Mathematik: Analysis: Anhänge: Zahlenmengen

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Inhaltsverzeichnis

1 natürliche Zahlen
- 1.1 Axiomatik der natürlichen Zahlen
- 1.2 Primzahlen
2 ganze Zahlen
3 rationale Zahlen
4 irrationale Zahlen
5 reelle Zahlen
6 komplexe Zahlen
- 6.1 weitere Darstellungsmöglichkeiten
7 Beziehungen zwischen Mengen

[Bearbeiten] natürliche Zahlen

$\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, \dots \} = \{ k \} _{k=1}^\infty$

Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine ideale Indexmenge und wird für Abzählbarkeitsaussagen verwendet.

Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der "Null": $\mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \} = \{ 0 \} \cup \mathbb{N}$

[Bearbeiten] Axiomatik der natürlichen Zahlen

(N1)	Die Zahl "1" ist eine natürliche Zahl: $1 \in \mathbb{N}$
(N2)	Ist n eine natürliche Zahl, so ist auch (n + 1) eine natürliche Zahl: $n \in \mathbb{N} \Rightarrow (n+1) \in \mathbb{N}$
Definition	(n + 1) heißt der Nachfolger von n und n nennt man den Vorgänger von (n + 1)
(N3)	Jede Menge M die die Zahl "1" und mit n auch stehts die Zahl (n + 1) enthält ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen ( $M = \mathbb{N}$ ) (Induktionsaxiom)

[Bearbeiten] Primzahlen

Eine wichtige Teilmenge der Natürlichen Zahlen sind die Primzahlen. Primzahlen sind nur durch sich selbst und 1 ohne Rest teilbar. $\mathbb{P} = \{\, 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \,\}$

[Bearbeiten] ganze Zahlen

$\mathbb{Z} = \{ \dots -2, -1, 0, 1, 2 \dots \} = - \mathbb{N} \cup \mathbb{N}_0$

$- \mathbb{N} := \{ (-1) \cdot x : x \in \mathbb{N} \}$

[Bearbeiten] rationale Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge aller Zahlen die sich als Bruch aus ganzen Zahlen darstellen lassen.

$\mathbb{Q} = \left\{ x\left|x = \frac{p}{q}, p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N} \right\}\right.$

Der Fall $q = 0$ ist per Definition ausgeschlossen.

[Bearbeiten] irrationale Zahlen

Die Menge der irrationalen Zahlen ist die Menge aller nichtendlichen und nichtperiodischen Dezimalbrüche.
Beispiele: $\sqrt2,\pi,e$

[Bearbeiten] reelle Zahlen

Zahlenstrahl zur Darstellung der Reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen bezeichnet die Menge aller Zahlen, die sich durch einen (unendlichen) Dezimalbruch darstellen lassen.

$\mathbb{R} = \left\{ x : x = p,p_1 p_2 p_3 \dots \mbox{ mit } \begin{matrix} p \in \mathbb{Z} \\ p_k \in \{ k \} _{k=0}^9 \\ k \in \mathbb{N} \end{matrix} \right\}$

[Bearbeiten] komplexe Zahlen

$\mathbb{C} = \left\{ z : z = a + i \cdot b \mbox{ mit } \begin{matrix} a, b \in \mathbb{R} \\ i^2 = -1 \end{matrix} \right\}$

Dabei wird $a = Re(z)$ als Realteil und $b = Im (z)$ als Imaginärteil von z bezeichnet.

[Bearbeiten] weitere Darstellungsmöglichkeiten

Exponentialdarstellung: $z = r \cdot e^{i \cdot \varphi }$
Trigonometrische Darstellung: $z = r \cdot ( \cos \varphi + i \cdot \sin \varphi )$
jeweils mit $r = \sqrt[2]{a^2 + b^2}$ und $\varphi = \arg z$