das Frequenzquotient fq(A) des Eintretens von A bei n Ausführungen des Experiments, wie wir dass im Paragrafen 1.2 eingeführt haben. Das das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt nun dass für jede ε > 0:

In Worten: der Frequenzquotiënt von A strebt mit wachsender n im Sinne des schwaches Gesetzes nach der Wahrscheinlichkeit von A.

Mit diesem Ergebnis bekommt der intuitive Ausgangspunkt des Begriffs Wahrscheinlichkeit, wie es formuliert wurde im experimentellen Gesetz der großen Zahlen eine solide Basis. Die Theorie schließt also, im Bezug auf das Gesetz der großen Zahlen, gut an bei der Wirklichkeit (das Experiment). Da wir das experimentelle Gesetz der großen Zahlen als Ausgangspunkt genommen haben für den Aufbau der Theorie, erwarten wir dass die Theorie auch sonst zu praktisch nützliche Ergebnisse führt. Das schwache Gesetz ist natürlich kein Beweis für das experimentelle Gesetz: experimentell gefundene Ergebnisse kann man nicht mittels eine Theorie beweisen.