Mathematik: Lineare Algebra: Eigenwerte und Eigenvektoren

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Eigenwerte und Eigenvektoren sind ein fundamentales Werkzeug zur Untersuchung von Matrizen.

Inhaltsverzeichnis

1 Motivation
2 Definitionen
3 Das Finden von Eigenwerten und Eigenvektoren
4 Aufgaben

[Bearbeiten] Motivation

Betrachten wir folgendes Beispiel:

Sei $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ und $x= \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ , $y= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Was passiert, wenn wir $A x$ und $A y$ betrachten?

$A_x= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-2)+2 \cdot 3 \\ 0 \cdot (-2)+(-2) \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$

$A_y= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1+2 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1+(-2) \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Bemerkenswert ist, dass

$A_x=-2x=(-2) \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$

$A_y=1y=1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Wenn wir also die Matrix $A$ mit dem Vektor $x$ multiplizieren, erhalten wir keinen anderen, sondern denselben Vektor multipliziert mit einer Konstante. Für $y$ gilt das Gleiche. Wir nennen 1 und -2 die Eigenwerte der Matrix $A$ , $x$ und $y$ heißen Eigenvektoren der Matrix $A$ .

[Bearbeiten] Definitionen

Dieses Konzept verallgemeinern wir nun. Das Produkt einer Matrix mit dem Vektor soll dasselbe ergeben wie die Multiplikation von einem Skalar mit dem Vektor. Wenn wir eine $n \times n$ -Matrix $A$ haben, suchen wir Eigenvektoren $v$ und Eigenwerte $λ$ , die folgende Gleichung erfüllen: $A v = λ v$

Wie funktioniert dies?

Wir formen die Gleichung um

$A v - λ v = 0$

$(A-\lambda \cdot I) v=0$

Hierbei muss der Skalar mit der Einheitsmatrix $I$ multipliziert werden. $(A-\lambda \cdot I)$ ist eine Matrix. Wir setzen $B = (A - λ I)$ und lösen die Gleichung $B v = 0$ . Die Lösung ist der Kern von $B$ . Die Eigenvektoren sind also der Kern von $(A - λ I)$ , wobei $λ$ ein Eigenwert ist. Wie finden wir nun die Eigenwerte?

Es gilt: $B v = 0$ hat eine nicht-triviale Lösung, falls $| B | = det(b) = 0$ . Um also die Eigenwerte zu finden setzen wir $| A - λ I | = 0$ und lösen nach $λ$ auf. Wir erhalten ein Polynom, das charakteristische Polynom.

Beachte, dass die Null als Eigenvektor ausgeschlossen ist, weil sie trivialerweise eine Lösung der Gleichung $A v = λ v$ ist. Außerdem erhielten wir dadurch unendliche viele Eigenwerte, weil jeder Wert die Gleichung $A 0 = λ0$ erfüllt. Wenn wir einen Eigenwert $λ$ mit zugehörigem Eigenvektor $v$ gefunden haben, dann ist jedes Vielfache von $v$ ebenfalls ein Eigenvektor für diesen Eigenwert. Um dies zu sehen, betrachten wir folgendes: Falls $A v = λ v$ gilt, dann gilt:

$\forall k \in \mathbb{C}:A(kv)=kAv=k\lambda v=\lambda(kv)$ .

Beachte: Ein Eigenwert hat unendlich viele zugehörige Eigenvektoren, während ein Eigenvektor immer nur zu einem Eigenwert gehören kann.

[Bearbeiten] Das Finden von Eigenwerten und Eigenvektoren

Hier sind ein paar Beispiele wie man mit Hilfe unserer Definitionen Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt:

Sei $A= \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

Zuerst bestimmen wir die Eigenwerte

$\begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3-\lambda & 0 \\ -1 & 2-\lambda \end{pmatrix} \end{vmatrix} =(3-\lambda)\cdot(2-\lambda)-(-1)\cdot 0=(3-\lambda)\cdot(2-\lambda)=0$

Die Lösungen dieser Gleichung sind 3 und 2 und dies sind auch unsere Eigenwerte. Nun suchen wir die zugehörigen Eigenvektoren. Betrachten wir also zunächst den Eigenwert $λ = 3$ . Um unseren ersten Eigenvektor zu finden berechnen wir:

$\mathrm{Kern}(A-3I)=\mathrm{Kern} \left( \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \right ) =\mathrm{Kern} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

Beobachte nun:

$\forall a \in \mathbb{C}: \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ -a \end{pmatrix} =0$

Anders geschrieben, die Menge der Eigenvektoren der Matrix $A$ enthält $\mathrm{span}\begin{pmatrix}1 \\-1\end{pmatrix}$ . In der Ebene ist dies die Gerade durch den Ursprung mit der Steigung -1. Wie schon beschrieben gibt es für jeden Eigenwert unendlich viele Eigenvektoren. Wir dürfen uns einen davon auswählen. In diesem Fall nehmen wir den Vektor $\begin{pmatrix}1 \\-1\end{pmatrix}$ . Betrachten wir nun den Eigenwert $λ = 2$ und gehen analog vor:

$\mathrm{Kern}(A-2I)=\mathrm{Kern} \left( \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \right ) =\mathrm{Kern} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} =\mathrm{span}\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}$

Also erhalten wir als zweiten Eigenvektor $\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}$

Unsere Eigenwerte sind $λ = 3;2$ mit den Eigenvektoren $\begin{pmatrix}1 \\-1\end{pmatrix};\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}$ . Dies kann man überprüfen, indem man die gegebene Matrix mit den Vektoren multipliziert. Also:

$\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} =3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} =2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$