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Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Die Poisson-Integralformel

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Satz (Poisson-Integralformel):

Es sei eine limestreue Zuordnung. Dann ist die eindeutige Laplace-Zuordnung auf , welche durch zu einer limestreuen Zuordnung auf erweitert wird, gegeben durch

,

wobei

.

Beweis: Für festes kann man nachrechnen, dass eine Laplace-Zuordnung ist.

Wir definieren nun

;

wegen Differenzierung unter dem Integralzeichen ist dies eine Laplace-Zuordnung, und es ist nur noch zu zeigen, dass für .

Betrachte nun die Zuordnung

,

die auf definiert ist. Offensichtlich gilt . Außerdem ist rotationssymmetrisch und daher auf jeder kleineren Sphäre () konstant. Nach dem Maximumssatz (und dem Minimumssatz) ist also in konstant, und weil beliebig war, in ganz .

Nun ist eine limestreue Zuordnung, sodass in einem kleinen Umkreis von nur um von abweicht. Es gilt ferner

.

Wenn nun geht, dann wird das zweite Integral aufgrund von vernachlässigbar, weil sich das Integral um konzentriert. Im ersten Integral hingegen kann man durch ersetzen, ohne es wesentlich zu verändern. Dann kann man dies Integral auf ausdehnen (der Restteil ist wieder vernachlässigbar), und wegen erhält man einen Wert, der beliebig nahe an (und daher gleich) ist.