Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie

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Band 6 des Werkes Mathematik

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Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Wahrscheinlichkeit

Es gibt zwei zentrale Begriffe in der Wahrscheinlichkeitstheorie: Ereignis und Maß. Das Ereignis ist ein möglicherweise fiktives und/oder zukünfiges und/oder unbekanntes Ergebnis eines Zufallsexperiments. Ein Zufallsexperiment liefert aus einer Menge von Ergebnissen eines. Das Ergebnis selber kann man aber nicht vorhersagen oder es ist (noch) unbekannt.

Beispiel:
Ich werfe eine Münze in die Luft und es fällt 'Zahl'. Dann ist das Ereignis 'Zahl' eingetreten. Fiktiv hätte aber auch 'Kopf' fallen können. Werfe ich die Münze und sie befindet sich noch in der Luft, wird entweder 'Kopf' oder 'Zahl' fallen. Eines der beiden zukünftigen Ereignisse wird eintreffen. Decke ich die Münze nach dem Fallen schnell ab, so dass nur ich sie sehen konnte und niemand sonst, so kenne ich zwar das Ergebnis, alle anderen jedoch nicht. Für mich ist ein Ergebnis, also Kopf oder Zahl, eingetreten. Für jeden anderen macht es keinen Unterschied, ob die Münze gefallen ist oder noch fallen wird – er kennt das Ereignis nicht. Ich könnte sogar die Münze hervorholen und noch einmal werfen. Die Bewertung ist für alle anderen immer diesselbe. Wie man sieht, hat Wahrscheinlichkeit auch etwas mit Information zu tun.

Mit dem Maß kann ich Ereignisse bewerten, d.h. jedem Ereignis eine Zahl zuordnen. Diese ist umso größer, je wahrscheinlicher der Eintritt des Ereignisses ist. Willkürlich legen wir fest, dass für das sichere Ereignis der Wert '1' zugewiesen wird. Das sichere Ereignis ist das Ereignis, das ich bekomme, wenn ich alle möglichen Ergebnisse vereinige.

Beispiel:
Das Ereignis 'Es fällt entweder Kopf oder Zahl' ist das sichere Ereignis, denn eine der beiden Münzseiten muss oben liegen.

An diesem Beispiel erkennen wir, dass das, was wir als Ereignis ansehen, von uns selber bestimmt wird. Ansonsten gilt das Zufallsexperiment als 'nicht durchgeführt'.

Beispiel:
Ich werfe die Münze und wie durch Wunder bleibt sie auf der Seite stehen. Es fällt weder Kopf noch Zahl. Dann gilt (für uns) das Experiment als nicht durchgeführt.

Grundsätzlich gibt es zwei unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsbegriffe. Den frequentistischen und den bayesschen Wahrscheinlichkeitsbegriff. Beim frequentistischen führt man Experimente hinreichend häufig durch und führt eine Statistik. Je häufiger man dieses Experiment durchführt, desto kleiner werden die Abweichungen der relativen Häufigkeiten. Man nimmt jetzt axiomatisch an, dass es eine objektive Wahrscheinlichkeit gibt, die genau diese statistische Verteilung liefert, wenn man das Experiment beliebig häufig bzw. unendlich oft durchführt.

Der bayessche Wahrscheinlichkeitbegriff ist eher ein Maß für die persönliche Überzeugung, dass ein gewisses Ereignis eintritt. Wie haben oben den bayesschen Wahrscheinlichkeitsbegriff propagiert.

[Bearbeiten] Mathematische Folgerungen aus der semiheuristischen Definition von Wahrscheinlichkeit

Ereignisse können auch nicht eintreten. Dann sagen wir, das Gegenereignis sei eingetreten.

Beispiel:
Wir würfeln und es fällt eine '6'. Dann ist das Ereignis '6' eingetreten. Fällt keine '6', so ist das Gegenereignis 'keine 6' eingetreten, d.h. der Würfel zeigt 1,2,3,4 oder 5.

Ebenso soll die Schnittmenge zweier Ereignisse auch wieder eine Ereignismenge sein.

Beispiel:
Das Ereignis 'Das Ergebnis ist gerade' und 'Das Ereignis ist größer als 4' sind zwei Ereignisse. Der Schnitt ist '6', denn nur '6' ist größer als '4' und gerade.

Es sollen auch abzählbar endlich viele Vereinigungen von Ereignissen wieder ein Ereignis sein. Identifizieren wir ein Ereignis mit einer Menge, so bekommen wir ein Mengen-System, das man σ-Algebra nennt.

