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Mathematik für Faule: Topologie/ Simplexquotienten

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Satz (Überdeckungssatz der Simplexquotienten):

Es sei ein topologischer Raum und eine randlose Überdeckung von . Dann gilt für alle

.

Beweis: Wir definieren den Dipfeil wie folgt: Es sei die Freudenthal-Zerlegung, und des weiteren ein Element durch einen Zyklus gegeben. Dann definieren wir als , wobei nach dem Satz von Lebesgue hinreichend groß gewählt wurde, dass jedes Simplex von in einem enthalten ist.

Es bleibt zu beweisen, dass diese Zuordnung wohldefiniert ist und einen Invoid-Dipfeil darstellt. Sei also zunächst . Dann gilt . Da die Freudenthal-Zerlegung auf den Simplexquotienten die Identität ist, gilt somit

für jedes , sodass alle Simplizes von in wenigstens einem enthalten sind. Somit ist die Wohldefiniertheit bewiesen. Die Additivität von allerdings folgt (fast) unmittelbar aus der von .