Mathematik: Analysis: Differentialgleichungen: homogene Differentialgleichungen

[Bearbeiten] Beispiele für das Lösen von Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

$y'=\frac{x^2}{y^2}$ Anfangswertbedingung: $y (3) = 3$ .

Bei diesem Beispiel kann man die Lösung schon mit der Methode "Scharf Hinsehen" erkennen. Trotzdem werden wir sie jetzt berechnen.

$f(x)=x^2\qquad g(y)=\frac{1}{y^2}$

$F(x)=\int_3^x t^2 dt=\left[\frac{1}{3}t^3\right]_3^x=\frac{1}{3}x^3-9$

$G(y)=\int_3^y t^2 dt=\left[\frac{1}{3}t^3\right]_3^y=\frac{1}{3}y^3-9$

$G (h (x)) = F (x)$

$\Rightarrow\frac{1}{3}(h(x))^3=\frac{1}{3}x^3-9$

$\Rightarrow h(x)=x$

Schauen wir, ob wir die gesuchte Gleichung gefunden haben und setzen $h (x)$ für $y$ ein.

$h'(x)=1=\frac{x^2}{x^2}=\frac{x^2}{h(x)^2}$

Das stimmt. Und was ist mit der Anfangsbedingung?

$h (3) = 3$

Das ist auch richtig. Wir haben also eine richtige Lösung gefunden.