[Bearbeiten] σ-Algebra

Definition:

Eine σ-Algebra über eine Menge Ω ist ein System \mathcal{A} von Teilmengen von Ω, das die folgenden Axiome erfüllt:

  1. \Omega\in\mathcal{A}
  2. A\in\mathcal{A}\Rightarrow \bar A\in\mathcal{A}
  3. \forall n\in\mathbb{N}:A_n\in\mathcal{A}\Rightarrow\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n\in\mathcal{A}

Die Bewertung der Mengen erfolgt über eine Mengenfunktion.

[Bearbeiten] Maß

Definition:

Sei \mathcal{A} eine σ-Algebra. Dann heißt eine Abbildung \mu:\mathcal{A}\to\mathbb{R}^+\cup{\infty} ein (Wahrscheinlichkeits-)Maß, falls μ σ-additiv ist, d.h.

Wenn \forall n\in\mathbb{N}:A_n\in\mathcal{A} und die An's paarweise disjunkt sind, A_i\cap A_j=\emptyset\forall i,j\in\mathbb{N}, dann gelte

\mu(\cup_{n\in\mathbb{N}}A_n)=\Sigma_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n) (und μ(Ω) = 1).

Für Abbildungen, die obige Bedingungen erfüllen, jedoch andere Werteberiche haben, nennt man \mu:\mathcal{A}\to\mathbb{R}\cup{\pm\infty} ein signiertes Maß und \mu:\mathcal{A}\to\mathbb{C}\cup{\infty} ein komplexes Maß.

Die letzte Bedingung sorgt dafür, dass unsere Wahrscheinlichkeit nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann.

Definition:
Das Tripel (\Omega,\mathcal{A},\mu) heißt Maßraum, das Tupel (\Omega,\mathcal{A}) heißt Meßraum.

Bemerkung: Ein Meßraum ist soetwas wie ein unfertiger Maßraum. Oft wird durch eine Abbildung von oder in den Meßraum ein Maß induziert, z.B. Bildmaße.

Additionssatz:
A,B\in\mathcal{A}. Dann gilt für ein Maß \mu(A\cup B)+ \mu(A\cap B)=\mu(A)+\mu(B).

[Bearbeiten] Die Wahl der Wahrscheinlichkeitsmaße

Wie findet man sinnvolle Wahrscheinlichkeitsmaße. Eine wichtige Hilfe ist das Indifferenzprinzip, auch Prinzip vom unzureichenden Grunde genannt. Grob gesprochen ordnet man zwei Ereignissen dieselbe Wahrscheinlichkeit zu, falls es keinen Grund gibt, zwischen Ihnen zu unterscheiden.

Beispiele:
  • Die Würfelseiten sind alle gleich bis auf dem Zahlenaufdruck, der den Wurf nicht stört. Wir nehmen daher an, dass alle Würfelseiten gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.
  • Die Münze ist, bis auf die Prägung 'Kopf' oder 'Zahl' auf beiden Seiten gleich. Deshalb ordnen wir beiden Seiten die gleiche Wahrscheinlichkeit zu.

Man muss die Wahl des Maßes anpassen, falls ein hinreichender Grund hinzutritt.

Beispiel:
Beim zweiten Wurf merken wir, dass die Münze gezinkt ist. Dann haben beide Seiten nicht (mehr) diesselbe Wahrscheinlichkeit.

Wir erkennen auch hier, dass sich die Wahrscheinlichkeit mit den uns zur Verfügung stehenden Informationen ändert. Durch das Indifferenzprinzip sind auch gleichzeitig alle Symmetrien erfasst. Beispielsweise kann man durch Drehung einen (Spiel-)würfel in sich selbst überführen, wenn wir wieder den unterschiedlichen Aufdruck der Augen vernachlässigen können. Dieses Würfeldrehen ist eine Gruppenwirkung. Systematisch wird diese Symmetrien in der Theorie der Haarschen Maße untersucht.


[Bearbeiten] Laplace-Experiment

Definition:

          Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, dessen  
          Ergebnisse alle gleichwahrscheinlich auftreten können.

Z.B.: Eine Münze hat die Seite "Zahl" und "Kopf". Die Warscheinlichkeit, dass die Seite "Zahl" fällt, liegt bei 50%. Ebenso hoch ist die Warscheinlichkeit, dass die Seite "Kopf" fällt. Man kann es nicht beeinflussen.

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