Zum Inhalt springen

Mathematik für Faule: Mehr über Invoide/ Das Permutationsinvoid

Aus Wikibooks

Satz (Die Dreierzyklen erzeugen das gerade Invoid):

Es bilden die Dreierzyklen (also Elemente der Gestalt eine Genmenge des geraden Invoids .

Beweis: Ein jedes lässt sich schreiben als eine Komposition einer geraden Anzahl von verschiedenen Vertauschungen. Je zwei von diesen sind endweder disjunkt oder haben eine Zahl gemeinsam. Daher folgt der Satz aus

und

.

Satz (Konjugationsinvariante Unterinvoide des Permutationsinvoids und des geraden Invoids):

Für hat keine echten, nichttrivialen konjugationsinvarianten Unterinvoide, und ist das einzige echte, nichttriviale konjugationsinvariante Unterinvoid von .

Beweis: Es sei nun oder gegeben. Wir wollen beweisen, dass einen Dreierzyklus enthält, da ja dann (wegen durch Konjugation mit gegeben durch eine Vertauschung im Dreierzyklus und eine vom Dreierzyklus disjunkte Vertauschung) alle Dreierzyklen enthält. Wegen (wie sich etwa aus dem ersten Noetherschen Dipfeilsatz angewandt auf das Vorzeichen ergibt) kann es kein noch größeres konjugationsinvariantes Unterinvoid geben; die Quotientengröße wäre dann ja strikt zwischen 2 und 1.

Hierzu nehmen wir ein beliebiges .

Wir können nun als ein Produkt disjunkter Zyklen aufschreiben. Durch folgende Methode können wir die Zyklen verkürzen:

Es sei ein Zyklus gegeben. Durch Konjugation vertauschen wir und (falls wir im geraden Invoid konjugieren, müssen wir entweder außerhalb des Zyklus ebenfalls tauschen oder für Zyklen der Länge später im Zyklus, für einen Viererzyklus müssen wir mit konjugieren und das Resultat mit multiplizieren) und nehmen dann das Produkt:

Die wird an ihrem Platz belassen, und wenn der Zykel die Länge hatte, ist der Rest nichttrivial.

Auf diese Weise kriegen wir alle Zyklen von auf die Länge . Jetzt machen wir eine Fallunterscheidung:

  1. enthält bereits einen Dreierzyklus. Dann kann man für alle anderen Zyklen ebenfalls mit obiger Methode eliminieren, und für kann man verbleibende Dreierzyklen, falls sie existieren (was wegen der Disjunktheit nur im Falle möglich ist) behandeln, indem man feststellt, dass die 1 festlässt, aber nichttrivial ist, da die 3 nicht festgelassen wird.
  2. enthält noch keinen Dreierzyklus. Für den Fall ist die Anzahl der Zweierzyklen gerade. Wegen können wir mit einer konjugierten Version seiner selbst multiplizieren (ggf. tauschen wir zusätzlich größere Elemente) und erhalten, dass nur aus zwei Vertauschungen besteht (oder, im Falle , falls nach der Reduktion auf die Zykluslänge nur eine Vertauschung übrig ist, gilt sofort ). Aber da gibt es noch eine Zahl, die davon nicht verwendet wird. Wenn z. B. , so können wir die zwei zur fünf konjugieren (und ggf. noch 3 und 4 vertauschen) und erhalten, falls das Ergebnis heißt: .